Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Электрические и оптические свойства проводящих частиц, характерный линейный размер R которых сравним с длиной свободного пробега носителей заряда л, существенно зависят от механизма поверхностного рассеяния носителей заряда [1-2].

В типичных полупроводниках длина свободного пробега носителей заряда при комнатной температуре составляет 10-1000 нм, а характерная длина волны де Бройля при этой температуре лB~10 нм. В металлах с хорошей проводимостью л~10-100 нм, а длина волны де Бройля лB?0,3 нм. Таким образом, при условии лB<<R<л можно пренебречь квантовыми размерными эффектами и необходимо учитывать классические размерные эффекты.

В настоящей работе рассматривается электрическое поглощение малой проводящей частицы из полуметалла или сильно легированного примесного полупроводника n-типа (p-типа) проводимости радиуса R и длины L (L>>R), обусловленное переменным электрическим полем плоской электромагнитной волны частотой , для случая ненулевых температур. Для высокопроводящих частиц в рассматриваемом диапазоне частот ( << р, где р - частота плазменного резонанса) при ориентировке электрического поля вдоль оси цилиндра вклад токов дипольной электрической поляризации доминирует по сравнению с вкладом вихревых токов, индуцируемых магнитным полем волны, поэтому действие магнитного поля не учитывается. Радиус цилиндрической частицы R считается меньше глубины скин-слоя , что позволяет пренебречь скин-эффектом. На соотношение между длиной свободного пробега основных носителей заряда и радиусом частицы R ограничений не накладывается.

Для достаточно длинного цилиндра (считаем, что L>>R) экранировкой электрического поля волны в объеме цилиндра можно пренебречь. Оценка параметров, при которых осуществляется этот режим, подробно проведена в [1]:

,

где ?(0) = e2nф/m - статическая проводимость, е - заряд электрона, n и m - соответственно равновесная концентрация и эффективная масса электрона (дырки), ф - время релаксации.

Однородное периодическое по времени электрическое поле волны:

(1)

действует на носители заряда в частице, что вызывает отклонение f1 их функции распределения f от равновесной фермиевской f0

f(r,v,t) = f0 () + f1(r,v,t), , (2)

здесь r - радиус-вектор (начало координат выбирается на оси частицы), v - скорость электрона (дырки), = mv2/2 - кинетическая энергия в случае простой сферически-симметричной энергетической зоны, - химический потенциал,

Поле (1) приводит к возникновению высокочастотного тока в частице

. (3)

В формуле (3) использована стандартная нормировка функции распределения f, при которой плотность электронных состояний равна .

Средняя диссипируемая мощность в частице определяется выражением [3]:

, (4)

здесь чертой обозначено усреднение по времени, а звездочкой - комплексное сопряжение.

Задача сводится к отысканию отклонения f1 функции распределения от равновесной фермиевской функции f0, возникающего под воздействием высокочастотного поля (1). В линейном приближении по внешнему полю функция f1 удовлетворяет кинетическому уравнению [4, 5]

, (5)

где предполагается гармоническая зависимость от времени (f1exp(-it)), а интеграл столкновений взят в приближении времени релаксации электронов (дырок) ф:

.

Таким образом, решая уравнение (5), найдем функцию распределения f1, затем плотность тока j (3). Сечение поглощения электромагнитного излучения рассчитаем, разделив среднюю диссипируемую мощность (4) на средний поток энергии в электромагнитной волне : .

Решая уравнение (5) методом характеристик [1-2], для неравновесной функции распределения получим:

,

, (6)

где - эффективная частота столкновений, причем и А постоянны вдоль траектории (характеристики). Параметр в выражении (6) имеет смысл времени движения электрона вдоль траектории от границы, на которой происходит отражение, до точки r со скоростью v.

Для однозначного определения функции f1 необходимо задать для нее граничное условие на цилиндрической поверхности частицы. В качестве такового принимаем условие диффузного отражения электронов от этой поверхности:

, (7)

диффузный полупроводник цилиндрический

где и , соответственно, компоненты радиус-вектора электрона r и его скорости v в плоскости перпендикулярной к оси частицы.

При отражении электрона от границы частицы параметр в выражении (6) определяется как:

. (8)

Соотношениями (6), (7), и (8) полностью определено решение f1 уравнения (5) с граничным условием (7), что позволяет рассчитать ток (3) и диссипируемую мощность (4).

При вычислении интеграла (3) удобно перейти к цилиндрическим координатам как в пространстве координат (, , ; полярная ось - ось Z; вектор параллелен оси Z), так и в пространстве скоростей (, , ; полярная ось - ось ). Ось симметрии частицы совпадает с осью Z. Поле (2) в цилиндрических координатах имеет лишь z-компоненту: . Соответственно, и ток (3) обладает лишь z-компонентой (линии тока являются прямыми, параллельными оси Z):

(9)

В силу симметрии задачи интегрирование по всему диапазону скоростей в (9) заменяется интегрированием по положительному диапазону, и результат удваивается. Кроме того, движение носителей заряда симметрично относительно любой диаметральной плоскости, в которой лежит точка их положения на траектории, поэтому можно считать, что угол в пространстве скоростей меняется в пределах, и удваивать результат интегрирования по этой переменной. Учитывая сказанное и вводя новые безразмерные переменные, для плотности тока (9) получим:

,

.

