Напряженное состояние в пространстве из разупрочняющегося материала со сферической полостью под действием внутреннего давления

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ ИЗ РАЗУПРОЧНЯЮЩЕГОСЯ МАТЕРИАЛА СО СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТЬЮ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ

Бердников К. В.

Для решения задач живучести и оценки уточненной несущей способности элементов конструкций необходимо наряду с устойчивыми (по Друккеру) состояниями материала вводить в рассмотрение и неустойчивые [1-3]. На диаграмме деформирования неустойчивые состояния материала соответствуют падающему участку, когда при прогрессирующих деформациях убывают напряжения. При этом возникающие математические проблемы главным образом связаны с тем, что при таком подходе формулируемые краевые задачи уже не удовлетворяют требованиям единственности решения из условий корректности по Адамару [4]. Поскольку одному напряженному состоянию элемента конструкции соответствует два деформированных состояния, одно из которых, характеризует состояние упрочнения, а другое - состояние разупрочнения. Поэтому одной из ключевых задач в области разупрочняющихся материалов является разработка методик расчета напряженного состояния с учетом стадии деформационного разупрочнения. В настоящее время подобные методики разработаны для дискретных механических систем [5] и одномерных континуальных [6, 7]. Поэтому возникает естественная потребность расширения таких методик расчета на более сложные континуальные системы, в частности, не одномерные.

В работе в качестве континуальной механической системы рассматривается сферическая полость радиуса a, расположенная в пространстве, материал которого обладает эффектом деформационного разупрочнения. Полагается, что расширение полости осуществляется посредством задания равномерно распределенного внутреннего давления p. Считая деформирование полости изотермическим и активным, в качестве модели материала используется модель среды Генки с разупрочнением [8, 9]. При этом единая кривая наряду с восходящим участком имеет и ниспадающую ветвь.

Постановка задачи.

Для вывода уравнения равновесия воспользуемся вариационным принципом Лагранжа, который справедлив вне независимости от принимаемого в рассмотрение типа материала. Для изотермического процесса активного деформирования отождествляя приращение свободной энергии с элементарной работой напряжений (среда Генки) функция свободной энергии с учетом разупрочнения материала имеет вид [8, 9]

Тогда F представляет собой работу внутренних сил, и кроме того является потенциалом напряжений Полная работа деформаций всего тела равна

В случае мягкого нагружения из действующих на тело внешних сил имеется только распределенное давление p, поэтому согласно вариационному принципу Лагранжа [10],имеем

Расписывая левую часть равенства и учитывая выполнение условий полярной симметрии, получаем

то

Объемный интеграл, фигурирующий в первом слагаемом, с помощью теоремы Гаусса-Остроградского сводим к поверхностному интегралу

Применяя соответствующие деривационные формулы [11], имеем

Подставляя все вычисленные выражения

Окончательно имеем

Отсюда в силу независимости вариаций дu получаем уравнение равновесия и граничные условия

Вторым граничным условием является равенство нулю радиальной компоненты тензора напряжений на бесконечности

.

Для получения полной системы уравнений по определению напряженно-деформированного состояния сферической полости уравнение равновесия необходимо дополнить соотношениями Коши

а также физическими соотношениями для напряжений

где - коэффициенты упругости Ляме. Здесь E - модуль Юнга, G - модуль сдвига, н - коэффициент Пуассона.

Приращение неупругих составляющих возможно определить, используя инкрементальный закон пластичности [8, 9]

где dгp - приращение пластических (неупругих) деформаций сдвига, dг - приращение полных деформаций сдвига, Gp - инкрементальный модуль, определяемый касательной к единой кривой T(Г). Примерный вид единой кривой показан на рис. 1.

Рис. 1 Единая кривая с падающей ветвью

Отметим, что при выполнении условий полярной симметрии связь между интенсивностями деформаций сдвига и сдвиговыми деформациями дается соотношением между касательными напряжениями и их интенсивностями - [11].

Из решения упругой задачи известно[11], что объемные (гиростатические) напряжения и деформации равны нулю, следовательно, не оказывают влияние на поврежденность материала [1]. Поэтому в качестве представителей напряженно-деформированного состояния естественно рассматривать максимальные касательные напряжения ф и максимальные сдвиговые деформации г.

Итерационный алгоритм

Следуя общей методике [1], разобьем исходную задачу на основную и корректирующую. Основную задачу составляют уравнения (1), (4), (5) при граничных условиях (2), (3) и еpr(r) = еpи(r) = 0 (обычная краевая задача теории упругости). Корректирующая задача включает уравнения (1), (4), (5) при граничных условиях Отметим, что корректирующая задача представляет собой задачу по определению остаточных напряжений, возникающих в полости после разгрузки. Решение основной задачи имеет вид [11] напряжение континуальный упругопластический деформированный

Решение корректирующей задачи дается формулами [12]

Непосредственно проверяется, что сумма решений основной и корректирующей задач является решением исходной краевой задачи.

Приведем итерационную процедуру расчета напряженного состояния.

