Известно, что коллекторы нефти и газа глубоких залежей в процессе извлечение их запасов по мере снижения пластового давления под действием горного давления могут подвергаться неупругим (релаксационным и ползучим) деформациям, количественным и качественным образом сильно отличающимся от случая упругой деформации [13]. Учет этих явлений позволит повысить точность и надежность методов определения технологических показателей разработки таких месторождений. Следовательно, возникает необходимость к построению газодинамической модели фильтрации, адекватно согласующейся с процессом разработки залежи в условиях неупругих деформаций горных пород.

С целью построения для случая газодинамической модели релаксационно-деформируемого газового пласта при фильтрации газа в нем, рассмотрим задачу о фильтрации реального газа к центральной скважине радиусом , вскрывшей пласт мощностью и работающей с расходом в круговом пласте с радиусом .

Система уравнений, описывающая процесс фильтрации реального газа в релаксационно-деформируемом пласте имеет вид [2,13]:

, (1)

(2)

где - давление; - пористость; - проницаемость; - атмосферное давление; и -коэффициенты соответственно температурной поправки и сверхсжимаемости газа; - вязкость газа; - начальная пористость; - время релаксации пористости; - упругая сжимаемость горной породы; - время.

Начальное и граничные условия имеют вид:

(3)

(4)

, . (5)

где - начальное пластовое давление.

Предположим, что проницаемость пласта зависит от давления следующим образом [7]:

(6)

где - начальное значение проницаемости; - коэффициент, учитывающий изменение проницаемости в зависимости от давления.

Отметим, что поставленная газдинамическая задача для ее разрешимости требуют знание коллекторских свойств релаксационно-деформируемого газового пласта, в первую очередь, проницаемости и пористости пласта, так как входящие в их выражения (5) и (6) коэффициенты и в общем случае являются неопределенными. Значения коэффициентов и приходится подобрать из соответствующих таблиц в справочниках о коллекторских свойств пород пластов, а для определение времени релаксации пористости () приходится провести отдельные исследования. Естественно что, определенные таким образом коэффициенты в совокупности могут вполне не соответствовать данному исследуемому процессу, и могут привести затрату много времени для получения адекватного и оперативного решения. С этой точки зрения, с целью достоверного моделирования процесса фильтрации газа к скважине в релаксационно-деформируемом пласте ставится задача параметрической идентификации коллекторских характеристик, которая по сущности состоит в определении, в первую очередь, неизвестных параметров (коэффициентов) зависимостей для проницаемости и пористости пласта по данным истории его разработки. Заметим, что при заданных для параметров и любых значений, определяемые из решения задачи (1) - (6) технологические показатели, например, такие как пластовое и забойное давление, определяют лишь свои теоретические (приближенные) значения, вполне не соответствующие к своим истинным значениям. Однако эти теоретические значения могут служить основой для решении задач по параметрической идентификации коллекторских свойств пласта при известных фактических данных этих показателей.

Таким образом, для построения газодинамической модели фильтрации газа в релаксационно-деформируемом пласте приходим к следующей задаче минимизации: требуется найти такие значения коэффициентов , которые позволяют минимизировать значение функционала

(7)

где - расчетное значение забойного давления скважины (определяются по решению задачи (1) - (6) при заданных значениях ); - фактические значения забойного давления; - текущее время эксплуатации скважины; -параметр регуляризации [14].

Заметим, что добавление первому интегральному члену функционала J второго члена позволяет из семейств значений , и при осуществлении процедуру минимизации определить лишь одну тройку значений (, , ), т.е. участие этого члена в функционале способствует получению единственного гарантированное решения для поставленной обратной задачи.

В (7) параметры и , соответствуют значениям , и .

В левой части уравнения (1) коэффициент при обозначим через , а в правой части уравнения выражения под производной по обозначим через . Тогда обратную задачу можно переформулировать следующим образом: найти минимум функционала (7) при ограничениях (8) - (10):

(8)

(9)

(10)

где

,

.

Для применения к решению задачи итерационных методов градиентного спуска, сперва получим вид градиента функционала (7). Для этого, обе части уравнения (8) соответственно умножаем на пока произвольную функцию , полученное выражение интегрируем по области и прибавляем его к правой части функционала (7). Тогда получим:

(11)

Для вычисления приращения функции (11) задаемся приращениями переменных , тогда получают приращения , а давлении - .

Непосредственными математическими преобразованиями для их определение получим следующую задачу:

(12)

(13)

(14)

(15)

Здесь и - соответственно производные по от и .

Заметим, что краевая задача (13) - (15) является сопряженной задаче (1) - (6). Для приращения функционала имеем следующее выражение:

. (16)

где , и - соответственно производные функций и по и ; - бесконечно малая величина более высокого порядка, чем .

На основе полученной формулы (16) для нахождения отыскиваемых параметров можно предложить следующую итерационную формулу метода градиентного спуска [14]:

где номер итерации, - шаг градиентного метода;

(17)

Отметим, что при вычислении градиентов функционала по (17) для производных и функций по и необходимо воспользоваться выражениями:

где ,

.

