Численное моделирование нелинейно-наследственного поведения пространственно-армированных композитных сред

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Численное моделирование нелинейно-наследственного поведения пространственно-армированных композитных сред

В самолето- и ракетостроении в настоящее время особое внимание к себе привлекают композиционные материалы с пространственным расположением арматуры [1 и др.]. Так как полимерные материалы, как правило, используемые при создании таких композитов, обладают ярко выраженными наследственными свойствами, то актуальной является проблема моделирования механического поведения пространственно-армированных композитных сред из нелинейно-наследственных материалов.

В глобальной декартовой системе координат рассмотрим гибридный композит, армированный в произвольных направлениях N семействами волокон с интенсивностями (). Направление армирования k-м семейством волокон задается направляющими косинусами (); если направление армирования задано с помощью двух углов сферической системы координат (см. рисунок) - полярного расстояния и долготы , то

Обобщая на пространственный случай армирования модель Ю.В. Немировского с одномерным напряженным состоянием в волокнах, впервые предложенную в [2] для случая плоского армирования, получим следующие выражения для средних напряжений в композиции:

(1)

где - функция переключения, позволяющая выбрать вариант модели [3, с. 242] (жесткий при и мягкий при ); - напряжения в связующей матрице; - продольное напряжение в арматуре k-го семейства; - одномерное напряженное состояние в фиктивных волокнах из материала связующей матрицы, направленных по траекториям армирования k-го семейства [3].

Так как в волокнах k-го семейства реализуется одномерное напряженное состояние, то при нелинейно-наследственном поведении фазовых материалов можем записать определяющие соотношения в виде [4; 5]

(2)

где

(3)

t - время; - компоненты тензора деформаций; - интенсивность деформаций; - продольная деформация в арматуре k-го семейства; - интенсивность напряжений в материале матрицы, связанная известным соотношением с , ; - известная зависимость объемного модуля от , (функции , или известны из диаграмм мгновенного деформирования материала связующего; зависимость этих функций от обоих аргументов позволяет учитывать свойство разносопротивляемости материала связующей матрицы); , - заданные функции, характеризующие диаграмму мгновенного деформирования материалов арматуры k-го семейства () и связующей матрицы () и известные из опытов на растяжение - сжатие; - символ Кронекера; , , , - известные из экспериментов постоянные, характеризующие ядра ползучести; , , , - известные из экспериментов константы фазовых материалов, имеющие смысл характерного времени ползучести. Представление в (2) разностных ядер ползучести в виде линейных комбинаций экспоненциальных функций (с числом слагаемых , L, , ) позволяет аппроксимировать ядра более сложной структуры, в том числе и некоторые виды слабосингулярных ядер [6, c. 192].

Определяющими соотношениями (2), (3) описывается механическое поведение не только полимеров, но и некоторых металлов на стадии их активного нагружения [4, c. 217].

Так как даже простейшие задачи неустановившейся ползучести для изотропных элементов конструкций требуют привлечения численных методов интегрирования по времени [7], то тем более это касается сложно армированных композитных сред. Поэтому в настоящем исследовании разработаем численно-аналитическую модель нелинейно-наследственного поведения пространственно-армированного композита. С этой целью дискретизируем задачу по времени t, т.е. будем рассматривать ее решения в моменты времени (, ). Предполагаем, что в момент времени (и во все предыдущие моменты) решение задачи уже известно. Построим определяющие соотношения (2) для момента времени

(4)

где - шаг по времени (возможно, переменный).

Введем в рассмотрение дискретные по времени функции:

 (5)

которые по предположению в момент времени уже известны.

Записывая соотношения (2) для момента времени (4) с учетом обозначений типа (5) и вычисляя интегралы, входящие в (2), на интервале по формуле трапеций, а также используя вырожденность экспоненциальных разностных ядер [6, c. 192], окончательно получим

Эти соотношения можно записать так

(6)

Где

(7)

(8)

Умножим последнее равенство (6) на и результат сложим с третьим равенством, тогда с учетом (3) получим

(9)

где

(10)

Функции пространственных переменных , , , определенные по формулам (8), (10), можно трактовать как начальные напряжения в соответствующих фазовых материалах в момент времени , которые согласно (5), (8) в этот момент времени известны в каждой точке композитного тела.

