Анализ резонансных частот в блочных средах на основе дискретных моделей
Исследование резонансных процессов в структурно неоднородных материалах со слоистой и блочной микроструктурой в рамках дискретных и непрерывных моделей. Расчет собственных частот продольного и вращательно–поперечного движения частиц в линейной цепочке.
| Рубрика | Производство и технологии |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.10.2018 |
| Размер файла | 271,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Анализ резонансных частот в блочных средах на основе дискретных моделей
Общая постановка
Процесс распространения упругих волн бесконечно малой амплитуды в дискретных механических системах можно описать с помощью системы дифференциальных уравнений
(1)
где - симметричная положительно определенная матрица обобщенных масс, - вектор обобщенных координат, - симметричная неотрицательно определенная матрица, - вектор внешних сил.
Для системы (1) верно уравнение характеризующее изменение полной энергии:
.
В случае, если вектор внешних сил зависит от времени периодически с частотой , то периодическим будет и вектор обобщенных координат при этом Исключением являются только резонансные частоты, для которых нарушается условие периодичности Квадраты частот являются корнями характеристического уравнения . Поскольку матрицы и симметричные и знакоопределенные, корни данного уравнения - действительные, а их число с учетом кратности равно размерности системы (1).
Для нерезонансных частот , где - резольвента, - единичная матрица. Для исследования поведения системы в окрестности собственных частот используется спектральный портрет матрицы [4]. С помощью спектрального портрета можно визуально отделить резонансные частоты и отследить изменение вектора в их окрестности.
Исследованы случаи продольных и вращательно-поперечных колебаний. В обоих случаях рассмотрена линейная дискретная цепочка из материальных точек массы соединенных между собой пружинами жесткости Расстояние между материальными точками равно длина цепочки в целом .
Продольные колебания. В данном случае к массам цепочки в продольном направлении приложены возмущающие силы , в результате которых массы получают перемещения , зависящие от времени. Схема колебаний цепочки представлена на рис. 1.
Рис. 1. Схема продольных колебаний цепочки
Уравнения движения в форме Лагранжа принимают вид
Здесь - функция действия, - кинетическая энергия, - потенциальная энергия цепочки. Данные уравнения приводятся к системе (1), причем матрицы и - якобиевы. Соответствующее характеристическое уравнение решается в явном виде [3]. Для этого строятся собственные векторы с компонентами , которые выражаются через параметры и . Система уравнений для собственных векторов автоматически выполняется, если
Показано, что при увеличении числа элементов в линейной цепочке резонансные частоты стремятся к собственным частотам продольных колебаний однородного упругого стержня с граничными условиями, соответствующими способу закрепления концов цепочки [1,2].
Вращательно-поперечные колебания
Пусть на элементы цепочки действуют поперечные силы и вращательные моменты , в результате чего элементы поворачиваются на малые углы и получают в поперечном направлении малые перемещения Схема колебаний цепочки представлена на рис. 2.
Рис. 2. Схема вращательно-поперечных колебаний цепочки
Граничные условия представим в виде
(2)
после введения в цепочку двух дополнительных элементов с индексами и . Уравнения Лагранжа принимают следующий вид:
(3)
Уравнения (3) также можно представить в виде системы (1) с симметричными и знакоопределенными матрицами. Подстановка в однородные уравнения выражений
которые автоматически удовлетворяют граничным условиям, приводит к системе линейных уравнений для амплитуд и . Условие равенства нулю определителя системы, представляющее собой условие существования нетривиальных решений, позволяет получить биквадратное уравнение для определения собственных частот цепочки:
Отсюда
(4)
Собственные частоты при естественных ограничениях на параметры цепочки всегда действительные и различные для разных Если номер зафиксировать, то при заданной длине цепочки существуют конечные пределы
а с помощью этих пределов коэффициенты формулы (4) для квадрата частоты бесконечной цепочки упрощаются. Устремляя теперь , то есть , можно установить, что . Это единственная собственная частота в бесконечной цепочке бесконечной длины, которая связана с вращательным движением элементов. Других резонансных частот нет.