Пусть при некотором значении P = P0 пространство с полостью находится в равновесии и в каждой точке известны свойства материала. А именно: известна упругопластическая область a < r < r0T. В ней известны касательный модуль G0p и предел текучести ф0T. В упругой области r > r0T - модуль сдвига G и предел текучести ф0T. Кроме того, известно напряженно-деформированное состояние: ф0(r) - максимальное касательное напряжение, г0(r) - максимальный сдвиг, г0p(r) - остаточный максимальный сдвиг.

Увеличим нагрузку на ДP. Сначала при P = ДP решаем основную задачу. Получаем функции б1(r) и в1(r). Тогда функции г1(r) = г0(r) + б1(r), г1(r) = г0(r) + б1(r), ф1(r) = ф0(r) + в1(r) представляют собой первое приближение к решению исходной задачи для P1 = P0 + ДP. Далее из условия г1(r) = гT(r) = фT(r)/G находим новую границу r = r1T упругопластической области, в каждой точке которой при помощи единой кривой находим новые значения касательного модуля G1p. Для области a ? r ? r0T с помощью (5) находим приращение пластических (неупругих) деформаций dг1p, где dг = б1(r), Gp = G0p(r). В области r0T < r ? r1T данные приращения также определяем по формуле (5). Только в этом случае - dг(r) = (ф1(r) - фT)/G, Gp = GTp, где GTp - касательный модуль единой кривой в точке (ГT, TT).

Решаем корректирующую задачу, подставляя найденные приращения dг1p. Пусть г1'(r) и ф1''(r) решение корректирующей задачи. Тогда второе приближение равно г2(r) = г1(r) + г1'(r), ф2(r) = ф1(r) + ф1''(r). Из условия г2(r) = гT находим границу упругопластической области r = r2T. В каждой точке для значений г2(r) по диаграмме деформирования определяем касательные модули G2p( r). В области a ? r ? r1T по формуле (5) находим dг2p(r), где уже dг(r) = г1'(r), Gp = G1p(r). В области r1T < r ? r2T приращение неупругих деформаций также вычисляем по формуле (5), где dг(r) = (ф2(r) - фT)/G, Gp = GTp.

Снова решаем корректирующую задачу и данный процесс повторяется.

Заключение

Приведено описание итерационного алгоритма для расчета напряжений и деформаций континуальной механической системы на примере задачи о расширении сферической полости в упругопластическом пространстве. В качестве модели материала использовалась модель среды Генки с разупрочнением.

Работа выполнена по проекту УрО РАН (проект 12-С-1-1030) и при частичной поддержке молодежного научного проекта Президиума УрО РАН №14-1-НП-54.

Литература

1. В.В. Стружанов, В.И. Миронов. Деформационное разупрочнение материала в элементах конструкций. Екатеринбург, Изд-во УрО РАН. 1995, 192 с.

2. В.В. Стружанов. Живучесть и устойчивость механических систем. Вестн. Сам. гос. техн.тун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2004. № 30. С. 5-21.

3. В.Э. Вильдеман. Механика закритического деформирования и вопросы прочностного анализа. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering / Международный журнал по расчету гражданских и строительных конструкций. 2008. Т.4, №2. С.43-44.

4. В.В. Стружанов, Е.А.Бахарева. Неустойчивые состояния материала и сопутствующие математические проблемы. Материалы международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: Изд-во ТулГУ. 2013. С.469-470.

5. В.В. Стружанов, С.В. Жижерин. Модель повреждающегося материала и итерационные методы расчета напряженного состояния при кручении. Вычислительные технологии. 2000. Т.5, № 2. С. 92-104.

6. В.В. Стружанов, Е.А. Бахарева. К расчету параметров равновесия и устойчивости процесса кручения круглых стержней из разупрочняющегося материала. Вестн. Сам. гос. техн.тун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2012. № 2(27). С. 53-64.

7. В.В. Стружанов, Е.А. Бахарева. Математические методы в теории чистого изгиба прямоугольных балок из разупрочняющегося материала с симметричной диаграммой растяжения-сжатия. Вычислительная механика сплошных сред. 2012. Т. 5, № 2. С. 158-167.

8. В.В. Стружанов, К. В. Бердников. Свойства среды Генки с разупрочнением при полярно-симметричном деформировании. Динамика сплошной среды. Механика структурно - неоднородных сред. 2012. Вып. 127. С. 97-99.

9. В. В. Стружанов, К.В. Бердников. Об определяющих соотношениях среды Генки для разпрочняющегося материала при диагональном тензоре деформаций. Вестн. Сам. гос. техн.тун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2012. № 3 (28). С. 72-80.

10. А.А. Ильюшин. Пластичность, Ч1: Упруго-пластические деформации / Научн. предисловиеЕ. И. Шемякина, И. А. Кийко, Р. А. Васина. Репр. воспр.текста изд. 1948 г. М:Логос. 2004. 388 с.

11. А.И. Лурье. Теория упругости. М:Наука. 1970. 939 с.

12. Бердников К. В, Стружанов В. В. Остаточные напряжения в упругопластическом пространстве, возникающие после расширения сферической полости // Вестник УрГУПС. № 2(18). 2013. С. 18-26.

Размещено на Allbest.ru