Разработка квазидинамической модели для расчета механических свойств периодических структур группы симметрии DN

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Разработка квазидинамической модели для расчета механических свойств периодических структур группы симметрии DN

Ю.С. Белов

Большое внимание исследователей к классу периодических структуры с группой симметрии DN обусловлено уникальными физико-химические свойствами углеродных нанотрубок (УНТ), обладающих такой симметрией. Накопленный к настоящему времени научно-практический опыт позволяет говорить о вполне сформировавшихся методах теоретического и экспериментального анализа разнообразных свойств УНТ. Тем не менее, естественные трудности исследования микроскопических по своей природе УНТ на наноскопическом уровне, оставляют большое число нерешенных вопросов, как в плане получения адекватных количественных характеристик отдельных свойств, так и в плане используемых методов анализа. Применяемые методы теоретического анализа механических свойств УНТ содержат различные подходы и приближения, которые можно характеризовать как: квантово-механические, континуальные, конечно-элементные, молекулярно-динамические. Независимо от используемого метода, анализ механических свойств УНТ производится на основе поиска равновесных конфигурации нанотрубки, отвечающих энергетическому минимуму, в изменяющихся условиях внешнего воздействия. В каждом методе принимаемые упрощающие предположения накладывают свои ограничения, как на классы рассматриваемых процессов, так и совокупность исследуемых характеристик.

Настоящая работа посвящена разработке новой квазидинамической модели моделирования.

При фиксированных граничных условиях установившееся равновесное состояние УНТ с заданными геометрическими параметрами характеризуется нулевым балансом сил, действующих на каждый из атомов УНТ. В классическом приближении, силы, действующие на атомы УНТ с заданной структурой, определяются граничными условиями в соответствии с центральными силами парного взаимодействия . В свою очередь, силы парного взаимодействия определяется на основании потенциальной энергии парного взаимодействия :

, (1)

где - расстояние между атомами.

Не нарушая общности, для идентификации атомов УНТ будем использовать нотацию i-ых слоев и j-ых рядов атомов УНТ. Введем цилиндрическую систему координат, ось OZ которой совместим с осью симметрии УНТ. Полярный луч, расположенный в плоскости атомов последнего слоя УНТ, направим вдоль линии, пересекающей ось OZ и один из атомов слоя, который будет считать соответствующим первому ряду атомов УНТ. Тогда каждый атом УНТ идентифицируется упорядоченной парой чисел (i;j), а его пространственное расположение задается тройкой координат (ц;с;z). С учетом элементарной операции перехода из цилиндрической системы координат в Декартову (; ; ), расстояние, например, между двумя ближайшими атомами и будет задаваться соотношением:

,(2)

а соответствующая сила парного взаимодействия, направленная вдоль отрезка соединяющего атомы и , определяется в соответствии с (1).

Поскольку в процессе деформационного нагружения могут происходить изменения в структуре УНТ, приводящие, в частности, к образованию дефектов, корректный анализ механических свойств УНТ требует рассмотрения учета влияния не только атомов ближайшего круга, но и следующих за ними атомов.

Рассмотрим ситуацию внешнего воздействия. Будем считать, что на каждый атом первого слоя (i=1, j=1,2,…,k) действует растягивающая сила , коллинеарная оси OZ, при этом расположение атомов последнего слоя оказывается зафиксированным. Предположим, что в результате внешнего воздействия, атомы УНТ в результате своих перемещений , перешли в новое равновесное состояние. В качестве первого приближения, составим уравнения баланса сил для атомов УНТ на основе учета их взаимодействия с атомами первого круга. До воздействия внешних сил, согласно начальным условиям, атомы УНТ находились в равновесном состоянии, поэтому, равновесное состояние атомов УНТ после приложения внешней нагрузки, должно устанавливаться на основе баланса изменений сил в узлах. В свою очередь, изменение сил парного взаимодействия в результате изменения расстояний между взаимодействующими атомами на величину , на основании (1) можно представить как:

(3)

Таким образом, для атомов УНТ, в соответствии с принятой нотацией, проекции уравнений баланса приращений сил в узлах на ось OZ имеют следующий вид:

……………………………………………………… (4а)

……………………………………………………… (4б)

………………………………………………… (4в)

…

4г)

……………………………………………………………….. (4д)

Здесь серия уравнений (4а) соответствует уравнениям баланса сил в проекции на ось OZ для атомов первого слоя, (4б), (4в) - для атомов второго и третьего слоев, (4г), (4д) - для атомов предпоследнего -ого и последнего -ого слоев. Системы уравнений баланса для других проекций имеют аналогичную структуру. В соответствии с записанными уравнениями, постановка граничных условий допускает несколько вариантов. Например, можно задавать величину прикладываемой внешней силы и находить смещения атомов, считая атомы последнего слоя закрепленными, а можно задавая смещения атомам первого слоя находить смещения атомов в остальных слоях, при этом системы уравнений принимают вид:

, , , (5)

квазидинамический модель атом

где - дифференциально-матричный оператор, - расстояние между m-ым и n-ым атомами, qt - цилиндрическая координата, - вектор столбец перемещений атомов, N - число атомов УНТ. Следует обратить внимание на тот факт, что система (5) не является однородной, поскольку в данной постановке задачи смещения атомов первого и последнего слоев являются заданными величинами. В числе важных особенностей системы уравнений (5) необходимо отметить структуру дифференциально-матричного оператора , которая легко приводится к ленточному типу. При этом ширина ленты зависит от степени рассматриваемого приближения и равняется числу атомов УНТ, заключенных в соответствующем круге приближения. С учетом сказанного, вычислительная сложность задачи в рассмотренной постановке оказывается порядка , что фактически соответствует .

Апробация разработанного метода проводилась применительно к трем УНТ типа «кресло» (5,5) различной длины , содержащим 200, 400 и 800 атомов. Процедура внешнего нагружения сводилась к пошаговому перемещению первого слоя атомов УНТ, с величиной шага . В качестве потенциала межатомарного взаимодействия был выбран потенциал Леннарда-Джонса с параметрами, отвечающими характеристикам углеродной связи [1]. При каждом шаге смещения первого слоя атомов УНТ итерационные процедуры поиска равновесных конфигураций продолжались до тех пор, пока в результате -ой итерации максимальная величина относительной погрешности в перемещении атомов не превышала уровня = 3%. Предварительный анализ результатов, полученных вплоть до значений относительной деформации в 10%, позволяет констатировать высокую эффективность метода, высокую скорость итерационной сходимости и практически линейный характер вычислительной сложности.

Размещено на Allbest.ru