Расчет PID-регулятора электрогидравлического следящего привода с учетом случайных параметрических возмущений

Размещено на http://www.allbest.ru/

РАСЧЕТ PID-РЕГУЛЯТОРА ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКОГО СЛЕДЯЩЕГО ПРИВОДА С УЧЕТОМ СЛУЧАЙНЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ

Тин Эй Чжо, Тун Тун Чжо

Работа посвящена проблеме повышения точности систем автоматического управления в условиях наличия случайных параметрических возмущений. В качестве системы автоматического управления рассматривается электрогидравлический следящий привод (ЭГСП) с PID-регулятором, обеспечивающим улучшение его динамических свойств. Для данного типа привода характерна заметная чувствительность к различным внешним факторам, носящим, в основном, случайный характер и приводящим к изменениям параметров привода в процессе эксплуатации. К ним относится, например, изменение температуры рабочей жидкости или изменение процента содержания газовой фазы в ней. В первом случае такие изменения происходят относительно медленно по сравнению со временем протекания переходных процессов, поэтому параметрические возмущения такого рода можно представить в виде постоянных случайных параметров (величин). Во втором случае изменения значений параметров происходят относительно быстро, что позволяет рассматривать их как случайные процессы и считать эти параметры переменными. В работе предлагается способ компенсации влияния быстрых случайных изменений параметров ЭГСП путем соответствующей оптимизации параметров PID-регулятора, найденных без учета случайности параметров модели ЭГСП.

Рассматривается задача оптимизации параметров PID-регулятора в контуре управления ЭГСП с учетом случайности модуля объемной упругости рабочей жидкости, приводящей к случайности коэффициента сжатия в уравнениях расходов исходной математической модели ЭГСП, обозначаемого далее как . Случайные изменения данного коэффициента на интервале исследования имеют переменный характер, что позволяет рассматривать его как случайный процесс.

Стандартной формой линеаризованной математической модели ЭГСП с PID-регулятором является следующее дифференциальное уравнение:

, (1)

где коэффициенты … зависят от указанного случайного параметра, а значит также являются случайными функциями времени и могут быть представлены в виде канонических разложений случайных процессов, то есть в виде линейной комбинации некоррелированных случайных величин , являющихся коэффициентами разложений этих случайных процессов по системе неслучайных координатных функций :

, ,(2)

где случайные коэффициенты имеют нулевые математические ожидания и дисперсии, равные единице. Алгоритм вычисления проекционных характеристик координатных функций можно найти в [2].

Задача оптимизации параметров регулятора формулируется следующим образом. Требуется определить оптимальные параметры PID-регулятора, обеспечивающие заданные динамические характеристики системы управления с учетом случайности коэффициента сжатия рабочей жидкости, обусловленной быстроизменяющимся процентом содержания газовой фазы. привод жидкость упругость температура

Требуемые динамические характеристики системы управления задаются функцией эталонного (желаемого) переходного процесса , который должен иметь место при подаче на вход системы ступенчатого сигнала . Параметры PID-регулятора входят в выражения для коэффициентов уравнения (1).

Будем полагать, что случайный коэффициент , учитывающий случайность модуля объемной упругости рабочей жидкости, являются гауссовым случайным процессом, для которого заданы математическое ожидание и автокорреляционная функция , имеющие размерности и соответственно.

Оптимизацию параметров предлагается выполнять в два этапа. На первом этапе ищутся значения данных параметров, обеспечивающие наилучшее приближение выходного сигнала системы к эталонному переходному процессу при условии, что коэффициент сжатия неслучайный, его величина постоянна и равна математическому ожиданию случайного коэффициента, т.е. . Поиск параметров PID-регулятора на данном этапе осуществляется путем минимизации следующего функционала, построенного с использованием проекционной модели системы управления [1], включающей ЭГСП и PID-регулятор:

,(3)

где - проекционная характеристика эталонного переходного процесса ; - проекционная характеристика переходного процесса, вычисленная по проекционной модели системы управления для заданных значений параметров PID-регулятора.

Проекционная модель системы является результатом конечномерной аппроксимации исходной непрерывной модели, выполняемой с использованием методов теории матричных операторов [1].

При начальных значениях параметров PID-регулятора , переходный процесс детерминированной системы имеет вид, представленный на рис. 1 (пунктирная линия - , непрерывная линия - ). Путем минимизации функционала (3) находим значения параметров PID-регулятора , , при которых переходный процесс имеет вид, представленный на рис. 2 (пунктирная линия - , непрерывная линия - ).

Рис. 1

На втором этапе выполняется повторная оптимизация параметров путем минимизации следующего функционала:

(4)

где - элементы квадратной матрицы проекционной характеристики автокорреляционной функции выходного сигнала стохастической модели ЭГСП , вычисляемой по усредненной проекционной модели [2]; - число членов разложения по ортогональному базису функций Уолша; - элементы квадратной матрицы проекционной характеристики , вычисляемой как

,

где - проекционная характеристика выходного сигнала ЭГСП для , найденных на первом этапе алгоритма оптимизации без учета фактора случайности параметров ЭГСП; - проекционная характеристика математического ожидания выходного сигнала стохастической модели ЭГСП, также вычисляемая по усредненной проекционной модели [2]; - знак транспонирования.

Минимизируя функционал (4) при начальных значениях , полученных на первом этапе оптимизации, находим следующие оптимальные значения параметров PID-регулятора , , . Видно, что новые значения отличаются от найденных ранее. Таким образом, удалось скомпенсировать влияние случайности параметров ЭГСП за счет коррекции значений параметров PID-регулятора, найденных для детерминированной модели ЭГСП.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3

На рис. 3 представлен график выходного сигнала ЭГСП после выполнения первого этапа оптимизации параметров PID-регулятора без учета случайности параметров ЭГСП (непрерывная линия) и график математического ожидания этого же сигнала с учетом случайности параметров ЭГСП (пунктирная линия). Видно, что случайные параметрические возмущения приводят к заметному изменению среднего значения выходного сигнала ЭГСП, то есть ухудшает точность работы следящей системы управления.

На рис. 4 показан результат второго этапа оптимизации, после выполнения которого среднее значение выходного сигнала ЭГСП при случайных параметрических возмущениях (пунктирная линия) практически не отличается от выходного сигнала ЭГСП не имеющего случайных параметрических возмущений (непрерывная линия).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.5

На рис. 5 представлено сравнение дисперсии выходного сигнала стохастической модели ЭГСП до выполнения второго этапа оптимизации параметров PID-регулятора (непрерывная линия) и после выполнения этого этапа (пунктирная линия). Видно, что второй этап оптимизации позволил не только скомпенсировать отклонение среднего значения выходного сигнала ЭГСП, вызванное параметрическими возмущениями (рис. 4), но и заметно уменьшить его дисперсию и, соответственно, среднеквадратическое отклонение, что также положительно сказывается на точности работы следящей системы

Таким образом, предлагается метод оптимизации параметров PID-регуляторов, позволяющий учесть влияние случайности параметров объекта управления. По сравнению с традиционным подходом к синтезу регуляторов, предлагаемый метод обеспечивает лучшее качество регулирования, как следствие, более высокую точность работы системы управления в целом.

Список литературы

1. Лапин С.В., Егупов Н.Д. Теория матричных операторов и ее приложение к задачам автоматического управления. -- М.: Издательство МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1997. -- 496 с.

2. Пупков К.А., Егупов Н.Д., Макаренков А.М. и др. Теория и компьютерные методы исследования стохастических систем. -- М.: Физматлит, 2003. -- 400 с.

Размещено на Allbest.ru