Таким образом, соотношения (9) и два первых равенства (6) в момент времени можно трактовать как определяющие соотношения для фазовых материалов, поведение которых характеризуется зависимостями нелинейно-упругого тела с начальным напряженным состоянием.

Подставим напряжения , , , определенные в (6), (9), в равенства (1) при , тогда с учетом обозначений типа (5) получим

(11)

где

(12)

Деформации , , , в (11) связаны зависимостями типа (3).

Равенства (11) с учетом (3) можно рассматривать как определяющие соотношения для исследуемого композита в момент времени . Напряжения при этом можно трактовать как начальные напряжения в композиции, известные в момент времени (см. (12), (10), (8)). В общем случае соотношения (11) с учетом (3) являются нелинейными относительно деформаций .

Линеаризуем соотношения (11), предполагая, что функции , , , (см. (2), (3)) удовлетворяют достаточным условиям сходимости метода итераций [5, c. 199], аналогичного методу переменных параметров упругости. Если на некоторой m-й итерации известны m-ые приближения деформаций в момент времени , то согласно (3) будут известны m-ые приближения функций , , . Для следующего же ()-го приближения деформаций и напряжений будут справедливы линейные соотношения (см. (11), (3)):

(13)

где «начальные» напряжения изменяются в зависимости от номера n (от момента времени ) и не зависят от номера итерации m.

При решении соответствующей нелинейно-вязкоупругой краевой задачи для пространственно армированного композита в квазистатической постановке осредненные напряжения в композиции или их приближения (см. (11), (13)) в момент времени должны удовлетворять общеизвестным уравнениям равновесия и статическим граничным условиям, а деформации (или их приближения ) должны быть связаны с перемещениями () дифференциальными соотношениями Коши [4]. В случае же решения задачи динамического деформирования рассматриваемого композита из полимерных материалов необходимо соответствующим образом дискретизировать по времени уравнения движения. По мнению авторов, наиболее целесообразный метод такой дискретизации изложен в [8], поэтому не будем останавливаться на обсуждении этого вопроса более подробно. Отметим лишь, что все неизвестные функции при этом, как обычно и предполагается в наследственных задачах механики, принадлежат классу Хевисайда [4, с. 33].

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 10-01-90402-Укр_а) и Президиума СО РАН (Постановление № 10 от 15.01.09, номер проекта 72).

Библиографический список

композиционный арматура пространственный упругий

1. Полимерные композиционные материалы: структура, свойства, технология: учеб. пособие / под ред. А.А. Берлина. - СПб.: Профессия, 2009. - 560 с.

2. Немировский Ю.В. Об упруго-пластическом поведении армированного слоя // ПМТФ. - 1969. - № 6. - С. 81 - 89.

3. Матвеев К.А., Пустовой Н.В. Вариационные методы исследования устойчивости анизотропных пластин при температурно-силовом нагружении: Монография. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2005. - 368 с.

4. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. - М.: Наука, 1977. - 384 с.

5. Ильюшин А.А. Труды. Т. 3. Теория термовязкоупругости / Составители: Е.А. Ильюшина, В.Г. Тунгускова. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 288 с.

6. Абросимов Н.А., Баженов В.Г. Нелинейные задачи динамики композитных конструкций. - Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2002. - 400 с.

7. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. - М.: Физматгиз, 1966. - 752 с.

8. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Интегрирование динамических задач механики деформируемого твердого тела обобщенными методами Рунге - Кутты // Вычислительная механика сплошных сред. - 2008. - Т. 1, № 1. - С. 68-79.

Приложение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Локальная система координат , связанная с волокном k-го семейства

Размещено на Allbest.ru