Итерационная схема для компьютерного анализа устойчивости трехосного растяжения кубического элемента в специальном устройстве при жестком нагружении
Рассмотрение механической системы, состоящей из стержней, передающих нагрузку на кубический элемент единичных размеров. Нахождение напряжений и деформаций. Построение итерационного процесса. Деформационное разупрочнение материала в элементах конструкций.
| Рубрика | Производство и технологии |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 02.11.2018 |
| Размер файла | 146,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Итерационная схема для компьютерного анализа устойчивости трехосного растяжения кубического элемента в специальном устройстве при жестком нагружении
Бурмашева Н.В., Стружанов В.В.
Екатеринбург, Россия
Рассмотрим механическую систему, состоящую из трех стержней, передающих нагрузку на кубический элемент единичных размеров. Стержни упругие, их жесткость при растяжении равна . Три грани куба присоединены шарнирами к жестким стенкам, к другим трем граням шарнирами присоединены упругие стержни таким образом, что куб при деформировании может принимать только форму прямоугольного параллелепипеда. Свободным концам стержней задаем перемещения (жесткое нагружение). При этом в кубе возникают растягивающие напряжения и продольные деформации. Нагружение полагаем активным (параметры нагружения монотонно возрастают). На рисунке показана схема крепления и нагружения для четырех граней. Для двух других аналогично. Т.к. образец имеет единичные размеры, растягивающая сила, действующая на образец, численно равна соответствующему Рис. 1.
механический деформация напряжение конструкция
Соответствие растягивающему напряжению , а перемещение его грани, примыкающей к i-му стержню, равно численно продольной деформации . Поведение системы описывается потенциальной функцией
где первая группа слагаемых - это энергия деформаций упругих стержней, вторая - работа напряжений на деформациях кубического элемента при деформировании его по некоторому пути L. В дальнейшем считаем, что подынтегральное выражение в последнем криволинейном интеграле является полным дифференциалом, т. е. значение энергии не зависит от пути деформирования.
Потенциальная функция (1) является трехпараметрической функцией параметров состояния. Запишем уравнения равновесия, приравняв нулю частные производные потенциальной функции по параметрам состояния системы. Получим
где нижний индекс в левой части каждого равенства обозначает взятие частной производной по соответствующей переменной. Запишем уравнения (2) равновесия в матричной форме:
где - матрица жесткостей упругих стержней,
- вектор-столбцы напряжений, деформаций и задаваемых перемещений соответственно. Совокупность решений уравнения (3) определяет множество критических точек функции W, в которых система находится в положении равновесия (устойчивом или неустойчивом). Тип равновесия определяется собственными значениями матрицы устойчивости (матрицы Гессе H(W)). Матрица устойчивости состоит из смешанных производных функции по ее параметрам состояния. В данном случае
где являются инкрементальными модулями материала. Параметры характеризуют деформационные свойства материала элементарного куба, изменяющиеся в процессе нагружения. Смена устойчивости на неустойчивость происходит тогда, когда, по крайней мере, одно собственное число матрицы H(W) обращается в нуль, т. е. матрица Гессе вырождается [1]. Найдем условия, при которых детерминант матрицы Гессе системы обращается в ноль (условие вырождения). Имеем
В шестимерном пространстве с координатной системой, образованной компонентами матрицы Гессе, вырожденные точки образуют пятимерный дискриминантный конус. Внутри конуса равновесие устойчиво, вне - неустойчиво. В ходе деформирования изображающая процесс точка медленно перемещается внутри конуса. При пересечении его границы происходит потеря устойчивости системы.
