Метод аппроксимации измеренных координат точек поверхностей, учитывающий сопряжение деталей машиностроения

Размещено на http://www.allbest.ru/

106

Размещено на http://www.allbest.ru/

Метод аппроксимации измеренных координат точек поверхностей, учитывающий сопряжение деталей машиностроения

В.А. Печенин, М.В. Янюкина, М.А. Болотов Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет)

Аннотация

В статье изложен метод аппроксимации, определяющий свойства поверхности с учетом смятия неровностей, характеризующихся отклонением формы и шероховатости. Метод сравнивается с применяемым при координатных измерениях методом наименьших квадратов. Предлагаемый метод позволяет более точно спрогнозировать качество сборки измеряемых деталей с достаточной оперативностью непосредственно при измерениях.

Ключевые слова: координатные измерения, аппроксимация, метод наименьших квадратов, смятие неровностей, сборка.

Abstract

In article the approximation method defining properties of a surface taking into account the crushing irregularities which are characterized by a deviation of a form and a roughness is stated. The method is compared with the applicable coordinate measurements at the least squares method. The proposed method makes it possible to more accurately predict the quality of assembly measured parts with sufficient speed directly in the measurements.

Keywords: coordinate measuring, approximation, least squares method, crushing irregularities, assembly.

В основе большинства современных средств измерений, применяемых в машиностроении для контроля геометрических параметров, заложен координатный метод измерения.

Координатные измерения - это измерения геометрических параметров объекта путем измерения координат отдельных точек поверхности объекта в принятой системе координат (прямоугольной, цилиндрической, сферической) и последующая математическая обработка измеренных координат для определения линейных и угловых размеров, отклонений формы и расположения поверхностей [1].

Значительное влияние на точность и достоверность измерений оказывает выбор используемых моделей и реализующих их алгоритмов аппроксимации измеряемых поверхностей. Модель и алгоритм аппроксимации позволяют определить геометрические параметры заменяющих элементов, ассоциируемых с измеряемыми поверхностями по некоторому множеству координат точек измеренных на поверхности. Существующие на сегодняшний день алгоритмы аппроксимации, реализуют модели оценки, основанные на методе наименьших квадратов, Чебышева (метод мини-макс), описанных и вписанных элементов для цилиндрических поверхностей.

Чаще всего в практике измерений используется аппроксимация с использованием метода наименьших квадратов [2]. В случае, когда измеряемые поверхности представлены достаточно большим множеством точек и имеют значительное отклонение формы, то используются методы Чебышева (метод мини-макс), описанных и вписанных элементов для цилиндрических поверхностей. Однако использование любого из названных методов аппроксимации в случае наличия отклонения формы поверхностей приводит к ошибкам определения расположения (размеру второго рода) и собственного размера относящегося к поверхности (размеру первого рода). Это объясняется тем, что положение и размер (в случае окружности - диаметр или радиус) поверхности, достигаемый в процессе сборки, отличается от определённых положения и размера с использованием методов аппроксимации. На отличие оказывает влияние контактная жесткость поверхностей, отклонение формы и шероховатость поверхности.

В процессе сборки происходит сминание части микронеровностей, упругая деформация в контакте поверхностей. Расположение контактирующих поверхностей определяется контактными взаимодействиями поверхностей имеющих погрешность формы.

На рис. 1 изображено сопряжение двух деталей. Показана ошибка оценки положения оси по методу МНК без учета названных факторов, в абсолютном выражении равная разности величин L₂ и L₁.

В авиационной промышленности определение действительного контактного сопряжения поверхностей наиболее важно в таких типах пар деталей, как вал-кольцо подшипника, хвостовик лопатки - диск турбины ГТД, а так же сопряжение поступательно движущихся деталей.

Рис. 1. Погрешность оценки расположения сопрягаемых деталей без учета контактного взаимодействия поверхностей и сминания: L₁ - размер, характеризующий радиус вала при традиционной оценке размеров, L₂ - реальное сопряжение деталей.

В данной работе мы предлагаем метод аппроксимации, определяющий поверхности с учетом смятия неровностей, характеризующихся отклонением формы и шероховатости. Предлагаемый метод имеет высокую производительность вычислений.