Надо отметить, что математическая специфика решаемой задачи, в основном, заключается в получении окончательных формул для определения отыскиваемых трех параметров модели, которые выражаются через эти же параметры.

Алгоритм решения задачи по определению коллекторских свойств пласта по согласованию истории разработки заключается в следующем:

С использованием исходных величин коллекторских параметров, численно решается прямая задача (1) - (6) методом конечных разностей [1,15]. В результате находятся в разные времена разработки давления в разных точках пласта, в том числе и в скважине. Определяются зависимости от времени разницы фактических и найденных расчетных давлений в скважине. С использованием этих невязок между давлениями в скважине, решается сопряженная краевая задача (12) - (15). На основе результатов решения прямой задачи (1) - (6) и сопряженной краевой задачи (12) - (15), по формулам (17) определяются значения функциональных производных по отыскиваемым параметрам в разных точках пласта.

Применяя соответствующий метод минимизации по найденному градиенту J, строится соответствующее направление поиска, определяется шаг вдоль этого направления и уточняются коллекторские свойства пласта. На этом заканчивается первая итерация алгоритма решения обратной задачи, при этом вычисляется и величина функционала (7). С уточненными значениями емкостных и фильтрационных параметров, вновь решается прямая задача.

Находятся величины невязок забойных давлений на различные моменты времени. Решается сопряженная краевая задача. Определяются также значения функциональных производных. Вновь уточняются параметры пласта и рассчитывается значение функционала (7). Если значения функционала, найденные после окончания первой и второй итерации, различаются менее, чем на заданную величину погрешности , то решение обратной задачи считается завершенным. В противном случае, осуществляется переход к третьей итерации и т.д. В результате решения обратной задачи уточняются значения коллекторских параметров, определяющих в рассмотренном случае проницаемость и пористость коллектора во всех элементарных ячейках пласта, которыми аппроксимируется рассматриваемый газовый пласт.

Отметим, что указанная процедура решения позволяет смоделировать изменения проницаемости и пористости во всех точках релаксационно-деформируемого газового пласта по найденным значениям коэффициентов, входящих в их формулам, а также получить соответствующей газодинамической прогнозной модели разработки.

3. Пример

Для апробации предлагаемой идентификационной методики было проведено ее обоснование на основе решения модельной задачи (1) - (6) в случае фильтрации газа к скважине в релаксационно-деформируемом пласте, когда заранее задаются значения параметров , и . Для теоретической модели задачи идентификации была выбрана гипотетическая модель газового пласта со следующими исходными данными:

, ,,,MPa^-1, MPa^-1

, mPa·сек; .

Для идентификации значений этих параметров по фактическим промысловым данным, значения забойных давлений скважины, полученные из решения задачи, принимались в качестве их фактические значения, измеряемых в промысловых условиях, а начальные приближенные значения определяемых параметров принимались ближе к нулю (). Результаты расчетов показаны ниже в рисунках 1-3 и в таблице.

На рисунке 1 показана зависимость изменения значений функционала (в процентах) от числа итерации при определении значений параметров , и . Как видно из рисунка, при числе итерации n=10 функционал (7) принимает минимальное значение, равное к нулю. Это соответствует значениям параметров , и к своим истинным природным значениям , и , принятым для них при решении теоретической задачи фильтрации газа к скважине в релаксационно-деформируемом пласте ( МПа^-1, лет и МПа^-1).

В таблице приводятся теоретические значения забойного давления во времени соответствующие к различным числам итерации. Данные последнего столбца таблицы соответствуют фактическим значениям забойного давления скважины. Как видно, с ростом числа итераций теоретические значения забойного давления скважины приближаются к их принятым фактическим значениям. Малое отличие значений забойного давления при первой и последней итерации объясняется с тем, что первое приближение для параметров и выбраны из мало отличающегося интервала, содержащего их точных значений, а несмотря на то, что для параметра было выбрано значение, относительно больше отличающийся чем его точного значения, однако влияние релаксационной деформации газового пласта на значения забойного давления, по сравнению с случаем принятия не деформируемости пласта, практически незначительно (в данном случае это соответствует случаю и ). Отметим, что релаксационная деформация горных пород на характеристики фильтрации практически ощутимое влияние оказывает только по сравнению с нелинейно-упругой деформации горных пород.

Рис.1. Зависимость изменения значений функционала (в процентах) относительно начального значения от числа итерации при определении значений параметров , и .

Таблица. Изменение значений забойного давления во времени при различных числах итерации (в МПа)

Рис.2. Значения определяемых параметров (1) и (2) (единица измерения: МПа^-1)

Рис.3. Значения определяемого параметра (единица измерения: лет)

Проведенная теоретическая апробация показывает приемлемость использования предлагаемой методики по определению параметров , и по согласованию истории разработки залежи с соответствующей теоретической задачей.

4. Заключение