_{Размещено на http://www.allbest.ru/}

_{УДК 629.7}

_{ОАО «Московский институт электромеханики и автоматики»}

_{ОЦЕНКА УРОВНЯ БЕЗОПАСНОСТИ АВТОМАТИЧЕСКОЙ ПОСАДКИ САМОЛЕТА ПО КРИТЕРИЮ ТОЧНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ}

_{Л.Н. АЛЕКСАНДРОВСКАЯ}

_{А.Е. АРДАЛИОНОВА}

_{Предложены методы математического описания эмпирических функций распределений основных характеристик, определяющих безопасность автоматической посадки самолётов. Для решения задачи экстраполяции на ненаблюдаемые «хвосты» распределений применяются сплайн-аппроксимация и распределение Парето. Приводится логическая схема принятия решения в процессе моделирования.}

_{Оценивание сверхмалых вероятностей (10-5 ч 10-8) является сравнительно новой задачей математической статистики, появившейся с возникновением и развитием новой теоретической дисциплины - вероятностного анализа безопас-ности. Задача оценки уровня безопасности автоматического приземления самолета может быть решена, если выполнены требования к точностным характеристикам режима автоматической посадки по вероятности недопустимых ошибок управления. Анализ классических трудов по математической статистике (Крамер, Кендал, Стьюарт, Уилкс, Пирсон, Джонсон, Колмогоров и др.) показал, что все известные методы анализа эмпирических законов распределения вероятностей оперируют с выборками объектов в несколько сотен и применимы для анализа долей распределений в интервале 0,01 ч 0,99. Ниже рассматриваются особенности, воз-никающие при работе с большими объемами выборок (n = 100 000 ч 1 000 000), полученных при статистическом моделировании автоматической посадки самолетов по III категории ИКАО, и выдаются рекомен-дации по обоснованию необходимых объемов статистических испытаний и по-строению процедур оценивания вероятностных показателей безопасности Научный руководитель главный научный сотрудник, д.т.н., профессор, Александровская Лидия Николаевна.}

_{В докладе проведено исследование двух возможных подходов к решению задачи аппроксимации эмпирических законов распределения вероятностей характеристик автоматической посадки самолетов:}

- использование распределения Парето, описывающего распределение вероятности случайных величин больших (меньших) некоторого значения;

- использование сплайн-аппроксимации.

_{Использование распределения Парето}

_{Логическое обоснование данного подхода состоит в следующем: исходной информацией являются эмпирические функции распределений. Функция нормального закона распределения в логарифмическом масштабе представляет собой прямую линию (рис. 1). Поэтому на графиках функций распределения исследуемых характеристик автоматической посадки (на примере дальности касания основной стойкой шасси взлетно-посадочной полосы) видны отклонения от нормальности в хвостах распределений.}

Рис. 1. Функция распределения дальности касания Dкас

_{Из теории интерполяции известно, что чем меньше интервал интерполяции, тем лучше совпадение с экспериментальными точками. Так как для решения задачи экстраполяции на ненаблюдаемые хвосты распределений нас не интересует описание всей функции распределения, а только начальной или конечной ее части, выбор объема упорядоченной выборки, необходимой для аппроксимации, нужно производить из условия компромисса между точностью статистических оценок моментов подбираемого теоретического распределения и точностью интерполяции.}

_{В качестве иллюстрации к предложенному подходу приведены результаты аппроксимации правого хвоста функции распределения дальности касания на основе использования распределения Парето [1, 2].}

_{Распределение Парето, описывает распределение случайной величины, большей (меньшей) некоторого фиксированного значения .}

_{Распределение Парето имеет вид:}

_,

_{где .}

_{Оценкой методом моментов единственного параметра является}

_,

_{где оценка коэффициента вариации , а точность этой асимптотически нормальной оценки характеризуется дисперсией [3]}

_.

_{Степень усечения равна}

_,

_{где - число измерений в исследуемой хвостовой части.}

_{Согласование распределения Парето с усеченным исходным распределением производится по формуле}

_.

_{В таблице 1 представлены результаты расчетов, по использованию распределения Парето, проведенных для промежуточного варианта посадки самолета АН-148 при объеме статистического моделирования n=300000.}

_{Таблица 1 Результаты расчетов по использованию распределения Парето}

_{Помимо статистической погрешности при определении параметра распределения Парето, на результат может также повлиять неточность определения вероятности, соответствующей точке усечения. Для исследования этой погрешности будем использовать метод определения доверительного интервала на выборочный квантиль, приведенный в [3]. Согласно этому подходу, выборочный квантиль , оценкой которого является порядковая статистика, имеет асимптотически нормальное распределение, а для получения доверительного интервала предложена простая процедура: от исследуемой порядковой статистики нужно отсчитать в вариационном ряду влево и вправо округленное до целого числа измерений, посадка самолет аппроксимация парето}

_{где - квантиль стандартного нормального распределения; - доверительная вероятность; - среднеквадратическое отклонение.}

_{Таблица 2 Результаты расчетов по использованию распределения Парето с учетом погрешности определения вероятности точки усечения}

_{На основе приведенных в таблицах 1 и 2 результатов расчетов можно сделать следующие выводы:}