Рассмотрим свойства материала куба. В области упругости имеем
где - коэффициенты Лямэ. Полагаем, что пластические деформации не влияют на упругие характеристики материала, то есть разгрузка определяется матрицей констант упругости и справедливо разбиение полных деформаций на сумму , где - векторы упругих и пластических деформаций соответственно. Тогда связь между напряжениями и деформациями можно описать следующими соотношением [2]:
Связь между их приращениями записывается следующим образом:
Для растягиваемого куба справедливо инкрементальное соотношение [2]
Отсюда - симметричная матрица третьего порядка. Приравняем (5) и (6) и выражаем через . Получим
где - единичная матрица третьего порядка. Используя (4), из (3) находим, что
Разобьем теперь нашу задачу на две: основную, свободную от пластических деформаций, и корректирующую, позволяющую определить пластические деформации. Основная задача имеет вид корректирующая - Тогда решение основной задачи где а решение корректирующей задачи Непосредственной проверкой убеждаемся, что - решение исходного уравнения равновесия. Для нахождения напряжений и деформаций построим итерационную процедуру, расчет в которой ведется по деформациям. Построение итерационного процесса можно осуществить по следующей схеме (алгоритму):
1) возмутим данное положение равновесия, увеличив параметр управления на
2) решаем основную задачу для получаем, находим которое принимаем за первое приближение к решению исходной задачи:
3) используя соотношение (7), где рассчитываем значение 4 )решаем корректирующую задачу при , получаем и осуществляем поправку, то есть, находим второе приближение
5) по формуле (7), где рассчитываем значение и повторяем всю процедуру еще раз, и так далее.
Представим данный итерационный процесс в виде ряда
где Здесь матрицы получаются из матрицы после вычисления компонент матрицы (инкрементальных модулей) для соответствующих значений деформаций, которые изменяются в ходе итераций.
Для сходимости итерационного процесса необходимо, чтобы спектральный радиус матрицы А был меньше единицы. В этом случае операторы будут сжимающими. Спектральный радиус матрицы А равен ее максимальному (по модулю) собственному числу. Анализ собственных чисел матрицы А показал, что , если det H(W)>0, и , если det H(W)=0. Таким образом, начало расходимости итерационного процесса (det H(W)=0) совпадает с моментом потери устойчивости процесса деформирования системы.
Литература
1. Р.Гилмор Прикладная теория катастроф: в 2х книгах. Кн.1. М.: Мир, 1984. - с.350
2. В.В. Стружанов, В.И. Миронов Деформационное разупрочнение материала в элементах конструкций. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1995. - с.192.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Изучение методики и экспериментальное определение напряжений в элементах конструкций электротензометрированием; сравнение расчетных и экспериментальных значений напряжений и отклонений от них. Определение напряжений при изгибе элемента конструкции.
лабораторная работа [1,0 M], добавлен 06.10.2010Влияние граничных условий на величину критической силы при потере устойчивости. Пределы применимости формулы Эйлера. Расчет продольно-сжатых стержней с использованием коэффициента снижения допускаемых напряжений. Использование коэффициента в расчетах.
контрольная работа [309,0 K], добавлен 11.10.2013Условия получения мелкозернистой структуры при самопроизвольной развивающейся кристаллизации. Схема возникновения нормальных и касательных напряжений в металле при его нагружении. Рассмотрение процессов структурообразования железоуглеродистых сплавов.
контрольная работа [486,1 K], добавлен 27.06.2014Оценка размеров поперечного сечения. Нахождение момента инерции относительно центральных осей. Расчет прочно-плотного заклепочного шва. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Проектный расчет вала при совместном действии кручения и изгиба.
курсовая работа [535,6 K], добавлен 19.11.2012Построение эпюр нормальных и поперечных сил, изгибающих и крутящих моментов. Напряжения при кручении. Расчет напряжений и определение размеров поперечных стержней. Выбор трубчатого профиля стержня, как наиболее экономичного с точки зрения металлоёмкости.
контрольная работа [116,5 K], добавлен 07.11.2012Расчетное и экспериментальное определение критических сил стержней большой и средней гибкости. Сравнительный анализ результатов расчета и эксперимента. Построение диаграммы критических напряжений, определение расчетных значений критической силы стержня.
