Расчет надежности параллельных структур на основе аппарата функций случайных аргументов с использованием DN -распределения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Расчет надежности параллельных структур на основе аппарата функций случайных аргументов с использованием DN -распределения

Используя аппарат ФСА, разработаны инженерные методики расчета надежности резервированных структур типа “k из n” для любых значений и , которые приводят к определению функции распределения (-распределения) наработки до отказа рассматриваемых систем, на основании которой можно получать оценки всех необходимых показателей надежности этих систем (средней наработки до отказа, гамма-процентной наработки до отказа, вероятности безотказной работы за заданное время, остаточного ресурса и др.).

Введение

С целью повышения надежности технических систем в практике проектирования имеет место резервирование путем параллельного соединения элементов, когда все элементы находятся под нагружением (нагруженный резерв). В частности, широкое применение имеют дублированные, троированные системы (структуры). В этом случае система функционирует пока не откажут все элементы. Применяют также структуры, в которых допускается отказ только одного из параллельно соединенных элементов. Отказ следующего (второго) элемента приводит к отказу системы. В общем случае, параллельные структуры сводятся к известным структурам типа «». Такая структура нормально функционирует тогда и только тогда, когда работоспособны по крайней мере элементов. Заметим, что частный случай kn соответствует хорошо известному последовательному соединению, а частный случай k1 - параллельному соединению, когда отказом системы считается выход из строя всех элементов. В настоящей работе рассматриваются и оцениваются показатели надежности систем, которые либо действительно являются невосстанавливаемыми (например, системы однократного действия), либо таких восстанавливаемых систем, восстановление которых по каким-либо причинам невозможно непосредственно в рассматриваемое время. При этом предполагают, что все элементы имеют одинаковую надежность, и отказы элементов являются независимыми.

Теория функций случайных аргументов (ФСА) - один из важных разделов теории вероятностей. Основными задачами этой теории в прикладном плане являются нахождение распределения ФСА и его числовых характеристик по заданным распределениям аргументов. Успешное применение аппарата ФСА для расчета надежности некоторых систем было осуществлено ранее исследователями [1-3].

Как известно, суть метода расчета надежности систем на основе использования ФСА состоит в том, что случайная величина Т (наработка системы до отказа) представляется некоторой функцией случайных аргументов ( - средняя наработка и коэффициент вариации наработки элементов -го типа, входящих в систему):

,

где (Ч) - детерминированная функция однозначно соответствующая структуре системы. С другой стороны предполагают, что случайная величина Т описывается некоторым известным законом распределения. Ставится задача оценки параметров этого распределения через значения и . Используя, например, свойства и связи случайных величин и функций, а также фундаментальные теоремы теории вероятностей (теоремы умножения, сложения и полной вероятности) устанавливают соотношения между такими показателями как средняя наработка до отказа системы и элементов, а также между коэффициентами вариации наработки системы и элементов, однозначно определяемых структурой системы. Далее принимают в качестве функций распределения случайной величины Т такую, чтобы можно было определить ее параметры через характеристики и . Таким образом, получают оценки закона распределения искомой случайной величины Т, т.е. решается задача расчета безотказности системы на основании показателей надежности элементов. Рассмотрим методики расчета рассматриваемых систем на основе ФСА-метода с использованием в качестве теоретической функции распределения наработки диффузионное немонотонное распределение (DN-распределение).

Методика расчета надежности параллельных структур на основе -распределения

Принимается гипотеза о том, что функции распределения наработок до отказа элементов структуры типа “k из n”, а также самой структуры (системы) описываются DN-распределением. Для структур типа «» при равнонадежных элементах, используя, например, метод прямого перебора и теоремы сложения вероятностей [4] получено выражение для вероятности безотказной работы системы в следующем виде:

,(1)

где - вероятность безотказной работы элемента; .

После того как установлено выражение для вероятности безотказной работы (или вероятности отказа) системы за определенное время t, далее решение задачи (оценки показателей надежности системы) сводится к следующему. Если известны исходные данные (средняя наработка до отказа элементов и коэффициент вариации наработки элементов ), то вычисляют значение вероятности отказа элемента за наработку, например, по формуле

=,

где - функция нормированного нормального распределения.

Вычисление можно производить следующим образом:

.(2)

Используя информацию о том, что предельное значение числа отказов элементов в рассматриваемой структуре равно , вычисляют ожидаемый коэффициент вариации наработки до отказа системы по формуле

.(3)

надежность инженерный распределение отказ

Далее, используя полученное значение вероятности отказа элемента за наработку (или вероятность безотказной работы элемента ), вычисляют вероятность отказа системы за наработку по формуле (1), где

.(4)

Вычислив численное значение , можно записать следующее соотношение, из которого определяют среднюю наработку до отказа системы или параметр масштаба распределения наработки до отказа системы :

.(5)

Величину относительной наработки из последнего соотношения (5) можно определить входя в соответствующую таблицу -распределения [5] со значениями и или решая следующее уравнение относительно :

.

