Главная Коллекция "Revolution" Производство и технологии Приложение метода неопределенных множителей Лагранжа к решению задачи рационализации пневмомотора

Приложение метода неопределенных множителей Лагранжа к решению задачи рационализации пневмомотора

Рассмотрение ребра жесткости как конструктивного элемента поршня, предусмотренного для уменьшения деформации изгиба. Анализ изменения параметров сечения ребра жесткости, что может приводить к уменьшению характеристик напряженно-деформированного состояния.

Рубрика Производство и технологии
Вид статья
Язык русский
Дата добавления 29.11.2018
Размер файла 304,4 K
рефераты на заказ со скидкой

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ РАЦИОНАЛИЗАЦИИ ПНЕВМОМОТОРА

Раевская Л.Т., УГЛТУ, г .Екатеринбург, РФ

Величина напряжения вдоль оси поршня пневмомотора ДАР 14М на порядок превышает среднее значение [1]. Одна из основных причин этого - появление деформации изгиба из-за внецентренного сжатия. Для уменьшения деформации изгиба предусмотрен такой конструктивный элемент поршня, как ребро жесткости. В поршне пневмомотора ДАР-14М длина ребра жесткости 60 мм, сечение, перпендикулярное оси ребра, имеет геометрическую форму трапеции с верхним основанием а = 8 мм, нижним основанием b = 16 мм. Высота трапеции h = 15 мм (рис.1, 2).

ребро жесткость деформация изгиб

Рис.1. Модель поршня

В нижней части между опорами под поршневой палец - ребро жесткости.

Ранее было показано, что параметры ребра жесткости не оптимальны [1]. Изменение параметров сечения ребра жесткости может приводить к уменьшению характеристик напряженно-деформированного состояния (НДС) от 4-5% (упругие деформации, абсолютные смещения точек) до 10-15% (напряжение). Для окончательного решения задачи поиска формы и параметров сечения ребра жесткости исследуем целевую функцию - в нашем случае нормальное напряжение вдоль оси поршня. Воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа, который особенно эффективен при числе переменных три и менее [2]. В данном расчете целевая функция зависит от двух параметров - размеров верхнего и нижнего оснований трапеции. Эти параметры выбраны в качестве переменных проектирования. Кроме того, потребуем, чтобы масса ребра жесткости оставалась постоянной, равной исходной массе в поршне пневмомотора ДАР-14М. Это налагает ограничения на переменные проектирования: поскольку площадь сечения должна оставаться постоянной, равной S = h (а + b)/2, то отсюда следует, что ограничение в виде равенства имеет следующий вид (а + b - k) = 0. В полученном условии связи значение k равно 24. Изменяя переменные проектирования, можно влиять на переменные состояния - напряжения. Чтобы построить функцию Лагранжа

L (X, X, = ( X, X ) +, (1)

где - неопределенный множитель Лагранжа, X, X - параметры, необходимо получить аналитическое выражение для напряжения в сечении ребра жесткости. Известно, что напряжение вычисляется по формуле

. (2)

Здесь Р - равнодействующая внешних сил, направленная по оси поршня, перпендикулярно плоскости рис.2 на расстоянии Уо от точки С, - плечо силы Р относительно оси Z, - координата самой удаленной от нейтральной линии точки сечения, - момент инерции сечения относительно оси Z. В данном расчете величина силы Р считается постоянной, а Ус, У, Уо, I зависят от параметров a,b следующим образом:

Рис.2. Сечение ребра жесткости. Ус - расстояние от нижнего основания трапеции до центра тяжести сечения - т. С, У- координата самой удаленной точки сечения от нейтральной линии, Уо - координата точки приложения силы Р.

