Моделирование и оптимизация технологических процессов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Моделирование и оптимизация технологических процессов



Содержание

1. Моделирование технологических процессов

2. Математические модели технологических процессов

2.1 Математическое моделирование

2.2 Метод наименьших квадратов



1. Моделирование технологических процессов

математический технологический квадрат эксперимент

Основой при построении модели ТП является максимально возможное по адекватности описание ТП. Описание - это совокупность сведений об исследуемом процессе. Описание представляется в виде формул, схем, текста, таблиц экспериментальных данных, характеризующих ТП, параметров внешних воздействий, режимов работы и т.д.

В зависимости от рассматриваемых характеристик ТП используют модели: статические, динамические, детерминированные, стохастические.

Статическая модель отражает функциональные зависимости между технико-экономическими показателями ТП и его параметрами, не зависящими от времени.

Динамическая модель является результатом формализации ТП, параметры которого функции времени или производные по времени.

Детерминированная модель отражает существование однозначной функциональной зависимости между исследуемыми показателями качества ТП и значениями его параметров.

Стохастическая модель. Модель, у которой соответствующий ей параметр стохастический. Выходная переменная стохастического ТП всегда случайна, даже при наличии детерминированных входных переменных.

Стохастическая модель - результат формализованного описания связей между вероятностными законами распределения технико-экономических показателей процесса и его параметров, которые могут быть рассмотрены в виде случайных величин или случайных функций. Такую модель можно описать с помощью вероятностных законов распределения, уравнений регрессии, автокорреляционных функций, математических ожиданий интересующих нас характеристик.

Структура модели. Каждая модель представляет собой некоторую комбинацию таких составляющих, как компоненты, переменные, параметры, функциональные зависимости, ограничения и целевые функции.

Компоненты - составляющие, которые при соответствующем объединении образуют ТП.

Переменные - величины, которые могут принимать только значения, определяемые видом данной функции. В модели ТП различают экзогенные (входные) переменные, являющиеся результатом внешних воздействий; эндогенные переменные, возникающие в ТП в результате внутренних воздействий (их называют переменные состояния, когда они характеризуют состояние ТП, и выходными переменными, когда они определяют качество выпускаемой продукции).

Параметры - величины, которые выбирают и устанавливают, после чего они являются постоянными величинами не подлежащие изменению.

Функциональные зависимости выражают связи между компонентами системы. Эти зависимости по своей природе являются детерминированными либо стохастическими. Детерминированные зависимости - это зависимости, которые устанавливают соотношения между определенными параметрами и параметрами в тех случаях, когда выходные переменные процесса однозначно определяются заданной информацией на его входе.

Ограничения представляют собой устанавливаемые пределы изменения пределы изменения переменных или ограничивающие условия проведения процесса. Ограничения могут быть искусственные и естественные. Примером искусственных ограничений является большинство требований к системам. Естественные ограничения обусловлены самой сущностью ТП.

Целевая функция (функция критерия или критерий оптимизации) - это отображение целей и задач ТП. Выделяют два вида критериев оптимизации:

качественные или количественные характеристики ТП, выработанные практикой;

критерии оптимизации, положенные в основу аналитических, графоаналитических, численных и машинных (ЭВМ) методов оптимизации.

Критериями оптимизации первого вида служат экономические, технико-экономические, технико-технологические показатели функционирования ТП (точность, надежность, стабильность, устойчивость). Большинство технико-экономических показателей, которые применяют или рекомендуют в качестве критериев оптимизации, связаны с качеством выпускаемой продукции. Качество выпускаемой продукции влияет на выбор ТП, качество применяемых материалов, оборудования, приспособлений и инструментов, определяет режимы обработки, производительность, продолжительность технологического цикла и др. Следовательно, для многих процессов качество выпускаемой продукции является тем общим фактором, с которым связаны различные технико-экономические показатели.

