Расчет гамма-процентного ресурса машины

Размещено на http://www.allbest.ru/

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Дано: наработка машин до отказа (ч) имеет распределение Вейбулла, нормальное, логарифмически нормальное, экспоненциальное. С использованием вероятностных сеток найти закон распределения случайной величины и определить 80% ресурс машины.

1. ГРАФИК СТАТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

1.1 Обработка статических данных

Первичные записи статических наблюдений за случайной величиной представлены в виде статического ряда, в котором записаны номера опытов и значений случайной величины, наблюдавшиеся в этих опытах.

Удобным способом получить представление о распределении случайной величины Ч является построение графика статической функции распределения выборки ():

где g - число опытов, в которых случайная величина X принимала значение меньше x; n - общее число произведенных опытов (n = 50).

Статистический ряд перестроен так, чтобы полученные числовые значения случайной величины располагались в возрастающем порядке (вариационный ряд).

Для возрастающего ряда эмпирическая функция распределения :

Таблица 2.1 - Вариационный ряд наработки до отказа машин, ч

где i* - порядковый номер опыта; l_i - пробег до отказа.

1.2 Построение функции распределения

По оси абсцисс отложено значение случайной величины пробега t₄₀=3822 часа, а по оси ординат - значения функции распределения, изменяющиеся от нуля до единицы. Этими величинами будет ограничен график.

Коэффициент масштабирования по оси абсцисс , мм/час:

3)

где L - длина оси абсцисс, L=160 мм; - максимальное значение наработки

Коэффициент масштабирования по оси ординат :

где - длина оси ординат, ; - максимальное значение функции распределения, .

Длина участка на оси абсцисс , мм:

где - текущее значение наработки, ч;

Аналогично для оси:

где - текущее значение функции распределения.

График полученной функции представлен на рисунке 1.

Рис.1 График функции распределения

3. ГИСТОГРАММА НАРАБОТОК МЕЖДУ ОТКАЗАМИ

Другим видом обработки первичных записей опытов, т.е. простого статистического ряда, является поразрядная группировка полученных их опытов значений случайной величины. Из данных статистического ряда для непрерывных случайных величин строится гистограмма, изображающая статическую плотность распределения. Она позволяет получить первое представление о виде распределения.

Из данных ряда записываются наименьшее и наибольшее значения случайной величины. Разность этих значений - зона рассеяния. Она делится на интервалы - разряды. Число разрядов - от 8 до 15. Длины разрядов выбираются одинаковыми. Но иногда приходится, чтобы не искажать вид гистограммы, принимать различные длины. В этом случае рекомендуется в каждом разряде брать не менее 5 наблюдений и тогда число разрядов может быть меньше 8.

Таблица 3.1 - Статистический ряд наработки между отказами машин

Частость :

где n - общее число наблюдений (n = 40).

Высота разряда гистограммы является статистической плотностью распределения в i - м разряде.

Общее число наблюдений

Сумма частостей

По полученным данным строим гистограмму. По оси абсцисс - значения наработки по разрядам, а по оси ординат откладываем высоту разряда.

Гистограмма представлена на рисунке 2.

Рис.2 Гистограмма наработок между отказами

Вывод: На основании гистограммы наработки между отказами можно установить два закона распределения:

1. Экспоненциальное распределение;

2. Закон распределения Вейбулла;

4. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ШКАЛЫ И ГРАФИКИ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

При небольшом числе опытов для определения закона распределения, его параметров, значений гамма-процентного ресурса и вероятности безотказной работы удобно пользоваться вероятностными шкалами.

На сетке, построенной на этих шкалах (так называемой вероятностной бумаге), график функции распределения является прямой линией. На сетку нанесены точки, соответствующие экспериментальным значениям случайной величины t и значениям экспериментальной функции распределения F(t). Если эти точки располагаются на вероятностной бумаге близко к прямой, то это свидетельствует о согласии опытных данных с тем законом распределения, для которого построена вероятностная бумага.

