Высокопроизводительные вычисления в задачах динамики упругопластических, сыпучих и пористых сред

Размещено на http://www.allbest.ru/

Высокопроизводительные вычисления в задачах динамики упругопластических, сыпучих и пористых сред

В.М. Садовский

О.В. Садовская

А.А. Краснов

Институт вычислительного моделирования СО РАН, г. Красноярск

Аннотация

Математические модели динамики упругопластических, сыпучих и пористых сред, учитывающие эффект схлопывания пор под действием сжимающих напряжений, приводятся в геометрически линейном приближении к единоообразной форме вариационного неравенства для гиперболического оператора. На основе метода расщепления по физическим процессам и по пространственым переменным строится параллельный вычислительный алгоритм, который реализован в виде программного комплекса для многопроцессорных ЭВМ кластерной архитектуры. Для тестирования алгоритма и программ используются точные решения, описывающие одномерные волновые движения, а также точные решения плоских квазистатических задач. Приводятся результаты расчетов упругопластических волн в пористых средах, по мере прохождения которых формируются зоны схлопывания пор.

Ключевые слова: упругость, пластичность, пористая среда, схлопывание пор, динамика, вариационное неравенство, параллельные вычисления.

Обобщенная формулировка модели. Как известно, формулировка уравнений линейной динамической теории упругости в скоростях и напряжениях в виде симметричной - гиперболической системы [1] исключительно полезна не только при исследовании математической корректности модели, при построении точных решений и анализе областей зависимости и влияния, но и при разработке численных методов для исследования задач с особенностями решений типа ударных волн, вызванных локализованными и импульсными воздействиями. Такая формулировка позволяет применить методы Годуновского типа, основанные на идее сеточно-характеристических схем. При учете упругопластических процессов в математическую модель вводятся ограничения - неравенства, которым должны удовлетворять напряжения в среде, и система уравнений заменяется вариационным неравенством для гиперболического оператора [2]. Для сыпучих сред с упругопластическими свойствами, по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию, возникает более общая формулировка в виде вариационного неравенства [3]:

. (1)

Здесь - искомый вектор, составленный из проекций вектора скорости частиц и компонент тензора действительных напряжений, а - вектор, в который входят проекции скорости и компоненты тензора условных напряжений. Вектор связан с равенством

где - малый параметр, равный отношению модулей упругости сыпучей среды при растяжении и при сжатии, означает проекцию вектора на конус , ограничивающий в пространстве напряжений множество состояний сжатия. Волной в неравенстве (1) отмечен допустимый варьируемый вектор, матрица коэффициентов при производных по времени симметрична и положительно определена, матрицы при производных по пространственным координатам симметричны, - кососимметричная матрица, - вектор плотности объемных сил, - множество, ограниченное поверхностью текучести материала.

Аналогичную формулировку допускает математическая модель упругопластической пористой среды [4]. Отличие состоит в том, что в данном случае вместо одного тензора в каждый из векторов и входят компоненты двух специальных тензоров напряжений, поэтому число неизвестных функций значительно возрастает, и уравнение, связывающее эти векторы, заменяется уравнением в котором вектор характеризует распределение пор в начальном состоянии среды.

Алгоритмическая и программная реализация. Явный по времени алгоритм численной реализации вариационного неравенства строится на основе метода расщепления по физическим процессам. Сначала на каждом временном слое решается задача деформирования упругой пористой среды, а затем полученное решение корректируется для учета пластических свойств [3]. Для решения упругой задачи используется метод двуциклического расщепления по пространственным переменным. Одномерные системы уравнений на этапах расщепления решаются с помощью явной монотонной ENO-схемы типа «предиктор-корректор». При построении схемы используется полная система левых собственных векторов, вычисленных аналитически.

Алгоритм реализован в виде комплекса параллельных программ для исследования процессов деформирования упругопластических, сыпучих и пористых сред под действием внешних динамических нагрузок на многопроцессорных вычислительных системах кластерной архитектуры. Программный комплекс позволяет проводить расчеты распространения волн, вызванных внешними механическими воздействиями, в массиве среды, составленном из произвольного числа разнородных блоков с криволинейными границами. Распараллеливание вычислений производится на этапе расщепления задачи по пространственным переменным. Используется библиотека передачи сообщений MPI, язык программирования - Fortran. Встраивание математической модели в программный комплекс осуществляется посредством программных модулей, реализующих определяющие уравнения нестационарной модели, начальные данные и граничные условия задачи. Комплекс состоит из программы-препроцессора, основной программы расчета полей скоростей и напряжений, подпрограмм реализации граничных условий и условий склейки решений на несогласованных сетках соседних блоков, и программы-постпроцессора.

Ранее комплекс применялся для численного решения задач динамики сыпучей среды [3]. Его универсальность достигается за счет произвола в выборе числа неизвестных функций, описывающих изменяющиеся со временем искомые физические поля, а также в возможности задания любого количества слоев, полос в слое и блоков в полосе, числа узлов сетки в каждом из блоков и количества исполняющих процессоров кластера. Комплекс оснащен программами автоматического построения криволинейных расчетных сеток с помощью кубических сплайнов в плоских и пространственных областях блочной структуры по заданным координатам вершин блоков и касательным векторам к поверхностям раздела в вершинах, со статическим распределением области решения задачи между рабочими процессорами по принципу равномерной загрузки. Склейка решений на межблочных границах выполняется специальной процедурой, в которой решение на измельченной сетке, получаемой пересечением граничных ячеек соседних блоков, определяется с помощью уравнений на характеристиках, а затем переносится на исходные сетки методом осреднения. Процессоры обмениваются данными посредством блокирующих функций библиотеки MPI.