При стохастических моделях выбор оптимальных характеристик процесса должен быть выполнен на основе теории вероятности и случайных процессов. При изучении стохастических характеристик критерия оптимизации вычисляют числовые значения, хотя для некоторых массовых процессов определяют общие характеристики, то есть вероятностные законы распределения.

Нахождение числовых значений сводится к определению оценок математических ожиданий, корреляционных и дисперсионных функций отдельных показателей входных и выходных переменных.

Требования к модели. Модель должна быть:

- простой;

- целенаправленной;

- надежной (гарантия от ошибочных решений);

- удобной в управлении и обращении;

- полной с точки зрения решения возможности решения главных задач;

- аддитивной, позволяющей легко переходить к другим модификациям или обновлять имеющиеся, допускающей усложнения;

- нетривиальной;

- мощной;

- изящной;

- релевантной;

- точной;

- результативной;

- экономичной;

- непрерывной;

- чувствительной.

Нетривиальная модель описывает физическую сущность, вскрывая явления, невидимые при непосредственном наблюдении.

Мощная модель позволяет решать различные технологические задачи.

Изящная модель имеет достаточно простую структуру и легко просчитывается на ЭВМ.

Релевантная модель позволяет решать сложные задачи.

Точная модель позволяет получать результаты с высокой достоверностью.

Результативная модель, если получаемые результаты успешно применяются на практике.

Экономичная модель, если эффект от внедрения результатов превышает расходы на ее создание и использование.

Наиболее широко используют модели, описывающие детерминированную основу процесса, регрессивные модели, в которых подлежащие определению коэффициенты линейны:

;

Виды функций _i(x) определяют как путем физического анализа процесса, так и с помощью (при наличии достаточного количества статической информации) канонических представлений случайных процессов.

Построение модели.

При построении модели необходимо определить:

1.назначение модели;

компоненты, которые должны быть включены в состав модели;

3. параметры и переменные, относящиеся к этим компонентам;

4.функциональные соотношения между компонентами, параметрами и переменными.

При решении вопроса о том, какие компоненты следует включить, необходимо определить число переменных, которое должно входить в модель, после чего необходимо уточнить функциональные связи между ними.

Цель создания модели:

1) оценка - определение, насколько хорошо ТП предлагаемой структуры соответствует некоторым конкретным критериям;

2) сравнение - сопоставление конкурирующих ТП, рассчитанных на выполнение определенной функции, а также некоторых технологических режимов;

3) прогноз - оценка качества ТП при некотором предполагаемом сочетании факторов;

4) анализ чувствительности - выявление из большого числа действующих факторов тех, которые в наибольшей степени влияют на качество ТП;

5) оптимизация - выявление такого сочетания действующих факторов, при котором обеспечивается наилучшее качество ТП;

6) выявление функциональных соотношений - выявление природы взаимозависимости двух или нескольких действующих факторов и качества ТП;

Модель должна удовлетворять двум условиям:

1) взаимно однозначное соответствие между элементами модели и элементами представляемого ТП;

2) сохранение точных соотношений или взаимодействий между элементами.

Соответствие модели реальному ТП называют изоморфизмом. Степень изоморфизма модели относительна и большинство моделей более гомоморфны, чем изоморфны. Под гомоморфизмом понимается сходство по форме при различных основных структурах, при этом имеет место лишь поверхностное подобие различных групп элементов и ТП. Гомоморфные модели получают в результате упрощения и абстракции. Под упрощением подразумевают пренебрежение несущественными деталями (факторами) или принятие предложений при более простых соотношениях. Упрощения бывают, необходимы и оправданы, если требуется построить модели, поддающиеся математическому описанию. При упрощении модели выполняют следующие операции:

- переводят часть переменных в константы;

- исключают некоторые переменные или объединяют их, заменяя одной переменной;

- предполагают линейную зависимость между исследуемыми переменными;

- вводят более жесткие ограничения.

Модель должна отображать те стороны ТП, которые соответствуют задачам исследователя.

Построение модели на основе эксперимента.