На рис. 3 изображен матричный портрет для дискретной цепочки из 9 элементов. По размеру пятен на этом рисунке можно судить о том, что при приближении к частоте амплитуды колебаний нарастают примерно в такой же степени, как и при приближении к остальным резонансным частотам.
Уравнения (3) в пределе для бесконечной цепочки длины переходят в одномерные дифференциальные уравнения континуума Коссера:
(5)
с граничными условиями Коэффициенты уравнений пересчитываются через механические параметры дискретной модели из соображений сохранения полной массы и суммарного момента инерции, а собственные частоты континуума вычисляются по формулам, которые могут быть получены предельным переходом в формулах для частот собственных колебаний конечной цепочки. Резонансные свойства континуума Коссера на основе моделей пространственного напряженно-деформированного состояния изучались в монографии [5]. Было установлено, что в моментной среде существует резонансная частота, связанная с вращательным движением частиц, не зависящая от размеров области и от типа граничных условий на ее границе.
Рис. 3. Спектральный портрет матрицы,
Таким образом, показано, что при поперечных и вращательных колебаниях дискретной цепочки возникает система резонансных частот, зависящих от числа элементов и длины цепочки. Наряду с ней существует единственная резонансная частота вращательного движения, которая определяется только значениями механических параметров модели.
Список литературы
резонансный слоистый микроструктура
1. Биргер, И.А. Сопротивление материалов / А. Биргер, Р.Р. Мавлютов. - М.: Наука, Гл. ред. ФИЗМАТЛИТ, 1986. - 560 с.
2. Биргер, И.А. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник в 3 томах / И.А. Биргер, Я.Г. Пановко. - Т. 3 - М.: Машиностроение, 1968. - 567 с.
3. Воеводин, В.В. Матрицы и вычисления / В.В. Воеводин, Ю.А. Кузнецов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 1984. - 320 с.
4. Годунов, С.К. Современные аспекты линейной алгебры / С.К. Годунов. - Новосибирск: Научная книга, 1997. - 284 с.
5. Sadovskaya, O. Mathematical Modeling in Mechanics of Granular Materials / O. Sadovskaya, V. Sadovskii. - Ser.: Advanced Structured Materials, V. 21 - Springer: Heidelberg - New York - Dordrecht - London, 2012. - 390 p.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Поиск собственных частот элементов токарно-винторезного станка и их резонансных амплитуд с помощью программы MathCAD. Массы и жёсткости компонентов. Расчет режимов резания и осевой силы. Корректировка скорости резания. Выбор необходимых коэффициентов.
контрольная работа [248,9 K], добавлен 12.10.2009Поиск собственных частот элементов вертикально-фрезерного и токарного станков и резонансных амплитуд. Расчет силы резания, частоты вращения. Жесткость элементов токарного станка. Выбор и расчет необходимых коэффициентов. Корректировка скорости резания.
отчет по практике [87,5 K], добавлен 12.10.2009Составление упрощенной схемы валопровода и эквивалентных схем. Резонансные режимы работы силовой установки. Работа сил давления газов за один цикл колебаний. Определение резонансных амплитуд колебаний и дополнительных напряжений. Работа сил сопротивления.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 08.04.2014Анализ существующих схемных решений, однокаскадный усилитель на транзисторе с общим эмиттером. Расчет схемы усилителя низких частот, расчет выходного каскада. Схема усилителя с общим коллектором и Коллекторная стабилизация, эммитерный повторитель.
курсовая работа [49,9 K], добавлен 11.11.2009Проектирование и конструирование пьезоэлектрического насоса для микрожидкостного устройства. Моделирование перистальтического пьезонасоса. Создание действующего макета. Испытание элементов насоса. Измерение резонансных частот, выходного давления.
дипломная работа [3,9 M], добавлен 22.10.2016Магнитомягкие материалы для сильных токов и промышленных частот. Электротехнические стали, магнитомягкие материалы для постоянного тока и слабых токов низких и повышенных частот. Магнитострикционные материалы, материалы для высоких частот и СВЧ.
