Использование производных дробного порядка для решения задач механики сплошных сред
Использование аппарата дробно-дифференциального исчисления для учета наследственных свойств и фрактальности строения реальных материалов. Методы, основанные на разных определениях дробных производных, и их применение к решению задач теплопроводности.
| Рубрика | Производство и технологии |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.10.2018 |
| Размер файла | 126,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Использование производных дробного порядка для решения задач механики сплошных сред
Значительное количество реальных процессов не укладываются в представления механики сплошной среды и требуют привлечения представлений о фрактальности среды, в которой эти процессы происходят. К таким процессам, например, относятся диффузия примесей в грунте, распространение тепла в аэрогелях. Для их описания используется модифицированный соответствующим образом закон Фика (Фурье) [1], что требует привлечения математического аппарата дробного интегро-дифференциального исчисления [2]. Так в [3] Ю.Н. Работнов ввел обобщение реологического уравнения, построенного им для описания поведения наследственных сред, на случай производных дробного порядка. Обоснование применения производных дробного порядка в моделях вязкоупругости дано в [4,5]. Физическая интерпретация дробного интеграла дана в [6].
Определения дробной производной. Одна из проблем, возникающих при использовании дробных производных, заключается в том, что не существует их однозначного определения. Численные методы решения задач для уравнений с дробными производными привязаны к виду выбранной производной, поэтому возникает необходимость анализа и сравнения результатов, полученных при использовании разных определений и численных методов. Такое сравнение проводилось в [7,8] на примере задачи о распространении теплового импульса.
Использовались следующие определения дробных производных [2]:
1. Определение Римана-Лиувилля
2. Определение Капуто
3. Определение Грюнвальда-Летникова
теплопроводность дробный дифференциальный фрактальность
Сравнения методов, основанных на разных определениях дробных производных, проводились на тестовых задачах теплопроводности, затем проверялись на более сложных задачах с известными решениями.
Рассмотрим постановку задачи в простейшем случае:
с начальными условиями
В зависимости от величины параметров дробных производных, решения сформулированной задачи описывают различные физические процессы.
При фиксированном б: 0<г<1 - наблюдаем субдиффузию, г=1 - обычная, классическая диффузия, 1<г<2 - выраженная супердиффузия, при г=2 - получаем классическое волновое уравнение.
При фиксированном г: наблюдается классическая диффузия при б=2, эффекты супердиффузии при 1<б<2 и классический перенос при б=1.
На основании проведенных сравнений полученных решений с известными, были выбраны следующие численные методы для основных определений дробных производных:
- метод, описанный в статье [9], основанный на определениях Римана-Лиувилля и Капуто,
- конечно-разностные аппроксимации, основанные на определении в смысле Грюнвальда-Летникова.
В последнем случае наиболее удобной в использовании является модификация разностной схемы, известная как метод Эйлера [10], т.к. данная схема является безусловно устойчивой при любых параметрах дробных производных.
Общее дифференциальное уравнение вязкоупругого тела. Общее уравнение вязкоупругих сред имеет вид:
Данное уравнение при соответствующем выборе параметров описывает различные варианты моделей. Так при p=q=1 имеем:
при a=b=0 уравнение выражает закон Гука; a=m=0 - вязкая жидкость; a=0 - среда Фойгта; m=0 - среда Максвелла.
Подробнее рассмотрим основное уравнение модели Максвелла:
где b - неотрицательный параметр релаксации, а используемые дробные производные рассматриваются в смысле Римана - Лиувилля. Результатом расчета являются диаграммы деформирования фрактальной среды, причем показатели дробных производных напрямую зависят от фрактальной размерности среды.
Задача о деформировании тонкого стержня. Система уравнений, описывающих одноосное деформирование тонкого стержня, сформулирована как обобщение системы из [11], и имеет вид:
Здесь h1 h2 - главные удлинения, у1 у2 - главные напряжения, - скорость деформации, ф - время релаксации касательных напряжений, д - степень сжатия, S - энтропия, T - температура.
Результаты решения в форме диаграмм деформирования для различных значений степеней дробных производных показаны на рисунках 1,2. Полученные результаты демонстрируют влияние значений порядка производных на вид диаграмм деформирования.
