Анализ расчетных режимов оптимального управления вакуумной цементацией

Размещено на http://www.allbest.ru/

Самарский государственный технический университет

Аннотация

Разработана математическая модель вакуумной цементации. Произведена реструктуризация модели для использования её в оптимизационных процедурах. Проанализированы зависимости расчетных режимов оптимального управления от технологических параметров процесса.

Ключевые слова: вакуумная цементация, математическая модель, коэффициент массопереноса, коэффициент диффузии, управляющее воздействие, оптимизационные процедуры, альтернансный метод оптимизации, метод функций Грина.

Поверхностное упрочнение деталей путем их химико-термической обработки (ХТО) широко распространено в машиностроении в силу универсальности и экономичности этого метода [1]. Среди различных видов ХТО наиболее широко применяется цементация, причем в последнее время вместо традиционной газовой цементации используют вакуумную, обеспечивающую ряд преимуществ перед другими методами цементации:

· не происходит внутреннего окисления деталей из-за отсутствия кислородсодержащих компонентов в атмосфере;

· поверхность деталей после цементации оказывается светлой;

· отсутствует необходимость в газоприготовительных установках и приборах контроля углеродного потенциала;

· сокращается длительность процесса в результате его проведения при более высокой температуре;

· уменьшается удельный расход электроэнергии и технологического газа.

Математическая модель процесса вакуумной цементации. В ходе вакуумной цементации происходит диффузия углерода из атмосферы печи через поверхность детали. При этом в силу незначительной глубины диффузионного слоя по сравнению с толщиной детали для большинства обрабатываемых изделий, поверхность которых не имеет малых радиусов скруглений, кромок и т.п., процесс диффузии может быть описан в соответствии со вторым законом Фика, краевой задачей параболического типа для полубесконечной пластины [2]:

(1)

Граничными условиями, наиболее адекватно отражающими физику переноса углерода из газовой фазы к поверхности детали, являются граничные условия третьего рода [2]:

(2)

(3)

(4)

Здесь - концентрация углерода, %; - время, с.; - глубина слоя, м.; - коэффициент диффузии, м²/с; - коэффициент массопереноса, м/с; -углеродный потенциал атмосферы, %; - начальное распределение углерода, %.

Постановка задачи оптимального управления. В результате процесса вакуумной цементации необходимо получить распределение концентрации углерода с наименьшем отклонением от заданного по эксплуатационным требованиям распределения . Профиль концентрации определяет распределение по глубине детали твердости, предел прочности, износостойкость [1]. Превышение локального отклонения от сверх допустимого уровня приводит к повышенному трещинообразованию, к снижению твердости, браку [3]. Поэтому в качестве критерия оптимальности принят минимаксный критерий, обеспечивающий, в отличие от среднеквадратичного критерия, абсолютное отклонение результирующего профиля концентрации углерода от заданного.

В ходе диффузионного насыщения нет необходимости и технической возможности обеспечить в конце процесса точную реализацию заданного профиля , так как в производственных условиях всегда на процесс воздействует ряд неконтролируемых возмущений: вариация начального содержания углерода в стали , нестабильность газового состава среды, неравномерность потока атмосферы и т.д. Кроме того, заданный профиль может не принадлежать решениям краевой задачи (1)-(4), что, вообще, свидетельствует о его принципиальной недостижимости. Поэтому в реальных условиях допустимых диапазонов изменения параметров и состояния модели (1)-(4) требуемое результирующее состояние процесса цементации трансформируется из заданного распределения концентрации в некоторую область - «трубку» допустимых отклонений , которая характеризуется Чебышевской мерой [4]:

(5)

где - глубина диффузионного слоя и почти везде на отрезке . Для получения максимально высокой износостойкости величина должна быть минимальной.

Удовлетворение условия

, (6)

где - время окончания процесса цементации, - не единственное технологическое требование. Для цементации изделий массового производства актуальна проблема достижения максимальной производительности печи для вакуумной цементации при сохранении удовлетворительного качества, т.е. минимума времени цементации при условии . При этом сокращение времени цементации благоприятно влияет на структуру металла [1].

В случае превышения предельного значения концентрации углерода на цементируемой поверхности возможно образование карбидной сетки, которая характеризуется высокой хрупкостью и снижает износостойкость детали, поэтому вводится ограничение на максимальный уровень концентрации углерода [1,2]:

(7)

Конструкция и ресурсные возможности печи для вакуумной цементации обуславливают ограничения на максимальный расход ацетилена, диссоциация которого определяет максимальный углеродный потенциал атмосферы печи [2,5]:

(8)

рассматриваемый в качестве управляющего воздействия.

