Управление эволюцией поверхности раздела фаз в процессе кристаллизации вещества

Размещено на http://www.allbest.ru/

Управление эволюцией поверхности раздела фаз в процессе кристаллизации вещества Работа выполнена при финансовой поддержке Программы фундаментальных исследований Президиума РАН I.33П

Албу А.Ф.

Зубов В.И.

Аннотации

Исследована задача управления эволюцией поверхности раздела фаз при кристаллизации металла в литейном деле. Управляющая функция определяется из решения сформулированной в работе задачи оптимального управления.

Ключевые слова:

кристаллизация металла, оптимальное управление.

The problem of controlling the phase boundary evolution in the course of solidification in metal casting is studied. The control function is determined by solving the optimal control problem formulated in this work.

Keywords:

metal solidification, optimal control.

Численно моделируется процесс кристаллизации расплавленного металла в литейном деле. Чтобы управлять этим процессом, используется специальная установка. В качестве управления выбрано перемещение литейной формы относительно установки. Управляющая функция определяется из решения сформулированной в работе задачи оптимального управления, которая решается численно с помощью градиентного метода. Для вычисления градиента целевой функции использовалась методология быстрого автоматического дифференцирования. При полученном в результате оптимизации управлении фронт кристаллизации практически совпал с требуемым. Результаты работы могут быть использованы при изготовлении деталей в литейном деле.

Одним из важных этапов процесса изготовления изделий в литейном деле является этап остывания и кристаллизации расплавленного металла в литейной форме. Важность этого этапа объясняется тем, что от того, как протекал процесс остывания и кристаллизации жидкого металла, зависит качество отлитого изделия. Многочисленные исследования показали, что для получения металлического образца хорошего качества желательно, чтобы во время этого процесса поверхность раздела фаз была как можно ближе к плоской и чтобы скорость ее движения была близкой к предписанной.

Процесс кристаллизации металла начинается с того, что в рабочую полость литейной формы с определенной конфигурацией внешней границы и рабочей полости (продольные проекции реального объекта представлены на рис. 1) заливают жидкий металл. Литейная форма подогрета до заданной температуры , а залитый в нее металл - до температуры . После этого под воздействием изменяющихся внешних условий начинается постепенное охлаждение объекта (литейная форма с залитым в нее металлом). Для управления этим процессом используется специальная промышленная установка. Она состоит из верхней и нижней частей. Верхняя часть представляет собой плавильную печь, внутри которой перемещается объект. Она моделируется двумя вертикальными, расположенными друг против друга стенками, которые соединены сверху горизонтальной стенкой ("крыша"). Стенки печи и "крыша" разогреты до заданной сравнительно высокой температуры. Нижняя часть установки является охладителем и состоит из большой емкости, заполненной жидким алюминием при температуре, немного превышающей температуру плавления алюминия.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.1 - Рабочая полость литейной формы (две проекции)

В работе рассматривается вариант, когда две боковые стенки литейной формы (с тех сторон, где отсутствуют стенки печи) изготовлены из такого теплоизолированного материала, который в жидком алюминии теряет свойство теплоизоляции. Эта модель литейной формы описывает ситуацию, когда в рассматриваемой установке обрабатываются несколько литейных форм, расположенных в ряд недалеко друг от друга.

Литейная форма, заполненная жидким металлом, медленно погружается в охладитель. При перемещении объекта в рассматриваемой установке на него воздействуют два фактора. С одной стороны, объект погружается в жидкую среду, имеющую сравнительно низкую температуру, благодаря чему происходит кристаллизация металла. С другой стороны, объект получает тепло от стенок плавильной печи, что не позволяет процессу кристаллизации протекать слишком быстро. Необходимо выбирать такой режим остывания и кристаллизации расплавленного металла в плавильной печи, при котором фронт кристаллизации имеет заданную технологами форму (или близкую к ней) и движется достаточно медленно (со скоростью, близкой к предписанной). кристаллизация металл литейный

Остывание и затвердевание расплавленного металла происходит в результате взаимодействия объекта с внешней средой. Разные части внешней границы литейной формы находятся в разных тепловых условиях, и эти условия меняются в зависимости от времени. Укажем основные типы тепловых условий в точках внешней границы объекта.

1) Точка находится в жидком алюминии.