Здесь введены безразмерные переменные:

, , ,

, ,

где л - средняя длина свободного пробега носителей заряда. При нормировке z0 использовалась характерная скорость носителей заряда v1, которая вводится следующим образом:

,

(10)

Для случая сильно вырожденного Ферми-газа () при T 0 v1 v0, где v0 - фермиевская скорость, определяемая выражением (10) для функции Ферми f0 (T 0). В другом предельном случае невырожденного электронного газа при T ? v1 , т.е. имеет порядок средней тепловой скорости носителей заряда.

Получим выражение для сечения поглощения электромагнитного излучения , разделив среднюю диссипируемую мощность (4) на средний поток энергии в волне :

.

Преобразуем это выражение к виду:

(11)

Проведя в (11) замену переменной интегрирования во внутреннем интеграле: , проинтегрировав по частям по и выполняя замену , получим:

. (12)

Выражение (12) определяет зависимость безразмерного сечения поглощения вытянутой цилиндрической частицы от безразмерной частоты внешнего поля y, безразмерной обратной длины свободного пробега и безразмерного химического потенциала .

Рис. 1. Зависимость безразмерного сечения поглощения F от безразмерной частоты внешнего поля при x=0.1 и различных значениях безразмерного химического потенциала

Рис. 2. Зависимость безразмерного сечения поглощения F (u? = 0.5) от безразмерной обратной длины свободного пробега электронов x при различных значениях безразмерной частоты y

На рис. 1 представлена зависимость безразмерного сечения поглощения F от безразмерной частоты внешнего поля y для различных значений безразмерного химического потенциала . Безразмерная обратная длина свободного пробега электронов x одинакова для каждой кривой и равна 0.1, т.е. радиус частицы мал по сравнению с длиной свободного пробега электронов. Из рис. 1 видно, что при относительно малых безразмерных частотах (y < 0.5) безразмерное сечение поглощения F больше для частиц с наименьшей степенью вырождения электронного газа (сплошная кривая), но в области более высоких частот (y > 0.5) увеличение степени вырождения (т.е. u) приводит к относительному увеличению поглощения.

Условие сильного вырождения носит экспоненциальный характер, т.е. ; поэтому, если , то вырождение можно считать сильным. Напомним, что для типичного металла при комнатной температуре , т. е. вырождение очень сильное и остается таковым вплоть до температуры плавления [4, 5]. Таким образом, пунктирная кривая на рис. 1 характеризует поведение сечения поглощения металлической цилиндрической частицы в широком диапазоне температур (от нулевых температур до температур плавления). Сплошная кривая на рис. 1 соответствует другому предельному случаю невырожденного электронного газа, удовлетворяющего критерию . В этом случае, в отличие от случая вырожденного электронного газа, химический потенциал существенно зависит от температуры. Применению классической статистики способствует малая концентрация n, большая эффективная масса m и высокая температура T. Таким образом, сплошная кривая на рис. 1 описывает безразмерное электрическое сечение поглощения полупроводниковых цилиндрических частиц в случае невырожденного электронного газа при высокой температуре.

Характер зависимости F от y при любых значениях x и u одинаков: с возрастанием безразмерной частоты y безразмерное электрическое сечение поглощения частицы уменьшается. Это объясняется тем, что с увеличением частоты поля электроны проводимости внутри частицы не успевают значительно ускориться под действием внешнего электрического поля за период его изменения.

На рис. 2 приведена зависимость безразмерного сечения поглощения F от безразмерной обратной длины свободного пробега электронов x при различных значениях безразмерной частоты y. Из рисунка видно, что с увеличением безразмерной обратной длины свободного пробега электронов x все зависимости сливаются, так как имеет место макроскопическая асимптотика.

Рис. 3. Зависимость безразмерного сечения поглощения F от величины u /k0T при x=0.1 и y=0.1

Рис. 4. Зависимость безразмерного сечения поглощения F от величины u /k0T при x=0.1 и y=2.

На рис. 3 и 4 построены зависимости безразмерного сечения поглощения F от величины безразмерного химического потенциала u/k0T при x=0.1 и y=0.1 и y=2, соответственно. Видно, что кривые F при больших и малых значениях аргумента выходят на различные асимптотики, а характер зависимости F(u) на рис.3 и рис. 4 разный в зависимости от значений безразмерной частоты внешнего поля y. Максимальное относительное отличие в значениях F при выходе на асимптотики (рис. 3) составляет ~11%. Это отличие уменьшается как с увеличением x (т. е. уменьшением вклада поверхностных столкновений), так и с увеличением y.

Список литературы

1. Завитаев Э.В., Юшканов А.А. // ЖТФ. 2005, Т. 75. Вып. 9. С. 1-7.

2. Кузнецова И.А. Юшканов А.А. // Опт. и спектр. 2003. Т. 94, № 3. С. 489-493.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.10. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1992. 664 с.

4. Ансельм А. И. Введение в теорию полупроводников. М.: Наука, 1978. 616 с

5. Займан Дж. Электроны и фононы. М.: ИЛ. 1962, 488 с.

Размещено на Allbest.ru