Таким образом, для объекта управления (1)-(4) в условиях ограничений (7), (8), технологически обоснованы задачи:

быстродействия:

(9)

максимальной точности:

, (10)

Поставленные задачи представляют собой задачи оптимального управления с подвижным правым концом траектории в бесконечномерной негладкой области

(11)

допустимых результирующих состояний для заданной или предельно достижимой точности в области допустимых управлений -того класса [3,4].

Для решения поставленных задач оптимизации используется альтернансный метод оптимизации (АМО), выгодно отличающийся своей эффективностью при параметрической оптимизации [4].

Применение АМО требует параметризации задач (9) и (10). В работе [5] с помощью принципа максимума Понтрягина установлено, что в условиях ограничений (8) на предельный уровень углеродного потенциала решение задачи быстродействия (9), как и решение задачи максимальной точности (10), сводится к поиску количества и длительности , интервалов постоянства управления (рис. 1) .

Рис. 1. Общий вид управляющего воздействия

Доказательная часть теории АМО рассмотрена в опубликованных работах [4, 6]. Метод основан на использовании специфических свойств результирующих состояний оптимального процесса. Эти свойства позволяют получить достаточное количество уравнений вида

(12)

для определения параметров поставленных оптимальных задач (9), (10). Здесь ; ; , - точки экстремума функции ; - граничные точки функции ; ; при ; при ; ,. При этом наименьшая точность достигается на подмножестве одноинтервальных управлений , а наибольшая точность обычно достигается на подмножестве достаточно большого количества интервалов . Таким образом, решением последовательности задач максимальной точности (9) формируется ряд неравенств:

(13)

Очевидно, для решения определяющей системы (12) необходимо получить прямое решение краевой задачи (1)-(4) относительно для управления в форме (см. рис.1):

, (14)

Приведенная математическая модель (1)-(4) удовлетворительно описывает на качественном уровне распределение концентрации углерода в цементованном слое. Однако коэффициенты массопереноса и диффузии изменяются в достаточно широких пределах в зависимости от конструкции печи, свойств обрабатываемого материала и других факторов. Поэтому для адекватного математического описания конкретного технологического процесса необходимо идентифицировать указанные параметры [3, 4, 5].

Не касаясь здесь процедуры идентификации, рассмотренной в работе [5], отметим, что использование в математической модели постоянных коэффициентов массопереноса и диффузии приводит к неудовлетворительному отклонению расчетного профиля распределения углерода от экспериментального. Это объясняется тем, что механизм массопереноса углерода с поверхности детали в глубину на стадиях насыщения и диффузии различен [5, 7] из-за диссоциации ацетилена на поверхности металла в циклах поступления ацетилена и разуглероживания поверхности в циклах пауз. Поэтому в математической модели вакуумной цементации необходимо использовать переменные коэффициенты массопереноса на стадиях насыщения и диффузии (15).

(15)

где - количество полных циклов в программах цементации; - номер стадии, нечетный для стадии насыщения и четный для стадии диффузии.

Таким образом, структура управления (14) определяет краевую задачу (1)-(4) как задачу с переменными во времени коэффициентами в соответствии с зависимостью (15).

Решение краевой задачи с помощью метода функций Грина. При многоинтервальном управлении () (см. рис. 1) получить решение операционным методом в компактном аналитическом виде не представляется возможным из-за сложного начального распределения углерода для каждого из интервалов управления .

В этом случае целесообразно воспользоваться методом функций Грина. Решение линейной неоднородной краевой задачи (1)-(4) известно [8] и имеет вид

(16)

В работе [7] показано, что использование решения (16) для произвольных начальных условий , выраженного через функцию Грина для полубесконечной краевой задачи с граничными условиями третьего рода, в проблемно-ориентированной на оптимизационные процедуры математической модели затруднительно в силу сложности вычисления интегралов свертки для многоинтервального управления с учетом (14) и (15). Эта сложность во многом обусловлена зависимостью функции Грина в (16) от коэффициента массопереноса [10,11]:

(17)

который, в свою очередь, непостоянен в соответствии с (15). Это делает выражение (17) малопригодным для многократного обращения к модели в ходе оптимизации в режиме реального времени.

