Влияние толщины и числа оборотов круглой пилы на ее частоты собственных колебаний

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВЛИЯНИЕ ТОЛЩИНЫ И ЧИСЛА ОБОРОТОВ КРУГЛОЙ ПИЛЫ НА ЕЁ ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ

Власов А.В.

Требуемые технико-экономические показатели круглых пил в значительной степени определяются их работоспособностью. От работоспособности круглой пилы зависят энергозатраты, качество распиловки, потери древесины в опил. Потеря работоспособности пильного диска связана с потерей динамической устойчивости (изгибными колебаниями) при минимальной критической частоте вращения. Таким образом, каждая круглая пила с заданными параметрами имеет предельно допустимую частоту вращения. Превышение предельно допустимой частоты вращения вызывает значительное отклонение пилы от плоского состояния, что приводит к ухудшению качества распиловки, и может вывести диск из строя. Предельно допустимая частота вращения устанавливается частотой собственных колебаний пильного диска.

В работе определяется частота собственных поперечных колебаний пильного диска постоянной толщины, закреплённого по внутреннему контуру планшайбой. Предполагаем, что распределение напряжений в пиле от нагрева и центробежных сил инерции имеет осесимметричный характер. Рассматривая малые поперечные колебания пильного диска, пренебрегаем изменением напряжений в срединной плоскости пилы при колебаниях диска.

Дифференциальное уравнение малых поперечных колебаний пильного диска в цилиндрической системе координат[1]:

, (1)

круглый пила распиловка диск

где r, и - цилиндрические координаты;

 - оператор Лапласа в цилиндрических координатах [2];

- удельная потенциальная энергия объемных сил;

и - нормальные компоненты напряжения по осям и ;

- касательная компонента напряжения (, т.к. напряженное состояние осесимметрично);

- плотность материала диска пилы;

n - число оборотов диска пилы;

t - время;

- прогиб пластинки;

- цилиндрическая жесткость [2];

Е - модуль упругости Юнга;

h - толщина диска;

- коэффициент Пуассона.

При определении частот собственных колебаний диска, в качестве внешних нагрузочных факторов действующих на диск рассматриваем центробежные и тепловые нагрузки.

Напряжения от действия центробежных сил определяем по следующим зависимостям [3]:

, (2)

, (3)

где а - радиус планшайбы;

b - радиус пильного диска.

Для определения термомеханичеких напряжений сперва необходимо определить тепловое поле пильного диска.

Распределение температуры по радиусу диска пилы описывается зависимостью [4]:

(4)

где I₀, K₀, I₁, K₁ - функции Бесселя соответственно первого и второго рода нулевого и первого порядка аргумента;

t_В - температура окружающей среды;

t_Н - температура на наружном радиусе (b) диска;

л_m - коэффициент теплопроводности материала диска круглой пил.

Коэффициент теплоотдачи от диска воздуху б(r), определяется по формуле [4]:

(5)

где - угловая скорость;

с и - коэффициенты, зависящие от вида, параметров охлаждающей среды и условий охлаждения;

л_f - коэффициент теплопроводности воздуха при температуре окружающей среды;

н_f - коэффициент кинематической вязкости воздуха при температуре окружающей среды.

Напряжения, возникающие от неравномерного нагрева диска пилы, в радиальном и тангенциальном направлениях у_r(r) и у_и(r) определяются по формулам [3]:

где б_л - коэффициент линейного расширения материала круглой пилы.

Наиболее эффективным методом решения дифференциального уравнения (1) является приближённый метод Бубнова-Галеркина. Для приближенного решения задачи по данному методу задаемся выражением для прогиба в виде суммы конечного числа членов:

, (8)

где - вариационные параметры;

- число узловых диаметров;

- частота собственных колебаний диска пилы;

- безразмерные коэффициенты.

