Математическое моделирование физических процессов в плазмо-кинетических потоках импульсного генератора

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математическое моделирование физических процессов в плазмо-кинетических потоках импульсного генератора

Компьютерное моделирование является одним из наиболее мощных средств исследования, в частности, сложных динамических систем. Как и любое компьютерное моделирование, оно дает возможность проводить вычислительные эксперименты с еще только проектируемыми системами и изучать системы, натурные эксперименты с которыми, из-за соображений безопасности или дороговизны, не целесообразны. В тоже время, благодаря своей близости по форме к физическому моделированию, это метод исследования доступен более широкому кругу пользователей.

В настоящее время компьютерная промышленность предлагает инженеру целый ряд разнообразных средств моделирования, позволяющих не только моделировать сложные динамические системы, но и проводить с ними эксперименты. Наиболее полное исследование общесистемных проблем получается в результате моделирования объектов с помощью современных технологий, реализованных в специализированных вычислительных пакетах или пакетах визуального моделирования.

Пакетов визуального моделирования так же существует великое множество. В них пользователю предоставляется возможность описывать моделируемую систему преимущественно в визуальной форме, например, графически представляя как структуру системы, так и ее поведение (например, при помощи карты состояний). Такой подход позволяет пользователю не заботится о реальной программной реализации модели, что значительно упрощает процесс моделирования. Результаты эксперимента в пакетах визуального моделирования предоставляются в более наглядной для человека форме: в виде графиков, гистограмм или схем с применением анимации. Также в той или иной мере поддерживается технология объектно-ориентированного моделирования, что позволяет повторно использовать экземпляры моделей с возможностью внесения в них тех или иных корректив.

Из множества существующих на сегодняшний день пакетов визуального моделирования особый интерес вызывают универсальные пакеты, не ориентированные на определенную узкоспециальную область (физика, химия, электроника и т.д.) или определенные типы моделей (чисто дискретные или чисто непрерывные), а позволяющие моделировать принадлежащие различным прикладным областям структурно-сложные гибридные системы.

Несмотря на то, что современные универсальные пакеты визуального моделирования обладают рядом общих свойств (позволяют строить из блоков иерархические функциональные схемы, предоставляют пользователю схожие библиотеки численных методов, средства визуализации поведения и наборы анимационных возможностей, поддерживают технологию объектно-ориентированного моделирования), все же можно их разделить на три основные группы:

1. пакеты, использующие язык блочного моделирования;

2. пакеты, использующие язык физического моделирования;

3. пакеты, ориентированные на использование схемы гибридного автомата.

В данной работе предлагается провести компьютерное моделирование физических процессов в плазмо- кинетическом потоке импульсного генератора установки для нанесения покрытий детанационно- газовым способом, а именно, особенности построения динамических систем с использованием программного пакета WInSeT.

Программа WInSet предназначена для графического построения («визуализации») инвариантных множеств динамических систем: отображений и дифференциальных уравнений. С ее помощью можно легко и быстро получать для них фазовые траектории систем и последовательные итерации отображений на экране компьютера. Существует возможность задавать произвольные параметры для целого ряда известных систем. Кроме того, WInSet позволяет пользователю вводить собственные формулы для уравнений.

Пакет WInSeT относится к пакетам визуального моделирования, ориентированным на использование схемы гибридного автомата. Эта группа включает в себя пакеты, основанные на использовании схемы гибридного автомата. Использование карты состояний при описании переключений состояний, а также непосредственное описание непрерывных поведений системы системами алгебро-дифференциальных уравнений предоставляет большие возможности в описании гибридного поведения со сложной логикой переключений. К недостаткам следует отнести избыточность описания при моделировании чисто непрерывных систем.

Исследование поведения динамической системы сводится к изучению поведения её траекторий в фазовом пространстве. Структура разбиения фазового пространства на фазовые траектории называется фазовым портретом динамической системы. Полное описание фазового портрета для произвольной динамической системы представляет собой очень сложную задачу, но для некоторых классов динамических систем это удаётся сделать.

Рассмотрим особенности ускорения плазмы под действием переменных во времени электромагнитных сил, характерное время изменения которых порядка пролетного времени иона.

Пренебрегая градиентами давления и столкновительными членами, запишем уравнения движения электронов и ионов для плоского случая.

(1)

(2)

Состояниями равновесия системы являются те точки фазовой плоскости, в которых («движение отсутствует»).

; .

; ; .

Информация о характере состояний равновесия играет важную роль для построения фазового портрета.Состояния равновесия классифицируют по качественному поведению фазовых траекторий в малых окрестностях этих точек. Иногда это позволяет ограничиться анализом линеаризованных уравнений.

Рассмотрим сначала простейшую динамическую систему - систему двух линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка:

(3)

Будем искать решение в виде

,

.

Подстановкой этих выражений для n и m в систему (3) получаем для определения характеристическое уравнение системы (3):

(4)

Пусть и являются корнями характеристического уравнения (4).

Поведение траекторий системы (3) будет существенно зависеть от характера корней и её характеристического уравнения (4).

Если и отрицательны, то состояние равновесия асимптотически устойчиво ввиду асимптотического стремления экспоненты к нулю при стремлении показателя к ??. Состояние равновесия рассматриваемого типа называется устойчивым узлом. При и положительных ситуация аналогична, но, в отличие от случая отрицательных корней, изображающая точка удаляется по траектории от начала координат, и особая точка называется неустойчивым узлом. Если и ? действительные корни разных знаков, то состояние равновесия также неустойчиво.

В данной работе были проведены расчеты для динамической системы поведения плазмы. В результате получили:

Находим корни уравнения через дискриминант

D = = 6.644

;

;

Таким образом, видим, что динамическая система поведения плазмы имеет устойчивый характер и состояние равновесия системы носит название "устойчивый узел" (Рис. 1).

Рис. 1 - Устойчивый узел

Горизонтальные лучи на рисунке тоже являются траекториями движения точек фазовой плоскости.

Библиографический список

физический плазменный импульсный генератор

1. Губина Е.В., Кадина Е.Ю. Исследование динамических систем: построение фазовых портретов и бифуркационных диаграмм/ Е.В. Губина, Е.Ю. Кадина; Методическое пособие . - НН: 2015.

2. Колесников Е.В. Проектирование электротехнологических установок/ Е.В. Колесников; под общей ред. доктора техн. наук Ю.С. Архангельского. - Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2006. - 283 с.

3. Морозов А.Д. Визуализация и анализ инвариантных множеств динамических систем/ А.Д. Морозов, Т.И. Драгунов; Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.- 304 с.

Размещено на Allbest.ru