Определив величину , вычисляют значение средней наработки до отказа системы (параметр распределения наработки до отказа системы ) по формуле:

(6)

Методики расчета надежности структур, имеющих разные значения и , остаются аналогичными.

Пример. Рассмотрим систему типа “k изn” для следующих значений параметров: Необходимо определить среднюю наработку до отказа данной системы , гамма-процентную наработку системы и вероятность безотказной работы системы за при следующих показателях надежности элементов: час, , , час.

Решение1. Если принимается гипотеза о теоретическом распределении наработки до отказа элементов и системы в виде DN-распределения, тогда решение поставленной задачи сводится к следующим процедурам.

· Используя формулу (1), получают выражение для вероятности отказа системы за наработку t в следующем виде:

.

· Вычисляют численное значение (для ):

3) Подставляя полученное значение в формулу для вероятности отказа системы, вычисляют вероятность отказа исследуемой системы за наработку :

.

4) Вычисляют значение коэффициента вариации наработки до отказа исследуемой системы:

=.

5) Определяют параметр масштаба распределения наработки системы и значение средней наработки до отказа системы:

= час.

6) Вычисляют гамма-процентную наработку системы :

час.

7) Вычисляют вероятность безотказной работы системы :

Решение 2. Расчет надежности на основе классической теории вероятностей и функций случайных аргументов с использованием экспоненциального распределения.

1) Используя ранее установленные результаты [4], вычисляют значение средней наработки до отказа исследуемой системы по формуле

2) Коэффициент вариации наработки до отказа любой системы при экспоненциальном распределении остается равным единице.

3) Вычисляют гамма-процентную наработку системы :

час.

4) Вычисляют вероятность безотказной работы системы :

Решение 3. Расчет надежности на основе теории функций случайных аргументов с использованием распределения Вейбулла.

1) Используя ранее установленные результаты [3], вычисляют значение средней наработки до отказа исследуемой системы по формуле

,

где - коэффициент вариации наработки до отказа исследуемой системы при распределении Вейбулла [3] вычисляется по формуле

2) Вычисляют гамма-процентную наработку системы :

час.

3) Вычисляют вероятность безотказной работы системы :

.

Ниже в таблице приведены результаты статистического моделирования функционирования исследуемой системы и расчетные оценки показателей надежности этой системы. Моделирование наработок до отказа элементов осуществлялось с использованием генератора случайных чисел, имеющих распределение типа диффузионное немонотонное (DN-распределение). Моделирование наработок до отказа исследуемых систем («k из n») осуществлялось следующим образом. Методом Монте-Карло с использованием генератора DN-распределенных чисел моделировалось 5 элементов (5 случайных наработок до отказа: ). Затем строился вариационный ряд из этих пяти наработок: . Определялась наработка до отказа этой системы: . Таким образом, моделировалось систем.

Таблица 1. - Результаты моделирования и расчетные оценки показателей надежности системы.

Как видно из приведенных результатов в таблице, наиболее точные оценки практически всех показателей надежности исследуемой системы получаются при использовании методики расчета на основе -распределения. Завышены расчетные оценки средней наработки до отказа при использовании распределения Вейбулла и в большей степени при использовании экспоненциального распределения. Занижены расчетные оценки гамма-процентной наработки и вероятности безотказной работы при использования распределения Вейбулла. Расчетные оценки гамма-процентной наработки и вероятности безотказной работы исследуемой системы на основе использования экспоненциального распределения очень сильно занижены и не могут быть использованы на практике.

Заключение

В настоящей работе, используя аппарат ФСА, разработаны инженерные методики расчета надежности невосстанавливаемых параллельных систем типа “k изn” для любых значений и , которые приводят к определению функции распределения (-распределения) наработки до отказа рассматриваемых систем, на основании которой можно получать оценки всех необходимых показателей надежности этих систем (средней наработки до отказа, гамма-процентной наработки до отказа, вероятности безотказной работы за заданное время, остаточного ресурса и др.). Показано, что методические погрешности расчета показателей надежности исследуемых систем на основе предлагаемой методики имеют наименьшие значения по сравнению с методическими погрешностями расчета при использовании экспоненциального распределения и распределения Вейбулла.

Литература

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Физматгиз, 1969. - 576 с.

2. Хан Г., Шапиро С. Статистические модели в инженерных задачах. М.: «Мир»,

1969. - 395 с.

3. Надежность и эффективность АСУ /Ю.Г. Заренин, М.Д. Збырко, Б.П. Креденцер и др. - К.: Техніка, 1975. - 368 с.

4. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности. М.: »Наука»,1965. - 423 с.

5. Стрельников В.П., Федухин А.В. Оценка и прогнозирование надежности электронных элементов и систем. - К.: Логос, 2002. - 486 с.

Размещено на Allbest.ru