Алгоритм реализации, предлагаемого метода

Рассмотрим модель сминания для вала, который установлен в кольцо подшипника и касается его по линии нижней частью. Допущение модели: кольцо подшипника является абсолютно жестким и номинально прямолинейным (в продольном сечении представляет прямую). Рассматриваемая модель представлена на рисунке 2. Изначально кольцо коснется поверхности по двум точкам (рис. 2, прямая 3 начальное положение соприкасающихся поверхностей вала и кольца подшипника). Затем происходит смятие неровностей поверхности вала до определенного предела (рис. 2, прямая 4). Формула для определения длины соприкосновения, при котором смятие прекратится, выглядит [3]:

Рис. 2. Модель аппроксимации поверхности предложенным методом и методом МНК, 1 - поверхность вала, 2 - аппроксимация методом МНК, 3 - начальное положение кольца подшипника, 4 - конечное положение кольца подшипника.

, (1)

где Р - усилие, возникающие при сборке изделия, Н; - допускаемое напряжение при смятии, кгс/м², МПа.

В процессе работы алгоритма аппроксимации осуществляется итерационное приращение точек прямой кольца вала d, являющейся достаточно малой величиной по сравнению со значением отклонения формы и шероховатости поверхности вала. Сминание более широких участков будет происходить медленнее, чем сминание участков с меньшей длиной. На каждом этапе итерационного алгоритма рассчитываются длины участков смятия и центр масс этих длин по формуле:

, (2)

где Р_учi - усилия, возникающие на каждом участке соприкосновения поверхностей, Н; L_учi - длины участков соприкосновения, МПа.

В соответствии с положением центра масс L_ц рассчитываются величины корректировки к приращениям точек двух крайних участков смятия d₁ и d₂. Соответственно линия поверхности кольца подшипника на следующей итерации поворачивается на некоторый угол. Итерационное смятие прекращается, когда на n-м шаге сумма длин участков превысит значения, рассчитываемого по формуле (1).

Традиционный подход к описываемой задачи включает в себя расчет положения прямой соприкосновения вала и кольца подшипника методом наименьших квадратов измеренных точек поверхности вала (рис. 2, пунктир 2).

Отклонение профиля, полученного методом наименьших квадратов, от профиля, полученного предложенным методом, можно рассчитать по формуле:

, (3)

где h - расстояние между профилями, рассчитанными предлагаемым методом и методом МНК; H - величина суммарного отклонения формы и шероховатости.

Для исследования взаимодействия абсолютно твердой поверхности и деформирующейся шероховатой поверхности системы «вал-внутреннее кольцо подшипника» по предложенному методу и методом МНК в среде «MATLAB» был реализован программный комплекс.

Расчеты проводились на множестве реализаций профилей вала и с суммарной величиной отклонения формы и шероховатости в диапазоне [5…30] мкм. Допускаемое напряжение при смятии для стали вала 40ХН составляет 305,81МПа. Величина , рассчитанная по формуле (3) составила 23,2-31,4%. Линия профиля, рассчитанная методом МНК, всегда располагается ближе к оси вала, чем линия, вычисленная в результате моделирования сминания поверхности вала кольцом подшипника.

В статье предложен метод определения поверхностей деталей с учетом особенностей их сборки. Эту задачу можно решить в CAE системах, но виду высокой трудоемкости использование CAE систем в процессе контроля является невозможным. Предлагаемый метод обладает высокой производительностью и позволяет оперативно при измерении выполнять необходимую аппроксимацию и оценивать качество сборки изделия.

аппроксимация смятие шероховатость

Список литературы

1. Координатные измерения размерных и геометрических параметров. Основные положения. Терминология: Введ. 01.01.92. -- М.: ВНИИ измерения, 1990. -- 28 с.

2. Гапшис А.А., Каспарайтис А.Ю., Модестов М.Б. Координатные измерительные машины и их применение // Машиностроение. М., 1988. - 328с.

3. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов. Учебник для втузов.// Высшая школа. М., 1975. - 654с.

Размещено на Allbest.ru