Синтез системы управления для заднего колеса наземного четырехколесного робота

Двигатель следует выбрать с учётом расчётной мощности двигателя, которая должна быть достаточна для перемещения нагрузки в соответствии с техническим заданием.

Расчётная мощность электродвигателя определяется по формуле:

где Pр - расчётная мощность электродвигателя;

Pн - расчётная мощность нагрузки;

зо - КПД цепи двигатель-нагрузка

- коэффициент запаса (передачи).

Примем 5 = 1,2; КПД цепи двигатель-нагрузка: зо = 0,5..0,95. Примем зо = 0,75.

Расчётная мощность нагрузки вычисляется по формуле:

где -- момент нагрузки;

- угловая скорость вращения нагрузки.

Рисунок 1.1 - Характеристики рассматриваемой системы

Момент нагрузки:

Суммарный момент нагрузки в зависимости от ускорения:

где

Скорость вращения колеса:

где

Момент инерции колеса:

Для упрощения модели примем колесо за резиновый цилиндр.

Рисунок 1.2 - Момент инерции цилиндра

По ТЗ - марка шины 2,75-16 (Л-236), рассмотрим некоторые ее характеристики.

Рисунок 1.3 - Вид и характеристики шины 2,75-16 (Л-236)

Масса вычисляется по формуле:

где

Возьмем плотность резины .

Момент инерции вокруг оси Х:

Вычислим угловую скорость колеса:

Тогда:

В итоге:

Выберем двигатель.

Рисунок 1.4 - Характеристики и линейные размеры мотора-редуктора

Рисунок 1.5 --Подключение выпрямителя и регулятора скорости DC-S

Рисунок 1.6 - Схема подключения редуктора-мотора

Таблица 1. Паспортные данные мотора-редуктора

Для рабочей скорости передаточное отношение редуктора:

Условие выполняется: , следовательно, по мощности двигатель выбран правильно.

1.1 Определение передаточной функции силовой части САУ

Среди методов определения передаточных функций корректирующих устройств с помощью ЛАЧХ можно выделить два способа - синтез с использованием прямых ЛАЧХ и синтез с использованием обратных ЛАЧХ.

Исследование САУ с внутренними обратными связями с помощью прямых ЛАЧХ связано с применением сложного математического аппарата. Поэтому будем использовать обратные ЛАЧХ, что значительно упростит синтез параллельного корректирующего устройства.

Рисунок 3.3 - Структурная схема САУ с параллельным корректирующим устройством

Рассмотрим синтез параллельного корректирующего устройства в виде дополнительной обратной связи. Пусть задана передаточная функция разомкнутой цепи . Требуется ввести корректирующую обратную связь . Желаемая передаточная функция САУ (рисунок 5) имеет вид:

Представим в виде

Обратная желаемая передаточная функция САУ:

Переходя к логарифмическим характеристикам, получим:

B диапазоне частот, для которых , справедливо неравенство . Тогда обратная желаемая передаточная функция САУ имеет вид:

Можно сделать вывод, что обратная желаемая ЛАЧХ разомкнутой САУ формируется из обратной ЛАЧХ исходной САУ или ЛАЧХ корректирующей связи в зависимости от того, ордината какой характеристики является преобладающей в данном диапазоне. В диапазоне средних частот, существенном для качества работы привода, справедливо соотношение . Последнее означает, что частотные свойства скорректированной САУ определяются в основном свойствами обратной связи и не зависят от неизменяемой части.

Построение обратной ЛАЧХ неизменяемой части

Построение желаемой ЛАЧХ основано на выборе типа обратной ЛАЧХ, ее привязке к оси частот в соответствии с заданными показателями качества и сопряжению с ней асимптот ЛАЧХ неизменяемой части на низких и высоких частотах.

1) Выбор типа обратной желаемой ЛАЧХ.

Выбор типа обратной желаемой ЛАЧХ основан на различных требованиях по точности отработки и перерегулировании. Различают три типа желаемых ЛАЧХ. Первый тип выбирают в случае, когда не требуется обеспечить высокую точность отработки управляющего сигнала, но в системе не допускается перерегулирование. Третий тип обеспечивает высокие показатели точности системы, но допускает колебательные процессы. В случае, когда к системе предъявляются требования и по точности, и допускается наличие перерегулирования в переходных процессах, рекомендуется выбирать второй тип желаемой ЛАЧХ.