Функции (8) автоматически удовлетворяют граничным условиям на внутреннем контуре. На внутреннем радиусе диска, равном радиусу планшайбы (r=a), прогиб и угол поворота пластины равны нулю [4]:

, (9)

. (10)

Безразмерные коэффициенты определяются из условия, что функции (8) удовлетворяют граничным условиям на внешнем контуре[4]:

, (11)

. (12)

Подставляя функции (8) в дифференциальное уравнение (1) вариационное уравнение Бубнова-Галеркина примет вид:

. (13)

В данном вариационном уравнении за начальный момент времени примем , а за конечный момент времени - период рассматриваемого свободного колебания , тогда вариационное уравнение перепишется в виде:

. (14)

Вследствие независимости вариаций и множители при них должны обращаться в нуль. Это приводит к системе линейных уравнений относительно и :

, (15)

Где

Приравнивая к нулю определитель системы (15):

находим частоту собственных колебаний пильного диска.

Рассмотрим пример расчета частоты собственных колебаний для пильного диска диаметром 2b=1000 мм, диаметром планшайбы 2a=160 мм. В расчёте принимаем следующие параметры материала пилы (сталь 9ХФ): модуль упругости Юнга ; коэффициент Пуассона н=0,27; плотность материала ; коэффициент линейного расширения материала круглой пилы . Температура окружающей среды t_В=20 ⁰С; температура на наружном радиусе (b) диска[] t_Н=90 ⁰С. Коэффициенты, зависящие от вида и параметров охлаждающей среды и условий охлаждения с=0,0287 и =0,8; коэффициент теплопроводности воздуха при температуре окружающей среды л_f=0,0259 Вт/(м² єС); коэффициент теплопроводности материала диска круглой пил л_m=44,7 Вт/(м² єС); коэффициент кинематической вязкости воздуха при температуре окружающей среды . Расчет ведем для дисков толщиной от 2 мм до 5 мм с шагом 0,5 мм и числом оборотов от 750 об/мин до 1550 об/мин с шагом 50 об/мин.

Результаты расчетов представлены в графическом виде на рисунках 1 и 2, отображающих зависимость частоты собственных колебаний рассматриваемого пильного диска от его числа оборотов и толщины для одного () и двух () узловых диаметров.

Рисунок 1 Зависимость частоты собственных колебаний с одним узловым диаметром от толщины и частоты вращения пильного диска

Рисунок 2 Зависимость частоты собственных колебаний с двумя узловым диаметрами от толщины и частоты вращения пильного диска

Расчет пильных дисков, рассмотренных в примерах, так же был проведен с использованием метода конечных элементов в программном комплексе ANSYS, который показал расхождение результатов не более 5%.

Максимальное число оборотов пильного диска определяется по зависимости[5]:

, (16)

где .

Таким образом, на основании представленной модели найдены зависимости частоты собственных колебаний диска пилы от его толщины и числа оборотов, используя которые, возможно определить наиболее рациональные толщину и число оборотов пильного диска с точки зрения его устойчивости.

Список использованных источников

1. Жодзишский Г.А. Влияние напряжений от неравномерного нагрева, проковки и центробежных сил инерции на частоты свободных колебаний круглых пил: диссертация... кандидата технических наук. ЛТА, 1958.

2. С. П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер Пластинки и оболочки / пер. с англ.; под ред. Г. С. Шапиро. Изд. 3-е, М.: Наука, 1966/ 635 с. ил, табл.; 22 см.

3. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости: Пер. с англ./Под ред. Г.С. Шапиро. 2-е изд. М.: Наука, 1979, 560 с.

4. Пашков В.К. Теплофизика резания древесины круглыми пилами: монография. Екатеринбург: Урал. гос. лесотехн. ун-т, 2007,311с. ISBN 978-5-94984-144-0.

5. Стахиев Ю.М. Работоспособность плоских круглых пил. М.: Лесн. пром-сть, 1989. 384 с. ISBN 5 - 7120 - 0197 - 7.

Размещено на Allbest.ru