Построение модели на основе эксперимента состоит из двух этапов. На первом этапе получают и анализируют информацию о входных и выходных переменных изучаемого ТП, различных его компонентов, соотношениях между ними как количественного, так и качественного характера. На этом этапе производят:

1) формулирование цели и задачи эксперимента с выдвижением основных гипотез, подлежащих проверке;

2) выбор объекта исследования, его переменных которые будут изменяться, и переменных, которые будут зафиксированы во время эксперимента;

3) определение методики эксперимента, необходимого оборудования, приборов и инструментов, выбор метода фиксации выходных переменных и оценку точности и правильности результатов измерений;

4) определение пределов измерения переменных во время эксперимента, а также определяют количество экспериментов, комбинацию и количество уровней переменных, при которых необходимо провести исследования;

5) оценку необходимости и определение числа дублирующих экспериментов;

6) проверку и оценку расхода материальных и временных ресурсов на эксперимент и вносят коррективы в предыдущие этапы;

7) составление плана проведения экспериментов;

8) определение метода обработки результатов измерений и пути проверки выдвинутых гипотез; разрабатывают программу для обработки экспериментальных данных.

На втором этапе проводят эксперимент. Различают пассивный и активный эксперименты:

1) пассивный - расположение экспериментальных точек в факторном пространстве без предварительного учета математической обработки подготовки эксперимента.

2) активный - расположение точек эксперимента в факторном пространстве оптимизируется согласно критерию планирования эксперимента.

Для выбора плана эксперимента следует: определить критерии планирования; синтезировать экспериментальную модель; сравнить полученную модель с существующими моделями и выбрать оптимальный план.

При составлении плана необходимо построить структурную, функциональную и экспериментальную модели.

Структурная модель характеризуется числом факторов и уровней для каждого фактора. Структурную модель выбирают исходя из цели эксперимента.

Функциональная модель определяет число необходимых различных информационных точек, то есть число элементов структурной модели.

Экспериментальная модель определяется избранными критериями планирования, к которым относя число варьируемых факторов, уровней квантования каждого фактора и измерений выходных переменных.



2. Математические модели технологических процессов

2.1 математическое моделирование

К математическому моделированию относятся модели, являющиеся средством связи теории с объективной действительностью, средством для проверки теории. Они способствуют установлению связи между логическим и чувственным и должны подкрепить абстрактное мышление привычными образами, которые, помогая воспринять и проанализировать явления, могут явиться источником идей для новых исследований.

Исследователь может постулировать целый ряд гипотез о виде модели и экспериментальным путём выбрать среди этих моделей ту, которая наилучшим образом соответствует результатам экспериментов. Эксперименты здесь выступают в роли третейского судьи, принимающего одно из многих возможных решений. Если среди постулированных гипотез не оказалось истинной, то и с помощью экспериментов её также не удастся найти. Однако это ограничение экспериментального подхода ни в коем случае не принадлежит роли эксперимента при решении практических задач.

К математическим моделям можно отнести алгоритмы и программы, составленные для вычислительных машин. Эти программы отражают (моделируют) определённые процессы, описанные дифференциальными уравнениями, положенными в основу алгоритмов.

На практике в производственных или лабораторных условиях широко встречаются процессы, характер которых детерминированным образом зависит от определённых величин

x₁, x₂,…, x_n.



Переменные x₁, x₂,…,x_n. называют входными контролируемыми или независимыми переменными. Их возможные значения принадлежат области _x n - мерного пространства.

Выходную переменную y называют зависимой переменной, целевой величиной или выходом процесса, даже если она не обозначает буквально выход продукта.

В общем случае принимают, что между независимыми переменными и выходом процесса существует функциональная связь

y = y(x), (1)

где x = (x₁, x₂,…, x_n.)^т вектор значений независимых переменных.

Зависимость y = y(x) на практике часто бывает, неизвестна и тогда её пытаются найти путём обработки экспериментальных данных.

Так как всякий эксперимент связан с появлением случайных ошибок, то при построении математических моделей на основе экспериментальных данных используют методы математической статистики.