Выбираем обратную желаемую ЛАЧХ второго типа.

2) Построение обратной желаемой ЛАЧХ.

При проведении синтеза методом ЛАЧХ выделяют три участка характеристики: низкочастотный, среднечастотный и высокочастотный.

а) Низкочастотный участок определяет точность работы САУ в установившемся режиме или её статические свойства.

Для построения низкочастотной асимптоты желаемой обратной ЛАЧХ определяем координату рабочей точки: Согласно техническому заданию требуется обеспечить слежение за управляющим синусоидальным сигналом, где и щр - рабочие амплитуда и частота соответственно, при которых будут иметь место заданные скорость и ускорение.

При подаче синусоидального сигнала

скорость и ускорение будут определяться из равенств:

, .

Следовательно,

,.

Рабочие амплитуду и частоту можно вычислить из соотношений:

,

.

Значение обратной желаемой передаточной функции при рабочей частоте определяется из соотношения:

,

где едоп - допустимая амплитуда ошибки, заданная в техническом задании.

Тогда координаты рабочей точки равны:

,

.

Положение низкочастотной асимптоты низкочастотной частотной характеристики определяется значением коэффициента усиления разомкнутой системы .

Если обратная желаемая ЛАЧХ проходит выше точки с координатами то воспроизведение управляющего сигнала

с заданной точностью не обеспечивается. Тогда необходимо опустить рабочую точку ниже рассчитанного значения на 3дБ.

Наносим значение рабочей точки на график искомой желаемой ЛАЧХ. В соответствии с выбранным типом желаемой ЛАЧХ, проводим через рабочую точку прямую с наклоном 40 дБ/дек.

б) Среднечастотный участок определяет основные динамические свойства САУ.

Определим среднечастотную асимптоту желаемой обратной ЛАЧХ. Построение среднечастотного участка желаемой ЛАЧХ состоит в определении частоты среза по заданным перерегулированию и времени переходного процесса tП и в соответствии с диаграммами Солодовникова для построения среднечастотной асимптоты, приведенной на рисунке 6.

Рисунок 3.4 - Диаграммы Солодовникова для построения среднечастотной асимптоты

По этому графику, отложив заданную величину , определяем величину , но поскольку желаемое значение нам задано, то можно вычислить необходимую частоту среза.

Согласно техническому заданию перерегулирование , величина переходного процесса определяется из соотношения:

.

Тогда частота среза рассчитывается по формуле:

.

Наносим найденное значение на график искомой ЛАЧХ и проводим через точку прямую с наклоном 20 дБ/дек в соответствии с выбранным типом желаемой ЛАЧХ. Определяем сопрягающую частоту желаемой ЛАЧХ , которая будет являться абсциссой точки пересечения прямых, построенных в пунктах 3.2.2.2.а и 3.2.2.2.б:

Параллельным переносом опускаем ЛАЧХ обратной передаточной функции неизменяемой части таким образом, чтобы она проходила через рабочую точку. Определяем сопрягающую частоту желаемой ЛАЧХ , которая будет являться абсциссой точки пересечения прямой, проходящей через построенной ранее, и смещенной ЛАЧХ обратной передаточной функции неизменяемой части:

Значение амплитуды в точке пересечения смещенной и при частоте равно 4 дБ. Таким образом, система удовлетворяет требованиям по устойчивости, и во введении последовательного корректирующего устройства нет необходимости: .

Через найденную точку проводим прямую с наклоном 40 дБ/дек в соответствии с выбранным типом желаемой ЛАЧХ и совпадающую с наклоном ЛАЧХ обратной передаточной функции неизменяемой части для частоты . Минимального отличие наклонов желаемой ЛАЧХ от наклонов характеристик неизменяемой части системы дает возможность получить более простую передаточную функцию корректирующего звена, имеющего числитель и знаменатель наиболее низкого порядка.

в) Высокочастотный участок определяет сглаживающие свойства системы по отношению к помехам. Чем больше наклон высокочастотного участка, больше помехоустойчивость САУ.