Рис. 1. Диаграммы деформирования при фиксированном значении параметра г1=1 и различных значениях параметра г2
1: г2 =0.4,
2: г2 =0.8,
1: г2 =1,
2: г2 =1.1,
Рис. 2. Диаграммы деформирования при фиксированном значении параметра г2=1 и различных значениях параметра г1
1: г1 =0.8,
2: г1 =1,
3: г1 =1.1.
Библиографический список
1. Paradisi P., Cesari R., Mainardi F., Tampieri F. The fractional Fick's law for non-local transport processes. // Physica A, 2001, 293, p. 130-142.
2. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. // Минск: Наука и техника, 1987.
3. Работнов Ю.Н., Равновесие упругой среды с последствием. // Прикладная математика и механика, 1948, Т.12., с. 53-62.
4. Bagley R.L., Torvik P.J. A theoretical basis for the application of fractional calculus to viscoelasticity. // J. Rheol., 1983, v. 27, p. 201-210.
5. Bagley R.L., Torvik P.J. On the fractional calculus model of viscoelastic behavior. // J. Rheol., 1986, v. 30, p. 133-155.
6. Нигматуллин Р.Р. Дробный интеграл и его физическая интерпретация. // Теоретическая и математическая физика, 1992, Т.90, №3, с. 354-368.
7. Мержиевский Л.А., Корчагина А.Н. Сравнение методов численного решения задач для уравнения теплопроводности дробного порядка. // X Международный семинар «Супервычисления и математическое моделирование», Саров, 2008, с. 85-86.
8. Мержиевский Л.А., Корчагина А.Н. Моделирование распространения теплового импульса во фрактальной среде. // Экстремальные состояния вещества. Детонация. Ударные волны. Труды международной конференции «XI Харитоновские тематические научные чтения», Саров, 2009, с. 250-254.
9. Головизнин В.М., Киселев В.П., Короткин И.А. Численные методы решения уравнения дробной диффузии в одномерном случае. // М., 2003 (Препринт / ИБРАЭ РАН: IBRAE-2003-12).
10. Meerschaert M., Tadjeran C. Finite difference approximations for fractional advection-dispersion flow equations. // Journ. of Comp. and Appl. Mathem., 2004, v. 172, p. 65 - 77.
11. Мержиевский Л.А., Шамонин С.А. Построение зависимости времени релаксации касательных напряжений от параметров состояния среды. // ПМТФ, 1980, №5, с. 170 - 179.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Традиционный метод решения технических задач и кустарный промысел. Особенности чертежной тактики машиностроения и современного проектирования. Использование способов "мозгового штурма", синектики, морфологического анализа и ликвидации тупиковых ситуаций.
реферат [42,1 K], добавлен 09.02.2011Для решения задач теплопроводности применяют аналитические методы и численный метод. Чаще применяются: метод Фурье, метод источников и операторный метод. Уравнение процесса, удовлетворяющее дифференциальному уравнению теплопроводности и краевым условиям.
учебное пособие [319,4 K], добавлен 05.02.2009Отличия макро- и микроскопического строения материалов. Сравнение теплопроводности древесины и стали. Классификация дефектов кристаллического строения. Причины появления точечных дефектов. Особенности получения, свойства и направления применения резин.
контрольная работа [318,1 K], добавлен 03.10.2014Отбор образцов, проб и выборок для исследования свойств текстильных материалов, методы оценки неровности текстильных материалов. Однофакторный эксперимент. Определение линейного уравнения регрессии первого порядка. Исследование качества швейных изделий.
лабораторная работа [128,0 K], добавлен 03.05.2009Получение левоглюкозана при термообработке хлопковой целлюлозы в интервале температур 350-400° при пониженном давлении, аморфность его структуры. Стадии термического распада целлюлозы. Исследования по синтезу полилевоглюкозана, его эфиров и производных.
статья [33,3 K], добавлен 22.02.2010Понятие полимерных композиционных материалов. Требования, предъявляемые к ним. Применение композитов в самолето- и ракетостроении, использование полиэфирных стеклопластиков в автомобильной индустрии. Методы получения изделий из жестких пенопластов.