В этом случае необходимо учесть:

o потерю тепловой энергии тела за счет собственного излучения,

o приобретение энергии за счет излучения окружающего жидкого алюминия,

o обмен тепловой энергией за счет теплопередачи между жидким алюминием и объектом.

2) Точка находится вне жидкого алюминия.

Здесь необходимо учесть:

o потери тепловой энергии тела за счет собственного излучения,

o приобретение энергии за счет излучения стенок печи и "крыши",

o приобретение энергии за счет излучения поверхности жидкого алюминия.

Одним из основных механизмов переноса тепла в рассматриваемой задаче является тепловое излучение. В работе предложена математическая модель процесса передачи тепла за счет излучения от нагретых поверхностей к литейной форме, учитывающая особенности условий, в которых осуществляется литье изделий в рассматриваемой установке.

Процесс остывания металла и литейной формы описывается уравнением теплопроводности:

, .

Здесь - область литейной формы с залитым в нее металлом, имеющая кусочно-гладкую границу ; - температура вещества в точке с координатами в момент времени . Функция теплосодержания определяется соотношениями:

,

- удельная теплота плавления. Коэффициент теплопроводности имеет вид:

Константы , , , , , , , , , , заданы. Термодинамические коэффициенты претерпевают разрыв на границе металл-форма. На этой границе требуется выполнение двух условий: непрерывность температуры и потока тепла.

Существенной чертой задачи является наличие движущейся поверхности раздела между двумя фазами (жидкой и твердой), причем закон движения этой поверхности заранее неизвестен и его следует определять. Именно на этой поверхности происходит поглощение или выделение тепла, связанное с фазовым переходом (т.е. это так называемая задача типа Стефана). Область, отделяющая твердую и жидкую фазы в металле, определяется узким интервалом температур , где термодинамические коэффициенты и функция теплосодержания изменяются очень быстро.

На эволюцию поверхности раздела фаз существенное влияние оказывает скорость перемещения литейной формы. Поэтому в качестве управления выбрано зависящее от времени перемещение литейной формы. Для его определения была сформулирована задача оптимального управления. В качестве целевого функционала выбран следующий:

Здесь - момент времени, при котором зарождается фронт кристаллизации; - момент времени, при котором наступает полное затвердевание металла; - проекция поверхности раздела фаз на плоскость, перпендикулярную вертикальной оси объекта; - реальные координаты точек поверхности раздела фаз в момент времени ; - требуемые координаты точек поверхности раздела фаз в момент времени . Этот функционал призван обеспечить как близкую к требуемой скорость перемещения поверхности раздела фаз, так и выпрямление этой поверхности.

Пусть и - некоторые заданные константы ( - -координата, определяющая начальное расположение объекта относительно печи; - -координата, определяющая расположение объекта при его максимально допустимом погружении в охладитель). Будем говорить, что функция принадлежит классу , если непрерывная, кусочно-гладкая при и удовлетворяет ограничениям , . Задача оптимального управления состоит в выборе такого управления , при котором функционал достигает минимального значения.

Для численного решения поставленной задачи строятся временная и пространственная сетки. Исследуемый объект аппроксимируется набором параллелепипедов и разбивается поверхностями пространственной сетки на элементарные ячейки.

Для теоретического изучения процесса кристаллизации металла и управления этим процессом в работах [1]-[12] была предложена математическая модель процесса кристаллизации вещества, основу которой составляет трехмерная двухфазная начально-краевая задача типа Стефана. В этих работах также предложен алгоритм решения прямой задачи, позволяющий определять температуру вещества в каждой точке рассматриваемого объекта и выделять фронт кристаллизации, сформулирован и исследован ряд задач оптимального управления, которые решались для материалов с разными термодинамическими свойствами. Решение этих задач позволило найти подходящие режимы процесса кристаллизации. Они были применены как для литейной формы простейшей геометрии - параллелепипеда, так и для случая, когда исследуемый объект имеет сложную геометрическую форму (рис. 1), представляющую практический интерес.

Прямая задача состоит в определении температуры в каждой точке металла и литейной формы и выделении поверхности раздела фаз в металле. В основе алгоритма ее решения лежит использование уравнения теплового баланса для элементарной ячейки и переход от формулировки задачи в терминах температуры к формулировке в терминах функции теплосодержания. Для дискретизации по времени применялась схема Писмена-Рекфорда. Системы уравнений, полученные в результате аппроксимации прямой задачи, решались с помощью специально разработанного авторами итерационного метода.