- точность аппроксимации закона распределения дальности касания распределением Парето сильно зависит от объема усечения_;

- при соответствующем выборе _{погрешность аппроксимации при доверительной вероятности составляет 11м;}

- увеличение _{приводит к «переоценке» дальности касания.}

_{Приведенный ниже подход в отличие от распределения Парето позволяет аппроксимировать всю функцию распределения, что повышает степень доверия к получаемым результатам.}

_{Использование сплайн-аппроксимации}

Сплайн-аппроксимацию будем применять к функции [4]:

,

где - значения экспериментальной функции, которые определены с погрешностью в виде случайной величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсией . Тогда оценку отклонения аппроксимирующей функции от экспериментальной функции можно представить как:

,

где константа подбирается экспериментально. Этому условию может удовлетворять множество аппроксимирующих функций. Из этого множества функций по теории сплайн-функции следует выбрать функцию, обладающую свойством гладкости. В теории сплайн-функции функционал гладкости функции задается интегралом от квадрата :

.

Таким образом, аппроксимирующая функция должна минимизировать функционал (8) при условии (7). Вводя множитель Лагранжа , сведем задачу условной минимизации к безусловной задаче по двум переменным и :

Задача определения сплайн-функции из минимизации выражения (9) при фиксированном параметре может быть решена по методике, описанной в [5].

Для построения сглаживающей сплайн-функции в качестве исходной информации требуется задать:

- значения аргументов, в которых известна экспериментальная функция распределения;

- значения экспериментальной функции распределения;

- назначить веса;

- задать граничные условия.

_{В результате расчетов сплайн-функции получаются значения сглаженной сплайн-функции при тех же значениях аргументов. Кроме этого получаются значения вторых производных. Знание значений сплайн-функции и её второй производной при исходных значениях аргументов позволяет вычислять сплайн-функцию при всех промежуточных значениях аргументов, принадлежащих исходному диапазону.}

Аппроксимация проводится для правого хвоста эмпирической функции распределения, начиная с точки, где сама экспериментальная вероятность имеет достаточно хорошую точность (см. рис.1).

По выше описанной методике проведены следующие вычисления:

- дисперсии разбросов вероятностей;

- проведено преобразование эмпирической функции распределения с помощью функции, обратной функции нормальному распределению;

- осуществлен поиск сплайн-функции из решения задачи (7) и (8) при параметре_.

Рис. 2. Сплайн-аппроксимация функции распределения ()

Результаты расчетов представлены на рисунке 2. Графики верхней и нижней границ разбросов эмпирических вероятностей получены по правилу трех сигма, отложенные от сплайн-аппроксимации функции, где в качестве сигмы использована действительная сигма (с учетом константы ), использованная при поиске сплайн-аппроксимации распределения.

В таблице 3 представлено совпадение основных статистических характеристик теоретической и экспериментальной функции распределения. Совпадение моментов служит подтверждением достоверности предложенного метода.

Таблица 3 Основные статистические характеристики функций распределения

_{Рис. 3. Блок-схема экспресс-анализа в процессе отработки закона управления автоматической посадки самолета}

_{Так как статистическое моделирование автоматической посадки самолета АН-148 производится «порциями» в заключение приведена логическая схема принятия решений в процессе моделирования (рис. 3), позволяющая в случае необходимости во время прервать процесс моделирования и сократить тем самым время и затраты на него.}

_{В таблице 5 приведены результаты прогнозирования дальности касания, осуществляемого всеми тремя методами на 1млн. реализаций.}

_{Таблица 5 Результаты прогнозирования дальности касания}

_{Таким образом, оба метода обеспечивают большую точность аппроксимации, при этом расхождение между результатами для этих двух методов незначительно (max 13м) и уменьшается с ростом объема реализаций. Заметим также, что рассмотренные методы дают некоторую «переоценку» экспериментального значения, что обеспечивает гарантию полученных результатов.}

_{Заключение}

_{В заключение заметим, несмотря на то, что подбор аппроксимирующего распределения индивидуален для каждой характеристики автоматической посадки и для каждого типа самолета, расчеты и соответствующие программы достаточно просты, поэтому проведение исследований, не представляет какой-либо сложности. Предлагаемые методы могут быть использована для экспресс-анализа при отработке систем автоматической посадки самолетов по III категории.}

_{Литература}

1. Дейвид, Г. Порядковые статистики. - М.: Наука, 1979.

2. Крюков, С.П. Методы анализа и оценивания рисков в задачах менеджмента безопасности сложных технический систем // С.П.Крюков [и др.]. - Спб.: Корпорация «Аэрокосмическое оборудование», 2007.

3. Единые Западно-Европейские нормы летной годности. Всепогодные полеты. ЕЗЕНЛГ-ВП, JAR-AWO, 1996.

4. Ивченко, Г.И. Введение в математическую статистику // Г.И.Ивченко, Ю.И.Медведев. - Москва, изд-во ЛКИ, 2010.

5. Завьялов, Ю.С. Методы сплайн-функций // Ю.С.Завьялов, Б.И.Квасов, В.Л. Мирошниченко - М.: Наука, Физматлит-1980.

Размещено на Allbest.ru