Устойчивость, управляемость и наблюдаемость систем обогрева помещений в условиях неполноты измерений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Самарский государственный технический университет

УСТОЙЧИВОСТЬ, УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ СИСТЕМ ОБОГРЕВА ПОМЕЩЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕПОЛНОТЫ ИЗМЕРЕНИЙ

А.Н. Дилигенская

В.Г. Щетинин

Разработка систем управления, работающих в условиях неполной наблюдаемости объекта управления, в настоящее время весьма актуальна. Применение в таких системах методов восстановления информации с использованием наблюдателей полного или пониженного порядка предоставляет возможность получить высокое качество управления при максимальной простоте аппаратной реализации, упростить эксплуатацию.

Рассмотрим вариант системы управления автономной отопительной установкой, предназначенной для поддержания заданной температуры воздуха в комплексе бытовых или производственных помещений. Источником тепла является теплоагрегат (нагреватель), локальная система управления которого обеспечивает регулирование температуры теплоносителя в функциональной зависимости от температуры наружного воздуха. Регулирование температуры внутри помещений обеспечивается за счет управления мощностью теплоисточника. В качестве контролируемой величины используется температура теплоносителя на выходе нагревателя. Выбор такой координаты обусловлен простотой реализации системы. Кроме того, при этом отпадает необходимость монтажа большого числа датчиков и исполнительных механизмов (задвижек). Температура в помещениях регулируется на основе температуры теплоносителя. При этом контролируемая величина соответствует цели управления - температуре внутри помещения - со значительной долей отклонений. Велико влияние неконтролируемых возмущений - внешних (наружные воздействия), внутренних (бытовые тепловыделения - люди, электроустановки), параметрических (открытые окна, двери и т.п.), приводящих к тому, что качество управления (статическая и динамические ошибки) становится во многих случаях неудовлетворительным. Повысить качество регулирования и, как следствие, степень комфортности при влиянии возмущающих воздействий без введения комплекса измерителей температуры и исполнительных механизмов в каждом помещении возможно при введении в контур регулирования идентификатора состояния, восстанавливающего неизмеряемое значение температуры воздуха в помещении.

Модель объекта управления конструируется на основе базового уравнения сохранения тепловой энергии [1]. Уравнение динамики нагревателя, рассматриваемое за период времени , имеет вид

,

где - теплоемкость , плотность , коэффициент теплоотдачи от нагревателя к воздуху соответственно; - объем и поверхность нагревателя соответственно; - объемная мощность тепловыделения в нагревателе ; - температура воздуха, нагревателя и ее приращение за время соответственно.

Выражение в правой части (1) отвечает выделению энергии в теплоисточнике, первое слагаемое соответствует изменению теплосодержания теплоносителя, второе - теплоотдаче от теплоисточника, передаваемой температуре воздуха в помещении. Переходя в соотношении (1) к малому приращению при , получим дифференциальное уравнение для динамики температуры теплоносителя:

.

Применяя к (2) преобразование Лапласа, запишем уравнение динамики в пространстве изображений:

,

где - трансформанты температур нагревателя, воздушной массы в помещении и мощности теплоисточника.

Преобразуем уравнение (3) и, введя обозначения

,

представим его в стандартной форме апериодического звена:

.

Аналогично (1) запишем уравнение нагрева воздушной массы нагреваемого помещения:

,

где - теплоемкость, плотность воздушной массы и коэффициент теплопередачи от воздуха к окружающей среде соответственно; - объем воздушной массы и поверхность теплопередачи.

Левая часть (6) отвечает количеству тепла, передаваемого от теплоисточника воздуху помещения, первое слагаемое правой части - повышению теплосодержания воздуха, второе слагаемое - потери тепла из помещения в окружающую среду.

Соответствующие преобразования уравнения (6) приводят к дифференциальному уравнению для нагреваемой воздушной массы

,

и с учетом вводимых обозначений

можно перейти к уравнению для трансформант Лапласа, отвечающему апериодическому звену

.