курсовая работа [514,3 K], добавлен 23.04.2012Описание процесса структурообразования мармелада на основе агара и сахара. Составление уравнения регрессии, отражающего зависимость пластической прочности массы от дозировки сахара и малинового пюре. Оптимизация структурно-механических свойств мармелада.
реферат [44,9 K], добавлен 23.08.2013Возникновение вибраций при обработке резанием. Опасность резонансных режимов, наступающих при совпадении частоты собственных колебаний заготовки с частотой колебаний других звеньев технологической системы. Выбор технического ршения задачи.
научная работа [683,7 K], добавлен 19.07.2009Определение собственных частот крутильных колебаний вала с дисками. Диагностирование характеристик вала с дисками по спектру частот колебаний, моментов инерции масс дисков. Применение метода решения обратной задачи, программная реализация решения.
дипломная работа [434,9 K], добавлен 23.10.2010Методы разработки коллекции моделей одежды стиля "хиппи", с использованием оптимальных способов композиционного, конструкторского, технологического решения. Анализ основных элементов и средств композиции моделей, включенных в коллекцию. Выбор материалов.
дипломная работа [60,2 K], добавлен 20.08.2010Розрахунки і побудова графіків частот обертання шпинделя, методика визначення дійсного значення. Порівняння теоретичних розрахунків та експериментальних даних. Кінематична схема та структурна формула. Оцінка похибок розрахунків частот обертання шпинделя.
методичка [158,8 K], добавлен 25.01.2010Разработка коллекции моделей одежды на основе графических источников, отвечающей требованиям к проектируемому изделию. Способы композиционного, конструкторского и технологического решения. Создание коллекции моделей одежды как художественной системы.
дипломная работа [54,4 K], добавлен 25.08.2010Особенности и технология проектирования малогабаритного частотомера. Расчет надежности и резонансной частоты печатной платы и частот собственных колебаний пластины. Анализ нормативно-технической документации изделия и методы расчета теплового режима.
курсовая работа [337,7 K], добавлен 04.02.2010Способ составления уравнения движения для жесткого ротора. Влияние на частоты колебаний ротора жесткостей горизонтальных и вертикальных опор. Рассмотрение прямой задачи по определению собственных частот колебаний ротора, ее программная реализация.
курсовая работа [682,5 K], добавлен 28.10.2013Методы разработки конструкции микросборки фильтра верхних частот. Особенности расчета топологии микросборки (расчет пассивных элементов схемы и их расположения на подложке) и маршрутной технологии микросборки. Резисторы типа "квадрат", конденсаторы.
курсовая работа [553,0 K], добавлен 28.02.2010Кинематический расчет привода: электродвигатель, определение частот вращения и вращающих моментов на валах. Определение частот вращения и вращающих моментов. Расчет быстроходной прямозубой цилиндрической передачи. Конструктивные размеры шестерен и колес.
курсовая работа [624,0 K], добавлен 16.12.2013Функции системы автоматизированного проектирования одежды. Художественное проектирование моделей одежды. Антропометрический анализ фигур. Методы проектирования конструкций моделей. Разработка семейства моделей, разработка лекал и определение норм расхода.
дипломная работа [150,5 K], добавлен 26.06.2009Технологические возможности горизонтально-расточного станка 2654, способы крепления заготовки и инструмента, устройство и принцип его действия. Кинематический расчет количества зубьев, частот вращения каждой ступени, построение графика частот вращения.
курсовая работа [7,2 M], добавлен 05.04.2010Назначение и классификация моделей, подходы к их построению. Составление математических моделей экспериментально-статистическими методами. Моделирование и расчет цифровых систем управления. Разработка и исследование модели статики процесса ректификации.
учебное пособие [1,8 M], добавлен 26.03.2014Исследование способа снижения уровня остаточных напряжений в металлоконструкциях, стабилизации их формы и размеров, повышения циклической долговечности. Характеристика воздействия на металл конструкции знакопеременными нагрузками на резонансных частотах.
презентация [439,1 K], добавлен 07.12.2011