Наиболее часто для решения этой задачи применяют метод наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов позволяет построить оптимальную в определённом смысле оценку моментов распределения ошибки эксперимента, решить вопрос является ли полученная модель адекватной. Метод наименьших квадратов имеет важное значение в теории планирования эксперимента и в задачах статистической обработки данных.

2.2 Метод наименьших квадратов.

Постановка задачи

Пусть на основе экспериментальных данных необходимо построить модель некоторого процесса. Из физических соображений можно предположить, что взаимосвязь между y и x_i линейна

y(a,x) = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ +…+ a_nx_n,.. (2)

где a_i являются независимыми параметрами процесса, оценки которых требуется найти путём обработки экспериментальных данных.

В случае если характер связи описывается квадратичной функцией, то

y(a,x) = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ +…+ a_nx_n +a_ij x_ix_j. (3)

Общее число членов (3) составляет

Модели полиномиального вида имеют большое значение в связи с тем, что с их помощью любая аналитическая функция (1) может быть описана как угодно точно. Однако, с увеличением степени полинома весьма существенно увеличивается число оцениваемых параметров модели и соответственно значительно возрастают затраты на эксперимент. Так, если полином имеет степень m, то

(4)

В дальнейшем мы будем использовать модели вида

y = y(a, x), (5)

где a - вектор параметров модели,



a = (a₀, a₁,…,a_k)^т.(6)

Примем, что модель (5) линейна относительно коэффициентов a_i, т.е.

y(a,x) = a₀f₀(x) + a₁f₁(x) +…+ a_kf_k(x). (7)

При этом f_i(x) - известные функции, являющиеся компонентами вектора

f(x) = (f₀(x), f₁(x),…, f_k(x))^т. (8)

Используя векторные обозначения, вместо (7) можно записать

y = a^тf(x) = f^т(x)a. (9)

Для моделей вида (2) или (3) будем иметь следующие выражения для компонент f(x):

f(x) = (1, x₁, x₂,…,x_n)^т (10)

и

f(x) = (1,x₁,x₂,…, x_n,x₁x₁,x₂x₂,…,x_nx_n,x₁x₂,x₁x₃,…,x₁x_n,x₂x₃,…,x_n-1x_n)^т (11)

Для истинных значений вектора коэффициентов a в (9) требуется найти оценки , используя для этой цели результаты эксперимента. При этом оценка для y рассчитывается по формуле

(12)



Эксперимент проводится в N точках

x¹, x², …, x^N

c координатами

xⁱ = (13)

Результаты наблюдений в точках xⁱ представляются с помощью вектора наблюдений

(14)

В каждой точке xⁱ может быть поставлено опытов, результатами которых будут

В этом случае в качестве используется среднее значение наблюдений в точке xⁱ:

(15)

Задача состоит в том, чтобы на основе результатов (14) найти наилучшие в определённом смысле оценки и .

Решение задачи

Для решения задачи необходимо сначала выяснить, что следует понимать под наилучшими оценками. Будем исходить из того, что модель вида (9) является адекватной. Вопросы оценки адекватности будут рассмотрены позднее.

Сопоставим друг с другом экспериментальные результаты (14), отражающие действительность, и значения

(16)

рассчитанные с помощью и представляющие модель (12). Имеем

(17)

или соответственно

(18)

где матрица F определяется следующим образом:

.(19)

Результат наблюдений в некоторой точке зависит от случайной ошибки :

(20)

Множество значений ошибок в N экспериментальных точках может быть представлено вектором



(21)

Черта сверху означает истинное значение соответствующей переменной.

Наложим на результаты наблюдений три условия, которые на практике выполняются:

1. Результаты эксперимента свободны от систематических ошибок, или математическое ожидание величины равно действительному значению :

E(22)

то есть

(23)

Результат наблюдения в точке x^j не зависит от результата в точке xⁱ, то есть

для i j,(24)

или

для i j.(25)

3. Дисперсия результатов наблюдений во всех точках xⁱ одинакова, то есть

для всех i,(26)



или

для всех i.(27)

Условия 2 и 3 выполняются, если

(28)

где I - единичная матрица.