Основной программой на каждом узле кластера выполняются подобные вычисления, которые сводятся к взаимно согласованной поэтапной реализации метода расщепления по пространственным переменным. Исключение составляют процессоры, производящие склейку решений на внутренних границах раздела. Условия склейки реализуются по следующей схеме. Процессоры, обслуживающие приграничные блоки (блоки, расположенные по обе стороны от границы раздела), передают необходимую информацию одному из таких процессоров, который в дальнейшем производит расчет всей границы в целом и рассылает результаты в обратном направлении. Если разделяющая блоки граница лежит внутри области, обслуживаемой одним процессором, то склейка выполняется автономно, без обменов. Обмен данными между процессорами осуществляется на этапе реализации шага “предиктор” разностной схемы.

Программные комплексы для решения плоских и пространственных упругопластических задач динамики сыпучих сред зарегистрированы в Роспатенте: свидетельства о государственной регистрации № 2012613989 (программа 2Dyn_Granular) и № 2012613990 (программа 3Dyn_Granular) от 28.04.2012. В настоящее время проводится отладка и тестирование программного комплекса для решения плоских задач динамики пористых сред.

Численные расчеты проводились на кластерах МВС-1000М ИВМ СО РАН (г. Красноярск) и МВС-100К МСЦ РАН (г. Москва). Для тестирования алгоритма и программ в одномерной постановке решалась серия задач о распространении плоских продольных волн в полупространстве. Сопоставление показало хорошее соответствие численных результатов и точных решений. На рис. 1 приведены эпюры нормального напряжения для различных значений пористости: и (тонкие линии соответствуют точным решениям, более толстые - численным решениям). Результаты получены для пенистого алюминия на достаточно мелкой сетке с 500 узлами. Давление на границе полупространства задавалось так, чтобы материал по мере прохождения волн переходил в уплотненное пластическое состояние: и , соответственно (- предел текучести материала).

а б

Рис. 1. Эпюры нормального напряжения : а) , , б) ,

упругопластический среда пора сжимающий

Кроме того, в качестве теста использовалось точное решение осесимметричной задачи о расширении цилиндрической области в безграничной пористой среде, полученное в [5]. Расчеты проводились при медленном (квазистатическом) нагружении давлением на границе полости от нуля до заданного значения. Сравнение проводилось по характерным радиусам пластических зон и зон схлопывания пор. Оказалось, что с помощью численных расчетов можно достоверно определять границы всех зон, включая зоны неполной и полной пластичности, а также зон схлопывания пор, как при активном нагружении, так и при последующей медленной разгрузке.

На рис. 2 представлены результаты численного решения задачи о расширении цилиндрического кольца под действием локализованной нагрузки с периодически повторяющимися короткими - образными импульсами. На внешнем радиусе ставились условия жесткого закрепления, боковые границы расчетной области считались линиями симметрии. Результаты получены для пенистого алюминия с пористостью . Приведены линии уровня объемной деформации в различные моменты времени: когда головная волна прошла чуть дальше середины образца (рис. 2 а) и когда головная волна отражается от внешней границы (рис. 2 б). Черный цвет соответствует зонам схлопывания пор, в которых объемное сжатие выше пористости, белый цвет - зонам объемного растяжения материала. Разностная сетка состоит из узлов. Расчеты выполнены на 40 процессорах кластера (границы расчетных областей, обслуживаемых разными процессорами, отрисованы тонкими линиями).

а б

а б

Рис. 2. Линии уровня объемной деформации : а) мкс, б) мкс

Список литературы

1. Годунов, С.К. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения / С.К. Годунов, Е.И. Роменский. - Новосибирск: Научная книга, 1998. - 280 с.

2. Садовский, В.М. Разрывные решения в задачах динамики упругопластических сред / В.М. Садовский. - М.: Наука, 1997. - 208 с.

3. Sadovskaya, O. Mathematical Modeling in Mechanics of Granular Materials / O. Sadovskaya, V. Sadovskii. - Ser.: Advanced Structured Materials, V. 21. - Heidelberg - New York - Dordrecht - London: Springer, 2012. - 390 p.

4. Sadovskii, V.M. Mathematical Modeling of a Metal Foam as an Elastic-Plastic Continuum with Changing Resistance / V.M. Sadovskii, O.V. Sadovskaya // AIP Conference Proceedings. - 2015. - V. 1648. - P. 630005-1-630005-4.

5. Садовский, В.М. Радиальное расширение сферической и цилиндрической полостей в безграничной пористой среде / В.М. Садовский, О.В. Садовская, А.А. Лукьянов // Прикладная механика и техническая физика. - 2014. - Т. 55, № 4. - С. 160-173.

Размещено на Allbest.ru