Ус = h ( 2a + b)/3(a + b) ;

У = h - Ус = h(a + 2b)/3(a + b) ; (3)

Уо = d - Ус = (3d (a +b ) - h(2a + b))/3(a + b) ; (4)

I = h3 (a2 + 4ab + b2)/36(a + b), (5)

где d - расстояние от нижнего основания трапеции до оси поршня. Эта величина для двигателя ДАР -14М принимает значение равное 32,5 мм. Подставляя соотношения (3) - (5)

в формулу (2), получаем для максимального нормального напряжения вдоль оси поршня в самой удаленной от нейтральной линии точке сечения аналитическое выражение в виде

= {1 + 2(a + 2b)[3d(a + b) - h(2a + b)] /h(a2 + 4ab + b2)}. (6)

В силу симметрии задачи нейтральная линия пройдет параллельно основаниям трапеции Определим координату У нейтральной линии из соотношения (2). Получаем У = - , откуда следует, что для У всегда будет отрицательное значение, т.е. нейтральная линия располагается всегда ниже центра тяжести сечения. Часть ребра жесткости над центром тяжести всегда - сжата, независимо от вида трапеции. Возникает вопрос, при любых ли параметрах a,b сечения точки именно верхнего основания будут самыми удаленными от нейтральной линии. При величине a b это так и будет. При значениях а 16 мм самыми удаленными точками от нейтральной линии оказываются точки нижнего основания. Ниже на графике показано изменение расстояния (в мм) до центра тяжести для нескольких вариантов сечений: 1 - сечение с параметрами а=b=12; 2- a=14, b=10; 3 - a=16, b=8; 4 - a=18, b=8; 5 - a=20, b=4; 6 - a=22, b=2. Для нашего исследования рассмотрим напряжение в виде соотношения (6).

Функция Лагранжа получается следующей (при условии h=15, d=32,5)

L(a, b, n)= 2P(1+ 2(2b+a)(67.5a+82.5b)/15(a2+4ab+b2))/15(a+b) + n(a+b-k). (7)

Для частных производных от функции Лагранжа (7) по а, b, n получены следующие выражения

? L (a, b, n) /? a = (0.07(15na4 + 120nba3 - 20a2P + 270 a2nb2 - 92aPb + 120 anb3 - 164Pb2+ 15nb4))/(a2+ 4ab + b2)2

? L (a, b, n) /? b = (0.07(15na4 + 120nba3 - 34a2P + 270 a2nb2 - 40aPb + 120 anb3 - 46Pb2+ 15nb4))/(a2+ 4ab + b2)2

? L (a, b, n) /? n = a + b - k.

Приравнивая эти производные нулю и решая систему уравнений, получаем для параметров а и b, минимизирующих нормальное наибольшее напряжение значения (округляя до целых величин) а = 20 мм, b=4 мм.

Обсуждение результатов.

1. Поскольку самое большое напряжение существует по оси поршня, то получено аналитическое выражение для этой величины и с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа, вычислены такие параметры а, b сечения ребра жесткости, которые минимизируют нормальное наибольшее напряжение.

2. Для проверки результата в программном комплексе ANSYS исследовалось напряженно-деформированное состояние поршня пневмомотора ДАР-14М с новыми параметрами ребра жесткости а=20, b=4. В таблице приведены некоторые результаты для максимального смещения Uy, напряжений , деформации в сравнении с полученными ранее ( предыдущего расчета поршня с параметрами а=8 мм, b=16 мм).

Таблица 1. Характеристики напряженно-деформированного состояния (НДС) для двух видов сечения ребра жесткости

a-b (мм)

характе-

ристики

8- 16

20-4

% изменения

Uy (10Е-05)м

-0.437

-0.416

4.8

(10Е07) Н/м2

0.356

0.320

10.1

(10Е07) Н/м2

0.209

0.167

20.1

(10Е-04)

0.229

0.217

5.2

Для дальнейшего уточнения результатов необходимо рассмотреть сечение ребра жесткости вместе с корпусом поршня.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Раевская Л.Т. Динамическое моделирование напряженно - деформированного состояния элементов аксиально-поршневых пневмомоторов. Деревообработка: технологии, оборудование, менеджмент ХХ1 века. Труды евразийского симпозиума/ Под ред. И.Т. Глебова. - Екатеринбург. 2006 г. С.193-200.

2. Петрушко И.М., Кузнецов Л.А., Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф. курс высшей математики: Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. М.: Изд-во МЭИ, 2002.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

© 2000 — 2023, ООО «Олбест» Все права защищены