Наложим ещё два условия на оценки учитывая, что оценки , полученные на основе обработки случайных результатов наблюдений, представляют собой некоторый случайный вектор.

1. Оценка не должна содержать систематических ошибок (то есть, оценка должна быть несмещённой):

(29)

Дисперсия оценки должна быть минимальной:

(30)

для i = 0,1,2,…, k.

Эти два требования представляют собой только одну из многих возможных конкретизаций понятия "наилучшая оценка".

Условие (30) является наиболее приемлемым, так как оно приводит к методу наименьших квадратов и при нормально распределённых результатах наблюдений в каждой точке xⁱ позволяет провести статистический анализ полученных оценок, а также проверить адекватность модели.

Теоретическую основу метода наименьших квадратов составляют следующие утверждения:

Утверждение 1. Оценка удовлетворяет условиям (29) и (30), если сумма

(31)

минимальна, то есть

.(32)

Очевидно, что S в (31) является функцией a, причём в силу (18) можно записать, что

то есть

(33)

Выражение (33) является расширенной квадратичной формой a_i , которая в случае невырожденности матрицы F^тF имеет единственный минимум при

(34)



Матрица F^тF невырождена, то есть

если матрица F имеет ранг (k+1).

Утверждение Если матрица F имеет ранг (k+1), то сумма квадратов (31, 33) достигает минимума при

(35)

Матрица

C = (F^тF)^-1(36)

в (35) размера (k+1)(k+1) называется дисперсионной матрицей.

Ошибки оценивания

Оценки , рассчитанные согласно (35), отличаются от истинных значений коэффициентов, причём ошибка тем больше, чем больше дисперсия ошибок наблюдений. Показатели точности оценок и величины являются дисперсии и соответственно. Эти дисперсии зависят не только от дисперсии ошибок наблюдений ², но и от выбранной структуры модели и точек постановки опытов, т.е. от матрицы F (выражение (19). Для определения этой зависимости необходимо найти выражение для ковариационной матрицы cov;

Из выражений (35), (29) и (23) следуют выражения



Используя эти выражения, получаем:

В силу (21), (22) и (28) имеем

.

Так как матрица F^тF симметрична, то

CF^тFC^т = (F^тF)^-1F^тF(F^тF)^-1 = C,

И для cov получаем

cov = C(37)

При этом для дисперсии оценки имеем

а для коэффициентов корреляции между оценками и



Дисперсию для величиныполучим с помощью следующих преобразований:

=

=

Утверждение 3

При предположениях раздела 2 и при известной дисперсии ошибки наблюдений ², дисперсия оценки рассчитывается по формуле

.(38)

Коэффициент корреляции между и определяется согласно выражения

(39)

а дисперсия величины по формуле

(40)

Ковариационная матрица имеет вид

(41)

При предположении о нормальности закона распределения результатов наблюдений в любой точке постановки эксперимента величина

(42)

распределена нормально и имеет место соотношение

(43)

где Ф() - функция Лапласа.

Если величина задана, то с помощью (43) можно рассчитать вероятность того, что |X| . Однако обычно задаётся вероятность P = P|X| и из (43) находят соответствующую величину = (P). Функция Ф() табулирована и широко представлена в различных справочниках. Имеет место следующее неравенство:

(44)

Если известна дисперсия наблюдений ², выражение (44) может быть использовано при построении доверительного интервала для истинного значения i - го коэффициента при заданной доверительной вероятности P.