При проведении расчетов прямой задачи основное внимание обращалось на эволюцию поверхности раздела фаз. Если перемещением литейной формы не управлять, то кристаллизация металла может происходить слишком быстро, а поверхность раздела фаз будет далека от плоской.

Задача оптимального управления сводилась к задаче безусловной оптимизации и решалась численно с помощью градиентных методов. Для обеспечения эффективности градиентного метода необходимо вычислять значения градиента целевой функции с высокой точностью. В работах [3] и [5] предложен метод, удовлетворяющий этому требованию. Он основан на применении эффективной методологии быстрого автоматического дифференцирования. Суть этой методологии в том, что она предоставляет канонические формулы, которые дают точное значение градиента целевой функции для выбранной дискретизации задачи оптимального управления. Следует отметить, что решить эту задачу, используя другие методы вычисления градиента целевой функции (например, методом конечных разностей), оказалось практически невозможным.

Рис. 2 - Зависимости перемещения литейной формы от времени

Рис. 3 - Реальная и требуемая поверхности раздела фаз

Ниже приводятся результаты одного из численных экспериментов решения задачи оптимального управления. Расчеты проводились для образца, сечения которого представлены на рис. 1. Его размеры и все остальные параметры задачи даны в [7]. Температура стенок печи равнялась єК. Координата требуемой поверхности раздела фаз менялась во времени с постоянной скоростью м/с. В качестве начального управления выбрано перемещение литейной формы с постоянной скоростью м/с (рис. 2). Значение целевого функционала при этом равнялось . На рис. 3 проиллюстрировано отличие реальной поверхности раздела фаз (кривая линия) от требуемой (горизонтальная прямая линия) в некоторый момент времени при начальном управлении . В результате оптимизации значение целевого функционала уменьшилось более чем в 3500 раза и составило . Оптимальное управление показано на рис. 2. Его использование позволило существенно выпрямить поверхность раздела фаз и одновременно обеспечило ее движение с требуемой скоростью. При таком управлении реальная поверхность раздела фаз практически совпала с требуемой.

Литература

1. Албу А.Ф., Зубов В.И. Математическое моделирование и исследование процесса кристаллизации металла в литейном деле // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. № 5. С. 882-902.

2. Албу А.Ф., Зубов В.И. Об оптимальном управлении процессом кристаллизации металла в литейном деле // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 2008. Т. 48. № 5. С. 851-862.

3. Албу А.Ф., Зубов В.И. Вычисление градиента функционала в одной задаче оптимального управления, связанной с кристаллизацией металла // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 2009. Т. 49. № 1.С. 51-75.

4. Албу А.В., Зубов В.И. О выборе функционала и разностной схемы при решении задачи оптимального управления процессом кристаллизации металла // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2011. Т. 51. № 1. С. 24-38.

5. Албу А.В., Албу А.Ф., Зубов В.И. Вычисление градиента функционала в одной задаче оптимального управления сложной динамической системой // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 2011. Т. 51. № 5. С. 814-833.

6. Албу А.В., Албу А.Ф., Зубов В.И. Управление процессом кристаллизации вещества в литейной форме сложной геометрии // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 2012. Т. 52. №12. С. 2149-2162.

7. Албу А.Ф., Зубов В.И. О влиянии параметров установки на управление процессом кристаллизации вещества в литейном деле // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 2013. Т. 53. №2. С. 238-248.

8. А.Ф. Албу, В.И. Зубов. Исследование задачи оптимального управления процессом кристаллизации вещества в новой постановке// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2014. Т. 54. № 5 С. 734-745.

9. Албу А.Ф., Зубов В.И. Исследование задачи оптимального управления процессом кристаллизации вещества в новой постановке для объекта сложной геометрической формы // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2014. Т. 54. № 12, С. 1879-1893.

10. А.Ф. Албу. Расчет теплового излучения при моделировании процесса кристаллизации вещества в литейном деле // Информационные технологии и вычислительные системы. 2015. Т.65. № 1. С. 47-55.

11. А.Ф. Албу. Управление эволюцией поверхности раздела фаз в процессе кристаллизации // Доклады академии наук, 2015, Т.464. № 1.

12. С. 24-27.

13. Албу А.Ф. Управление эволюцией поверхности раздела фаз в процессе кристаллизации для новых термодинамических параметров исследуемого вещества // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2016. Т. 56. № 5. С. 768-776.

Размещено на Allbest.ru