Стохастическая модель тепло-массообменных процессов

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 004.94:664-492.4

Стохастическая модель тепло-массообменных процессов

Касенова Т.К.

ТарГУ имени М.Х. Дулати, г.Тараз.

Проблема повышения эффективности технологического оборудования в значительной степени связана с процедурой оптимизации базовых тепло- массообменных процессов. При этом сравнительный анализ возможных решений может быть наиболее просто и мобильно выполнен в рамках модельных исследований.

В качестве объекта практического применения модельных исследований выбран технологический процесс сушки материалов. Оптимизация параметров установок является одной из первостепенных задач при проектировании сушильного оборудования. В качестве критериев оптимальности для сушильных аппаратов и установок наиболее часто используются следующие показатели: минимальной себестоимости готовой продукции, минимальных энергетических затрат, минимальных потерь продукта. проектирование сушильный плотность динамический

Достаточно высокие удельные характеристики поверхностей теплообмена сушильных установок делают особенно актуальной задачу оптимизации их массогабаритных характеристик на основе выбранных критериев оптимальности.

Существенной особенностью технологического процесса, протекающего в сушильной камере сушилок, является то, что они имеют детерминировано-стохастическую природу, проявляющуюся в наложении стохастических особенностей гидродинамической обстановки в аппарате на процессы массо- и теплопереноса. Стохастические особенности объясняются случайным взаимодействием фаз или случайным характером геометрии граничных условий в сушилке. Неравномерность сушки, противоречие между распределенным характером объекта и сосредоточенным способом управления его рабочим процессом, отсутствие надежной системы контроля и управления - главные причины повышенных затрат энергии и низкого качества функционирования сушилок.

С другой стороны, постоянное возрастание требований к показателям качества систем управления технологическими процессами требует усложнения их математических моделей с учетом нелинейностей и случайных возмущений, в связи с чем приходим к задаче синтеза нелинейного управления для стохастических систем.

Пусть технологический процесс, функционирующий в условиях случайных помех, характеризуется n переменными x₁, x₂, … , x_{n .} Относительно переменных x₁, x₂, … , x_n, называемых основными координатами, технологический процесс можно рассматривать как стохастическую динамическую систему, уравнения состояния которой имеет вид [1]

(1)

где о₁(t)_, о₂(t)_, … , о_n(t) - случайные функции времени типа гауссовых белых шумов с матрицей спектральных плотностей и корреляционной матрицей дельта функция.

Уравнение для свободного движения (система без помех)

(2)

часто используется в теории динамических систем.

Полной характеристикой случайного процесса с компонентами x₁(t), x₂(t), … , x_n(t), является плотность n- мерного распределения вероятности p = p(x_1, x_{2, …,} x_n), где t- время.

Случайные начальные условия характеризуются плотностью начального распределения вероятности .

Переход к детерминированным начальным условиям может осуществляться путем стремления функции р₀ к д- функции

Функции р и р₀ обязаны удовлетворять условию нормировки

. (3)

Для систем автоматического управления функции F_i могут быть представлены в виде совокупности двух функций:

где функции f_i относятся к объекту и называются его характеристиками, а функции u_i к управляющей системе и носит название управлений.

В соответствии с этим наряду с уравнениями (2) будем рассматривать уравнения:

где характеристики объекта f_i обычно считаются заданными, а управления u_i - варьируемыми и подлежащими синтезу.

Изменение плотности вероятности по времени и фазовом пространстве координат динамической системы, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями, определяются уравнением Фоккера - Планка - Колмогорова. Вывод уравнения осуществим с помощью использований представления о «фазовом газе» [1].

Множество фазовых траекторий системы (2), соответствующее множеству случайных начальных значений координат с плотностью распределения вероятности , будем рассматривать как траектории частиц некоторого «газа» в фазовом пространстве. Плотность этого «газа», т.е. среднее число частиц на единицу объема фазового пространства, представляет собой плотностьвероятности .

Выделим в фазовом пространстве элементарный прямоугольный параллелепипед объемом . Привлекая уравнение (2), находим, что разность среднего количества частиц, приходящих и уходящих через грани выделенного параллелепипеда за время dt, отнесенная к этому интервалу времени dt, равна

.

С другой стороны, скорость изменения среднего количества частиц в выделенном элементарном объеме равна

.

Приравнивая эти выражения, получаем уравнение Фоккера - Планка - Колмогорова для системы без шума (2):

. (4)

Для системы (1), подверженной воздействию гауссовых белых шумов о₁(t)_, о₂(t)_, … , о_n(t) с взаимными спектральными плотностями S_ik (i, k = 1, 2, …, n), уравнение Фоккера - Планка - Колмогорова имеет вид [1, 2]:

. (5)

Подчеркнем, что уравнение (5) является линейным дифференциальным уравнением относительно плотности вероятности распределения фазовых координат нелинейной динамической системы в фазовом пространстве. Линейность уравнения во многих случаях значительно облегчает исследование динамики нелинейных стохастических систем, а также позволяет синтезировать сравнительно простые и эффективные алгоритмы идентификации и оценки параметров состояния динамических систем. Однако для решения задачи оценки необходимо найти p(x, t), т.е. решить уравнение (5).

Несколько иначе обстоит дело с вопросами синтеза динамических систем. Показано, что на основе анализа изменения плотности вероятности в фазовом пространстве можно получить приближенное решение некоторых задач оптимального управления [1, 2].