В общем случае дисперсия ошибок наблюдений ² не известна и должна быть оценена с помощью полученных экспериментальных данных. При этом может быть использована остаточная сумма квадратов (смотри (31)):

Эта сумма квадратов имеет



= N - k - 1(45)

степеней свободы (N слагаемых, между которыми существует k+1 линейная связь, определяемая системой уравнений (35)). Величина

s² = S_R/(46)

является несмещённой оценкой дисперсии ошибок наблюдений ² при условии, что модель является адекватной. Оценка для дисперсиивычисляется аналогично (38) с помощью выражения

=c_iis(47)

Величина

(48)

подчиняется t - распределению (распределению Стьюдента) с степенями свободы. При этом справедливо соотношение

P{|t| } = S() - S(- ).(49)

Если задана вероятность P = P{|t| }, то величину = (P) в (49) можно найти с помощью таблиц t - распределений, имеющихся в различных справочниках по математической статистике. С вероятностью P имеем

(50)



Выражение (50) определяет доверительный интервал для истинного значения i - го коэффициента в случае, когда известна оценка s² дисперсии наблюдений.

Если в (50) то нуль - гипотеза принимается, и коэффициент a_i считается незначимым. При проверке значимости коэффициентов величину , соответствующую выбранному уровню значимости = 1 - P и числу степени свободы , будем обозначать через t_кр и называть критическим значением распределения Стъюдента. Тогда

(51)

Заметим, что в общем случае оценка и её дисперсия зависит от оценок всех других коэффициентов.

Если тот или иной член исключается из уравнения (из-за незначимости соответствующего коэффициента), необходимо пересчитать оценки всех остальных коэффициентов и их дисперсии. При этом могут измениться как доверительные интервалы для коэффициентов, так и выводы относительно коэффициентов значимости.

Проверка адекватности модели

Для проверки гипотезы об адекватности модели необходимо сопоставить достигнутую точность модели с величиной, характеризующую точность наблюдений. Если ошибки, характеризующие точность модели, превосходят ошибки наблюдений, то гипотеза об адекватности модели отклоняется. В этом случае уже нельзя оценивать ошибку наблюдений путём нахождения разности между результатом наблюдений выходной переменной и результатом её расчёта по модели, так как, в случае неправильного выбора вида модели, определяемая (по модели) величина уже не может служить достаточно хорошей оценкой среднего значения наблюдений, поскольку



Поэтому, дисперсия ошибок наблюдений может быть оценена лишь путём сравнения результатов нескольких параллельных опытов, проведённых в каждой экспериментальной точке. Полагаем, что в каждой из N точек xⁱ реализуется экспериментов. Результаты этих экспериментов для каждой точки xⁱ представляется рядом

Для расчёта оценок коэффициентов мы будем использовать средние значения ряда наблюдений для каждой точки xⁱ, определяемые согласно (15). Для проверки гипотезы адекватности модели необходимо сравнить две суммы квадратов:

1) сумму квадратов, характеризующую неадекватность (дефект) модели

(52)

Эта сумма зависит от разности между рассчитанными по модели и наблюдаемыми значениями выходной переменной;

2) сумму квадратов, характеризующую ошибки наблюдений

(53)

Сумма S_D состоит из N слагаемых, между которыми имеет место (k+1)линейных связей, определяемых выражением (35). Поэтому с S_D связано

₁= N-(k+1)(54)

степеней свободы.

Сумма S_e состоит из N слагаемых, между которыми, согласно (15), существует N линейных связей. При этом S_e имеет

₂ = N-N = N(-1)(55)

степеней свободы.

Для оценки s² дисперсии ошибок наблюдений выражение (7.46) не может быть использовано. Оценка s² определяется с помощью суммы квадратов S_e по формуле

(7.56)

Заметим, что s² в (7.56) является оценкой дисперсии величины, которая представляет собой среднее по параллельным наблюдениям. Это означает, что s² в данном случае не является оценкой дисперсии ошибки единичного наблюдения, а определяет величину дисперсии среднего, рассчитанного по наблюдениям. Легко видеть, что оценка дисперсии ошибки единичного наблюдения равна s Далее всюду через s² обозначается оценка дисперсии ошибок наблюдения, причём результатом наблюдения считается значение выходной переменной в точке плана, используемое при расчётах по методу наименьших квадратов. Таким образом, если для каждой точки плана проводится усреднение по параллельным опытам, дисперсия ошибок наблюдений есть дисперсия среднего по параллельным опытам.