Для упрощения вычисления преобразуем модель объекта (1)-(4) с использованием функции Грина для полубесконечного тела с граничными условиями второго рода:

, (18)

В этом случае решение краевой задачи примет форму

(19)

где функция Грина имеет вид [8, 9]

(20)

Для этого поток сформируем согласно граничным условиям третьего рода (2):

(21)

В этом случае решения (16) и (19) будут идентичными, что позволяет использовать полученную математическую модель с граничными условиями второго рода, избегая вычислительных трудностей при итерационном процессе моделирования. Структура преобразованной математической модели представлена на рис. 2.

вакуумный цементация реструктуризация оптимизационный

Рис. 2. Функционально-ориентированная структура математической модели

Анализ результатов. С помощью преобразованной математической модели (19), подставленной в определяющую систему уравнений (12), решены задачи максимального быстродействия (9) и максимальной точности (10).

Проанализируем зависимость расчетных режимов оптимального управления от режимных и технологических параметров процесса.

На рис. 3 приведены зависимости погрешности науглероживания от длительностей интервалов постоянства , управляющего воздействия в форме (14) и общего времени процесса при различных коэффициентах диффузии . Расчеты проведены для исходных данных: , , .

Рис. 3. Зависимость погрешности науглероживания от длительностей интервалов постоянства (а), (б) и от общего времени процесса (в) при различных коэффициентах диффузии : 1 - ; 2 - ; 3 -

Анализ полученных зависимостей (см. рис. 3) показывает, что с увеличением коэффициента диффузии длительности интервалов постоянства , и общее время процесса уменьшаются. Это объясняется тем, что с увеличением коэффициента диффузии увеличивается скорость проникновения атомов углерода с поверхности в глубину стали, что уменьшает общее время процесса. Величина рассогласования между кривыми 1, 2 и 3 при увеличении коэффициента диффузии постепенно уменьшается. Для металлов с большим коэффициентом диффузии время достижения заданной трубки погрешностей (5) становится мало зависимым от величины .

На рис. 4 приведены зависимости погрешности науглероживания от длительностей интервалов постоянства , управляющего воздействия (14) и общего времени процесса при различных максимальных значениях углеродного потенциала . Расчеты проведены для исходных данных: , , .

Рис. 4. Зависимость погрешности науглероживания от длительностей интервалов постоянства (а), (б) и от общего времени процесса (в) при различных максимальных значениях углеродного потенциала : 1 - ; 2 - ; 3 -

Из полученных решением оптимальных задач зависимостей (см. рис. 4) видно, что увеличение максимального значения углеродного потенциала приводит к уменьшению длительности интервала постоянства . Это объясняется тем, что с увеличением за счёт увеличения расхода ацетилена на поверхности изделия образуется больше атомов углерода, следовательно, для насыщения поверхности детали до максимально допустимого уровня требуется меньше времени, а значит, уменьшается. Для диффузии образовавшихся атомов углерода с поверхности в глубь изделия требуется больше времени с увеличением максимального значения углеродного потенциала , так как при одинаковых коэффициентах диффузии увеличивается крутизна спада концентрации в глубь детали в конце нечётного интервала , поэтому длительность интервала постоянства увеличивается.

Библиографический список

1. Лахтин Ю.М., Арзамасов Б.Н. Химико-термичекая обработка металлов. - М.: Металлургия, 1985. - 216 с.

2. Деревянов М.Ю., Лившиц М.Ю., Липкинд В.Я. Системная оптимизация упрочнения поверхности контактирующих деталей методами ХТО // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Технические науки. - 2005. - №33. - С. 28-34.

3. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1965. - 474 с.

4. Рапопорт Э.Я. Альтернансный метод в прикладных задачах оптимизации. - М.: Наука, 2000. - 336 с.

5. Деревянов М.Ю. Оптимальное управление процессом вакуумной цементации деталей буровых долот: Дис. … канд. техн. наук. - Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2007. - 184 с.

6. Рапопорт Э.Я. Задача оптимального по быстродействию управления нестационарным процессом теплопроводности // Изв. вуз. Математика. - 1976. - №11. - С. 112.

7. Головской А.Л., Деревянов М.Ю., Ищук А.Г., Лившиц М.Ю., Муратов В.С. Оптимизация вакуумной цементации как объекта управления с распределенными параметрами // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Технические науки. - 2007. - №1(19). - С. 152-158.

8. Дилигенский Н.В., Темников А.В., Девяткин А.Б., Слесаренко А.П. Современные методы математического моделирования теплопроводности в теплоэнергетике и машиностроении. - Самара: СамГТУ, 1995. - С. 45-54.

9. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1979. - 224 с.

Размещено на Allbest.ru