Математическую модель системы управления, соответствующую совокупности уравнений (5) и (9), представим в виде структурной схемы, изображенной на рис. 1.

Рис. 1. Структурная схема системы управления температурой воздушной массы

Проанализируем полученную структуру системы, формально имеющую вид замкнутой системы с положительной обратной связью. Исследуем ее устойчивость.

Передаточная функция замкнутой системы по каналу: мощность нагревателя - температура воздушной массы помещения имеет следующий вид:

.

Необходимым и достаточным условием устойчивости [2] системы второго порядка является строгая положительность всех коэффициентов характеристического уравнения замкнутой системы. Для рассматриваемой системы, учитывая в соответствии с (8), что , получаем, что , следовательно, система устойчива.

Согласно уравнениям объекта (5) и (9) и представленной структурной схеме (рис. 1), процессы, протекающие в нагревателе и контактирующей воздушной массе помещения, моделируются стандартными пропорциональными и апериодическими звеньями первого порядка. Коэффициенты нагревательного устройства определяются конкретным технологическим вариантом его исполнения, и их можно считать известными. Коэффициенты зависят от габаритов (и других параметров) нагреваемого помещения. Управляющим входным воздействием является объемная мощность тепловыделения нагревателя , а температура окружающей среды рассматривается как возмущающее воздействие. Неконтролируемые возмущающие воздействия на объект (люди, окна, энергоустановки т.д.) могут быть рассмотрены как изменение коэффициентов в определенных пределах или дополнительно быть включены в аддитивную помеху, приведенную к выходу, и промоделированы случайным сигналом типа «белого шума», характеризующимся нулевым математическим ожиданием и постоянным среднеквадратичным отклонением.

Проведем анализ системы управления в пространстве состояний с использованием векторно-матричных моделей, характеризующихся универсальностью алгоритмов управления. Вводя в (2) и (7) следующие обозначения: технологический отопительный температура теплоноситель

;

представим исходную математическую модель объекта управления в следующей универсальной матричной форме:

В (12) - транспонированный вектор состояния системы; - транспонированный вектор входов системы; - знак транспонирования; Y - вектор наблюдений. Квадратные матрицы А и В и матрица-строка С, формирующая вектор наблюдений, имеют следующий вид:

,

Исследование управляемости и наблюдаемости линейной стационарной системы сводится к проверке рангов матриц управляемости и наблюдаемости [3].

.

Ранг матрицы управляемости (14) равен двум, т.е. порядку системы, и, следовательно, система управляема.

.

Ранг матрицы наблюдаемости также равен двум, следовательно, система наблюдаема.

На основании проверки критериев управляемости (14) и наблюдаемости (15) можно заключить, что для рассматриваемой линейной стационарной системы существует управление, которое переводит любое состояние Х в требуемое за ограниченное время. В условиях отсутствия измерения всех компонент вектора состояния это управление может быть реализовано в виде обратной связи по состоянию, для организации которой необходимо сначала найти оценку неконтролируемой координаты - температуры воздуха помещения. Далее, при известном (оцененном) состоянии существует возможность синтеза управляющего воздействия, при котором выходная величина будет удовлетворять налагаемым требованиям.

С учетом принципов разделимости и принципов дуальности [2, 3] задачи синтеза наблюдателя состояния и синтеза регулятора состояния решаются независимо друг от друга.

Библиографический список

Шорин С.Н. Теплопередача. - М.: Высшая школа, 1964. - 489 с.

Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. - М.: Наука, 1976. - 424 с.

Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления: Пер. с англ. - М.: Мир, 1975. - 683 с.

Аннотация

Рассматривается постановка задачи синтеза системы управления технологическим объектом в условиях неполной информации о компонентах вектора состояния на примере автономной отопительной системы.

Ключевые слова: неполная наблюдаемость, управление, устойчивость, отопительная система, идентификатор состояния.

Размещено на Allbest.ru