реферат [19,8 K], добавлен 25.03.2010Исследование составляющих элементов теории решения изобретательских задач и её значение для науки, изобретателей и производства. Анализ степени изменения объекта в зависимости от степени трудоемкости: закон полноты, ритмики и увеличения степени системы.
контрольная работа [20,5 K], добавлен 10.02.2011Основные понятия и определения алгоритма решения изобретательских задач (АРИЗ) как комплексной программы алгоритмического типа, основанной на законах развития технических систем. Классификация противоречий, логика и структура АРИЗ. Пример решения задачи.
реферат [382,9 K], добавлен 16.06.2013Диаграмма состояния сплава. Смолы, их группы и применение. Прямой и обратный пьезоэффект. Свойства, особенности, составы, применение пьзоэлектриков. Классификация и использование контактных материалов. Расшифровка марок сплавов МНМц 40-1,5 и МНМц 3-12.
контрольная работа [1,3 M], добавлен 21.11.2010Классификация композитов - искусственно созданных неоднородных сплошных материалов, состоящих из двух или более компонентов с чёткой границей раздела между ними. Схема методов для получения магнитных гидрогелей. Применение магнитополимерных материалов.
реферат [6,0 M], добавлен 07.10.2015Характеристика методов решения инженерных задач (морфологический анализ, мозговая атака, функционально-стоимостный анализ). Теории решения изобретательских задач. Поиск технического решения устранения трения при обработке изделий из алюминиевых сплавов.
курсовая работа [131,1 K], добавлен 26.10.2013Применение FnsysIcem для проектирования и расчета конструкций, интерфейс программы. Полное построение модели двойного тигля, служащего в химической промышленности для изготовления световолокна. Создание геометрии, блоков, построение сетки, экспорт в CFX.
курсовая работа [3,5 M], добавлен 27.11.2009Применение гидроизоляционных и рулонных кровельных материалов для защиты строительных конструкций, зданий и сооружений от агрессивных сред. Характеристика сырьевых материалов и расчет потребности в них на годовую программу цеха. Свойства линокрома.
контрольная работа [69,7 K], добавлен 18.03.2015Использование комбинации термической обработки и пластической деформации для обеспечения высоких механических свойств деталей и полуфабрикатов. Устройства для подогрева, охлаждения и перемешивания закалочных сред. Установки для обработки деталей холодом.
реферат [33,1 K], добавлен 06.11.2012Понятия и классификация нанотехнологий, виды наноструктур. Характеристика способов наноконстуирования. Исследование свойств материалов, применение и ограничения в использовании наноматериалов. Модифицирование сплавов с нанокристаллической решеткой.
курсовая работа [9,1 M], добавлен 14.07.2012Анализ научных разработок в области прогнозирования качества продукции и оценка математических методов решения статистических задач. Разработка структуры нейронной сети. Прогнозирование качества швейных изделий с использованием аппарата нейронных сетей.
дипломная работа [3,9 M], добавлен 14.04.2013Описание технологического процесса получения частично обессоленной воды из речной. Структурная схема предлагаемой АСУ. Применение технологий SCАDA для автоматизации задач. Использование программируемых контроллеров с резервированной структурой S7-400H.
дипломная работа [10,7 M], добавлен 24.04.2012Порошковая металлургия. Основными элементами технологии порошковой металлургии. Методы изготовления порошковых материалов. Методы контроля свойств порошков. Химические, физические, технологические свойства. Основные закономерности прессования.
курсовая работа [442,7 K], добавлен 17.10.2008История и перспективы газовой отрасли в Казахстане. Методы и системы измерений количества и показателей качества природного газа. Использование конденсационного гигрометра для замера влажности газа. Применение приборов на основе изменения импеданса.
дипломная работа [3,6 M], добавлен 26.10.2014Анализ методов оценки упругопластических свойств материалов для верха обуви при растяжении. Обоснование выбора методов испытаний и исследуемых материалов. Разработка автоматизированного комплекса для оценки свойств при одноосном и двухосном растяжении.
дипломная работа [4,8 M], добавлен 26.10.2011