4.1 Экспоненциальное распределение

Функция распределения случайной величины:

После логарифмирования этого выражения получена линейная зависимость:

При построении шкалы и на горизонтальной оси наносится равномерная шкала с масштабным коэффициентом , определяемым по формуле:

где ч - область изменения величины .

Горизонтальная шкала равномерная с масштабным коэффициентом

На вертикальной оси наносятся значения , а надписываются значения Шкала неравномерная, наименьшее значение равно нулю.

Наибольшее значение удобно принять 0,999. Тогда

По длине вертикальной оси, равной 150 мм:

Параметр распределения по формуле (11):

где - угол, образованный пересечением найденной прямой с горизонтальной осью t (б=23°).

График функции экспоненциального распределения представлен на рисунке 3.

4.2 Закон распределения Вейбулла

Функция распределения случайной величины

где t - значение случайной величины T (наработка до отказа); a - параметр масштаба; b - параметр формы.

Величина S_F для вертикальной шкалы длиной 150 мм определяется после логарифмирования (4.4).

Логарифмируя (4.4) один раз, получим

Логарифмируя теперь (3.5), будем иметь

Примем для F(t) крайние значение: 0,001 и 0,999. Для этих значений размах величины ln{-ln[1-F(t)]} составит 8,84(от -6,91 до 1,93). Поэтому уравнение для S_F запишется в виде:

Числовые значения S_F приведены в табл. П7 [2].

Горизонтальная шкала неравномерная и строится так же, как и для логарифмически нормального распределения.

Параметр b

где б - угол наклона прямой, построенной на вероятностной сетке.

б=arctg(0,384) = 21

Параметр a определяется точкой пересечения найденной прямой с осью t.

a=1370 ч

График функции распределения Вейбулла представлен на рисунке 4.

Вывод: После построения графиков вероятностных шкал экспоненциального закона распределения и закона распределения Вейбулла видно, что точки, расположенные на графике функции экспоненциального распределения, образуют прямую.

5. СОГЛАСОВАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СО СТАТИСТИЧЕСКИМ (КРИТЕРИЙ ПИРСОНА)

Для нахождения свойств, определяющих надёжность машин или элементов по статистическому распределению случайной величины в выборке, найден закон распределения случайной величины, справедливый для генеральной совокупности - экспоненциальное распределение.

Вид предполагаемого закона распределения выбран исходя из внешнего вида: статистической функции распределения. Вывод о законе сделали благодаря гистограмме наработок между отказами.

Правильность выбора экспоненциального закона распределения проверяем по критерию Пирсона.

Таблица 5.1- Теоретические значения вероятностей

Критерий Пирсона :

Принят .

Число степеней свободы r:

где k - число разрядов статистического ряда; k = 5; - число параметров экспоненциального распределения; .

Для значений и найдена вероятность [1 стр. 94].

Проверка:

где - заданная вероятность, обычно принимается равной [1 стр. 29].

Условие выполняется, значит закон экспоненциального распределения можно применять.

6. СРЕДНИЙ И ГАММА-ПРОЦЕНТНЫЙ РЕСУРС МАШИНЫ

Средний ресурс в статистической трактовке:

где - наработка i-го объекта до отказа.

Для экспоненциального закона распределения значение гамма - процентного ресурса, ч.:

где г - процентный ресурс машины, указанный в задании, г = 80%.

ч.

Вывод:

Значение гамма - процентного ресурс проверяется по функции распределения. Абсцисса точки пересечения графика функции распределения и прямой, проведенной из точки F(t) = 0,2 (или, иначе, вероятность безотказной работы P(t) = 0,8 должна быть близка к значению ресурса).

Действительно расчётная ч.

По графику ч.

Из построений видно, что условие выполняется, значит расчеты выполнены верно, и данные значения наработок подчиняются экспоненциальному закону распределения.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

отказ машина гамма процентный

1. СТО СГУПС 01.01СДМ.01-2017 «Курсовой и дипломный проекты. Требования к оформлению». Новосибирск, 2017. 52 с.

2. Основы теории надежности и технической диагностики. Каргин В.А., Учеб. Пособие. Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2002.99 с.

Размещено на Allbest.ru