лабораторная работа [341,9 K], добавлен 06.10.2010Определение динамических перемещений и напряжений в балке и пружине; сравнение расчетных и экспериментальных значений определяемых величин. Изучение методики испытаний материалов на ударный изгиб; определение ударной вязкости углеродистой стали и чугуна.
лабораторная работа [4,7 M], добавлен 06.10.2010Вычисление главных напряжений. Углы наклона нормалей. Определение напряжений на наклонных площадках. Закон парности касательных напряжений. Параметры прочностных свойств материала, упругих свойств материала. Модуль упругости при растяжении (сжатии).
контрольная работа [417,0 K], добавлен 25.11.2015Расчет машиностроительных конструкций по допускаемым напряжениям. Способность системы воспринимать возрастающую нагрузку. Предельная нагрузка, дополнительный запас прочности. Метод предельного равновесия. Преимущество метода - экономия материала.
реферат [52,0 K], добавлен 23.04.2009Применение осадки для получении поковок. Схемы главных напряжений и деформаций при осадке. Расчёт усилия осадки: определение геометрического очага деформации, сопротивления металла деформированию, контактных напряжений, энергосиловых параметров процесса.
курсовая работа [165,4 K], добавлен 13.12.2009Определение технологических параметров при обжиме. Механизм и схема напряженно-деформированного состояния при раздаче. Пути интенсификации процесса отбортовки. Определение напряжений и деформаций при вытяжке. Особенности процессов формовки и осадки.
курс лекций [5,4 M], добавлен 15.06.2009Разработка технических требований на изготовление сварной металлоконструкции "Бак с фланцами". Анализ технологичности сварной металлоконструкции. Расчет свариваемости основного материала. Мероприятия по снижению сварочных напряжений и деформаций.
курсовая работа [1,6 M], добавлен 20.04.2017Припуски и кузнечные напуски. Варианты схем обработки. Требуемый такт выпуска деталей. Схема размерного анализа механической обработки венца соплового. Нормирование технологического процесса. Условия выполнения перехода, частота вращения инструмента.
курсовая работа [6,3 M], добавлен 18.01.2014Описания обработки давлением как одного из основных способов получения заготовок и деталей в приборостроении. Обзор видов деформаций. Раскрой материала при холодной листовой штамповке. Анализ процесса изменения формы заготовки за счет местных деформаций.
презентация [1,6 M], добавлен 27.09.2013Любой механизм помимо других свойств должен обладать прочностью, т.е. способностью его деталей, соединений выдерживать, не разрушаясь, действие внешних сил. Под действием внешних сил звенья механизмов изменяют свою форму, размеры, т. е. деформируются.
реферат [1,8 M], добавлен 13.01.2009Системы подвижных взаимосвязанных и параллельных сил. Методы расчета на подвижную нагрузку. Построение линий влияния усилий простой балки в статически определимых системах. Построение линий влияния при узловой передаче нагрузки, определение усилий.
презентация [136,2 K], добавлен 24.05.2014Цели и задачи технологического процесса механической обработки заготовок. Определение количества операций обработки поверхности заготовки. Назначение операционных припусков и расчет операционных размеров. Коэффициент уточнения и метод его расчета.
контрольная работа [31,6 K], добавлен 15.05.2014Построение эпюр нормальных и перерезывающих сил, изгибающих и крутящих моментов для пространственной конструкции. Расчет напряжение и определение размеров поперечных сечений стержней. Применение формулы Журавского для определения касательного напряжения.
курсовая работа [364,5 K], добавлен 22.12.2011Периоды развития металлических конструкций. Определение усилий в стержнях рамы, нагрузки на ригель, реакций опоры. Приведение внешней нагрузки на ригель к узловой. Расчет рамы на постоянную, ветровую и снеговую нагрузку. Подбор сечения стержней рамы.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 26.02.2013Выбор материала для несущих элементов конструкции. Определение размеров поперечного сечения пролетных балок мостов крана. Проверочный расчет на прочность и конструктивная проработка балок. Размещение ребер жесткости. Проверка местной устойчивости стенок.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 18.05.2014