Проверка адекватности заключается в оценке частного от деления оценки дисперсии неадекватности на оценку дисперсии ошибки единичного наблюдения



(57)

Частное от деления F в случае, когда модель адекватна, является случайной величиной подчиняющейся F распределению (распределению Фишера) с числами степеней свободы ₁ и Можно определить значение F_кр, соответствующее условию

P(F F_кр) = 1 - P = ,(58)

где - заданный уровень значимости проверки гипотезы об адекватности модели. Задавшись надёжностью P = P(F F_кр) (обычно P выбирают равной 0,95 или 0,99), значение F_кр можно найти с помощью таблиц распределения Фишера. При выполнении условия

F F_кр (59)

гипотеза об адекватности модели принимается. Если условие (59) не выполняется, то гипотеза об адекватности модели отклоняется.



Основная литература

1.Юрков Н.К. Технология производства электронных средств / Н.К. Юрков - Санкт-Петербург: Издательство `Лань`, 2014 - 480 стр. http://e.lanbook.com/view/book/41019/

2.Медведев А.М. Печатные платы. Конструкции и материалы / А. М. Медведев . - М.: Техносфера , 2005. - 302 с.

3.Медведев А.М. Технология производства печатных плат : / А. М. Медведев . - М. : Техносфера , 2005. - 358 с.

4.Медведев А.М. Сборка и монтаж электронных устройств / А. М. Медведев . - М. : Техносфера , 2007. - 255 с.

5.Пирогова Е. В. Проектирование и технология печатных плат - М.: издательство: Форум, Инфра-М, 2005 - 560с.

6.Грачев А.А. Конструирование электронной аппаратуры на основе поверхностного монтажа компонентов / А.А. Грачев, А.А. Мельник, Л.И. Панов - М.: НТ Пресс, 2006. - 384с.

7.Простатов И.Л. Планирование инженерного эксперимента.: учебное пособие / И.Л. Простатов. - Казань : Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2004. 135 с

8.Простатов И.Л. Планирование инженерного эксперимента.: учебное пособие / И.Л. Простатов. - Казань : Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2004. 135 с

9. Крючатов В.И. Автоматизированные системы технологического обеспечения качества при проектировании и серийном изготовлении высоконадежных тонкопленочных интегральных схем с резистивными элементами: Учебное пособие. - Казань: ЗАО «Новое знание», 2013. - 179 с.

10. Крючатов В.И. Составление плана контроля надежности аппарат-куры при известном и неизвестном законах распределения наработки аппарватуры на отказ: методическик указания к практическим занятиям / В.И. Крючатов. - Казань : Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2001. 32 с.

Дополнительная литература

1.Технология и автоматизация производства радиоэлектронной аппаратуры: Учебник для вузов./И.П. Бушминский, О.Ш. Даутов, А.П. Достенко и др.; Под ред. А.П. Достенко, Ш.М. Чабдарова.- М.: Радио и связь,1989. - 624с.: ил.

2.Управление качеством электронных средств: Учебник для ву-зов./ О.П. Глудкин, А.И. Гуров, А.И. Коробов и др.; Под ред. О.П.Глудкина. - М.: Высш. шк.,1994. - 414с.: ил.

3.Хартман К., Лецкий Э., Шеффер В.И др. Планирование экспе-римента в исследовании технологических процессов. / Под ред. Лецкого.- М.: Мир, 1977г.

4. Леонов А.И., Дубровский Н.Ф., «Основы технической эксплуа-тации бытовой РЭА». М., Легпромбытиздат,1991.

5.Ксенз С.П. «Диагностика и ремонтопригодность радиоэлектронных средств».М.,1989.

6.«Рекомендации. Аппаратура радиоэлектронная бытовая. Показатели и оценка ремонтопригодности и контролепригодности» Р-50-84-88,М,1988.

Размещено на Allbest.ru

...