При описании технологического процесса сушки зерна в комбинированном агрегате примем следующие условные обозначения: а₀ - удельная поверхность зерна, м²/м³; w, w₀ - конечная и начальная влажность зерна, кг/кг; С_Г, С_М - удельные теплоемкости сушильного агента и зерна, ккал/кг•град; F - поверхность теплообмена между кипящим слоем и стенкой аппарата, м²; G_T, Ф_Г - объемные расходы зерна и сушильного агента, м³/ч; с_Г, с_М - плотности сушильного агента и зерна, кг/м³; l - пространственная координата, м; L - длина сушильного барабана, м; S - площадь поперечного сечения барабана, м²; V_Б - объем барабана, м³; t - время, ч; Т - температура сушильного агента (теплоносителя); Т_СТ - температура наружной стенки барабана, ⁰С; щ_Г, щ_М - линейные скорости сушильного агента и зерна, м/ч; - коэффициент теплоотдачи между сушильным агентом и зерном, ккал/м²•ч•град; _СТ - коэффициент теплоотдачи между кипящим слоем и стенкой барабана, ккал/м²•ч•град; и, и⁰ - конечная и начальная температура зерна, ⁰С; е - порозность кипящего слоя (е = 0,4 - 0,6); л - коэффициент теплопередачи, ккал/м²•ч•град; Д - коэффициент поперечного перемешивания.

Рассмотрим элементарный объем барабана для сушки зерна в кипящем слое. Уравнение теплового баланса для элементарного объем за единицу времени имеет следующий вид [3]:

Здесь и - приход и расход тепла в единицу объема за время dt:

или

Отсюда

если

Таким образом,

или с учетом поперечного перемешивания

Аналогично

и, если

то

или

Принимая кипящий слой по твердой фазе объектом идеального смешения, получим

В результате интегрирования по параметру l_L находим

Уравнение материального баланса для элементарного объема имеет следующий вид:

Отсюда

Принимая модель барабана по твердой фазе как объект идеального смешения, находим

т.е. или

В результате получим

(6)

где .

(7)

(8)

Таким образом, математическая модель процесса сушки зерна представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений в обыкновенных и частных производных. Покажем, каким образом эта система моет быть сведена к системе интегральных уравнений и передаточных функций.

Рассмотрим каждое из уравнений системы отдельно. Перепишем формулу (6) в виде

где

Теперь весовая функция первого уравнения будет

Тогда интегральная модель процесса имеет следующий вид:

или в более подробной записи

(9)

представляет собой спадающую экспоненту; при t < 0, w(t) = 0.

Таким образом, динамический элемент можно рассматривать как апериодическое звено с передаточной функцией вида

(10)

где k₁ - передаточный коэффициент, Т₁ - постоянная времени.

Перепишем уравнение (7) в виде

(11)

где

(12)

Теперь сведем уравнение (11) к интегральному виду

(13)

Как в предыдущем случае модель процесса изменения температуры сушильного агента можно представить инерционным звеном с передаточной функцией вида

(14)

Наконец, рассмотрим уравнение (8), записанное в виде

Положим

Д^* = Д/(С_Гс_Г); щ^* = щ/е; k* = [ (1 - е)/е] a₀

Тогда получим интегральное уравнение, описывающее распределение температуры сушильного агента в аппарате во времени:

(15)

Интегрирующее звено имеет передаточную функцию следующего вида

Графическое изображение исследуемого объекта описанное в пространстве состояний согласно уравнениям (6)-(8) представлено на рисунке 1. Здесь мы считаем, что все переменные состояния объекта известны в качестве выходных величин. Переменными на выходе модели являются начальная температура и⁰(t) и влажность w₀(t) зерна в сушильной камере, возмущающими воздействиями - конечная температура и и влажность w(t) зерна, управляющими воздействиями - распределение температуры теплоносителя Т(l,t) в аппарате и время сушки t.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.1. Структурная схема моделирования объекта в пространстве состояний

Для практических целей достаточно ограничится рассмотрением частного случая стохастических систем, так называемых систем со случайными параметрами, в которых совокупность математических операций осуществляемых над входным сигналом является детерминированной, а случайность преобразования выражается в случайности некоторых коэффициентов (параметров) преобразования, которые могут быть как случайными функциями времени, так и случайными величинами.

Процесс сушки зерна в комбинированном агрегате описывается системой уравнений

(16)

Управляющими параметрами в данном процессе является производительность сушильного барабана х₁и температура теплоносителя х₂, а для наблюдения (контроля) доступны все три координаты х₁, х₂, х₃.

Тогда задачу оптимизации процесса сушки зерна можно сформулировать следующим образом: при постоянной производительности сушильного барабана и температуре зерна (теплоносителя) требуется определить управления u₁, u₂, обеспечивающие минимально возможное отклонение текущего режима от заданного, или минимум функционала

(17)

где Т - заданная величина, при условии

(18)

Здесь з_i - заданные действительные, г_ip - величины, однозначно определяемы через коэффициенты объекта и коэффициенты в_kp согласно приводимым ниже уравнениям.

Постоянная const зависит от начальных условий, но не зависит от коэффициентов искомых уравнений.

Величина

(19)

является интегральной квадратичной оценкой управлений.

Величина

(20)

в свете приводимого ниже решения имеет смысл интегральной квадратичной оценки сигналов управления. Таким образом, соотношение (18) можно трактовать как задание математического ожидания суммы интегральных квадратичных оценок управлений и сигналов управления. Физическая интерпретация условия (18) означает как задание математического ожидания взвешенной суммы работ, совершаемых на входах и выходах исполнительных устройств за время переходного процесса.

Литература

1. Красовский А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем. М.: Наука, 1974. 232 с.

2. Евланов В. М., Константинов Л. Г. Системы со случайными параметрами. М.: Наука, 1976. 256 с.

3. Липатов Л. И. Типовые процессы химической технологии как объекты управления. М.: Химия, 1973, 316 с.

Размещено на Allbest.ru