Сопрягающую частоту , соединяющую второй и четвертый наклоны, выберем руководствуясь следующим. При частоте фаза на ФЧХ системы будет близка к значению -180°, а значит, при данной частоте будет определяться запас по амплитуде. Таким образом, выбираем так, чтобы выполнялось условие:

.

На основании построений и изложенного выше:

Через найденную точку проводим прямую с наклоном 80 дБ/дек в соответствии с выбранным типом желаемой ЛАЧХ.

Результат построения обратной желаемой ЛАЧХ и обратной ЛАЧХ неизменяемой части приведены в приложении 1.

Проверка устойчивости внутреннего контура

Запас устойчивости определяется для частоты, при которой происходит пересечение обратной ЛАЧХ неизменяемой части и ЛАЧХ корректирующей обратной связи, то есть для частоты равен:

Запас устойчивости внутреннего контура больше 30°, что благоприятно сказывается на устойчивости системы.

Проверка устойчивости всей системы

Определим запас устойчивости всей системы. Он определяется для частоты среза .

Запас устойчивости всей системы удовлетворяет требованиям по устойчивости.

Получение передаточной функции параллельного корректирующего устройства

С одной стороны искомую корректирующую обратную связь Z(s) характеризует второе слагаемое обратной передаточной функции системы. С другой стороны Z(s) можно определить из построений, приведенных в приложении 1. С учетом того, что :

где - коэффициент усиления параллельного корректирующего звена.

Проведем ЛАЧХ начиная с точки c частотой под наклоном 40 дБ/дек. В этом случае последнее выражение примет вид:

.

Приравняем коэффициенты в последнем равенстве:

(4)

(5)

(6)

Из выражения (6) получаем передаточную функцию корректирующего устройства:

.

Расчет коэффициентов усиления САУ

,

.

Рассчитаем коэффициент усиления электронного усилителя. Согласно введенному обозначению:

Из (4) получаем коэффициент усиления контура обратной связи по угловой скорости:

.

Рассчитаем коэффициент усиления дополнительного усилителя в цепи обратной связи по угловой скорости. Согласно введенному обозначению:

Из (5) получаем коэффициент усиления контура обратной связи по угловому ускорению:

Рассчитаем коэффициент усиления дополнительного усилителя в цепи обратной связи по угловому ускорению. Согласно введенному обозначению:

2.3 Компьютерное моделирование САУ

Моделирование САУ проводится с помощью графической среды моделирования "Simulink" пакета прикладных программ "MATLAB".

Структурная схема САУ для моделирования в "Simulink", составленная на основании структурной схемы приведенной на рисунке 4 и с учетом , представлена на рисунке 8. Значение T в корректирующем устройстве K(s) изменено в соответствии с выбранными резистором и конденсатором.

Рисунок 3.5 - Структурная схема САУ для моделирования в "Simulink"

Для построения ЛАЧХ и ФЧХ используется структурная схема с разомкнутой главной обратной связью (рисунок 9).

Рисунок 3.6 - Структурная схема САУ для построения ЛАЧХ и ФЧХ

Результат построения ЛАЧХ и ФЧХ в "Simulink" приведен в приложении 2. Согласно моделированию, запас по фазе составил 29.6 дБ, запас по фазе - 47.4°.

Для моделирования переходного процесса САУ используется структурная схема, представленная на рисунке 10.

Рисунок 3.7 - Структурная схема САУ для моделирования переходного процесса

Результат моделирования переходного процесса представлен на рисунке 11.

Рисунок 3.8 - Результат моделирования переходного процесса в САУ

Согласно моделированию, перерегулирование САУ составил 30 %.

Для определения ошибки САУ используется структурная схема, представленная на рисунке 12.

Рисунок 3.9 - Структурная схема САУ для определения ошибки

Результат моделирования работы САУ при отработке синусоидального воздействия представлен на рисунке 13.

Рисунок 3.10 - Результат моделирования САУ при отработке синусоидального воздействия (красная пунктирная линия - входной сигнал, синяя сплошная линия - выходной сигнал, чёрная сплошная линия - ошибка)

Согласно моделированию, ошибка в САУ составила 0.011.

Полученные в ходе моделирования характеристики САУ отвечают требования технического задания, следовательно, можно сделать вывод о правильности проведенного синтеза системы.

3. Исследование устойчивости синтезированной САУ при последовательном введении в ее контур управления нелинейного звена