Эффективное использование природных алмазов и теоремы вложения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Эффективное использование природных алмазов и теоремы вложения

Фридман Александр Абрамович

ЦЭМИ РАН Москва

Актуальность проблемы эффективного использования ресурсов общеизвестна. Она естественно возрастает, когда речь идет о таком редком и дорогостоящем ресурсе как природные алмазы.

Таблица 1 - О редкости драгметаллов и алмазов

Источник: U.S. Geological Survey Minerals Yearbook. 2000-2007.

Из таблицы 1 видно, что годовой объем мировой добычи природных алмазов на порядок меньше годового объема мировой добычи платины и почти на два порядка меньше годового объема добычи золота, а редкость ювелирных алмазов еще выше. Заметим, что 1 карат (0,2г) хорошего ювелирного алмаза в 1000 раз дороже 1 карата золота, а стоимость бриллианта массой 1 карат почти на порядок превосходит стоимость 1 карата алмаза. Более того, если стоимость золота растет прямо пропорционально его весу, то стоимость алмаза возрастает существенно нелинейно с увеличением его веса. Красноречивый пример - для получения 1 млн. долларов США в ноябре 2009г надо было бы иметь ~ 35 кг золота, или ~23 кг платины, либо ~115 г хороших алмазов по 1 карату каждый, либо хороших бриллиантов - всего 20 штук по 2 карата каждый и общим весом 8 граммов!!!

Ниже излагается подход к решению проблемы эффективного использования природных алмазов при производстве бриллиантов, основанный на математическом моделировании алмазов и бриллиантов и решении нового класса оптимизационных задач о вложении одних тел в другие. Идея предлагаемого подхода носит достаточно общий характер и состоит в следующем. Если из выпуклого тела А можно реально сделать тело Б, то значит это тело Б можно как то разместить, расположить в теле А, т.е. вложить Б в А. Если это сделать оптимально, то мы приходим к задачам оптимального вложения тел, в частности оптимального вложения круглых бриллиантов в октаэдрический алмаз (ОА). (Понятие ОА раскрывается на стр.2.) Выбор именно этих задач объясняется тем, что ОА - это самые ценные алмазы в силу их строения и стоимости, а около 80-85 % производимых в мире бриллиантов - круглые.

Содержательно эти задачи можно сформулировать следующим образом. добыча алмаз бриллиант математический

Задача 1. В октаэдрический алмаз вложить круглый бриллиант максимального радиуса R

Задача 2 В октаэдрический алмаз А вложить круглый бриллиант максимального R, а в оставшуюся часть А - бриллиант возможно большего радиуса r.

Задача 3 В октаэдрический алмаз вложить два круглых бриллианта с максимальным суммарным весом.

Задача 4 В октаэдрический алмаз вложить два круглых бриллианта с максимальной суммарной стоимостью

Здесь уместно отметить, что производство бриллианта напоминает работу скульптора, делающего из камня мысленно вложенную в него задуманную скульптуру, посредством отделения от камня ненужных с точки зрения результата частей камня, идущих в отходы. А что значит ненужных ?

О критерии эффективноcти производства бриллиантов

Алмаз - сырье высочайшей ценности, а при производстве бриллиантов около 50% каждого кристалла амаза идет в отходы. Отсюда родилась ориентация производства на минимизацию потерь. Это было близко психологии руководителей. Так сформировался весовой критерий эффективности - «Тот план и стратегия обработки алмазов лучше, при котором больше вес получаемых бриллиантов». На это было ориентировано производство, все показатели, премии и штрафы. Чтобы показать к чему это приводит, уместен следующий иллюстративный пример. Имеется кусок бумаги К для изготовления денежных знаков. Есть 2 варианта его использования:

А) из куска бумаги К можно сделать 10 купюр по 10 рублей и отходов бумаги будет 0, а сумма купюр -100 рублей.

Б) из К можно сделать всего 2 купюры по 500 рублей с большим отходом бумаги.

Если ориентироваться на конечный эффект - надо выбрать вариант Б, так как он дает больший доход, хотя при нем и отходы большие, но не ориентироваться же на 0-ую величину отходов. Так и с алмазами - бриллианты производят и продают, чтобы получить за них больше валюты, а не минимизировать отходы при их изготовлении. В плановой экономике вокруг этого были дискуссии. Поэтому в комплексе задач 1- 4 фигурируют разные критерии, что позволило комплексно исследовать этот вопрос.

О моделировании ОА. Октаэдрический алмаз - это многогранник, получающийся из правильного октаэдра посредством сдвигов некоторых его граней параллельно самим себе. При этом число граней и углы между ними сохраняются (в невырожденных случаях). Такие многогранники называются октаэдрическими (ОМ). Их типичные виды представлены ниже.

Рис. 1. Правильный октаэдр Рис. 2 Октаэдрический многогранник (правильный октаэдрический многогранник) A?E?D?AEDBFC AEDBFC

Если в правильном многограннике (Рис.1) сдвинуть параллельно самой себе плоскость, содержащую грань АЕD, направляя ее движение во вне многогранника , то есть в направлении внешней нормали к АЕD (сдвигаемая плоскость переходит в плоскость, содержащую грань A?E?D? нового многогранника ) то мы получим многогранник A?E?D?AEDBFC (Рис.2)

Еще более сложный пример ОМ можно получить, сдвигая (на Рис.2) параллельно себе плоскость, содержащую грань BFC и двигаясь вовне многогранника.

В наших работах были построены две модели ОА - комбинаторная и аналитическая в виде системы линейных неравенств. Нам удалось установить следующий факт.

Теорема 1 Каждый октаэдрический алмаз есть пересечение (общая часть) двух правильных тетраэдров, названных нами порождающими.

Ниже, на Рис.3 показано комбинаторное представление ОА в виде пересечения двух правильных порождающих тетраэдров

Рис 3 Октаэдрический алмаз как пересечение двух правильных тетраэдров

Такая комбинация тетраэдров называется звездой, которая однозначно задает ОА. Параллельные грани октаэдрического алмаза принадлежат разным порождающим тетраэдрам. Найдена полная система метрических параметров ОА - четыре толщины Li между 4 парами параллельных граней и две высоты двух правильных тетраэдров H1, H2, причем L1 + L2 +L3+L4 = H1+H2, а любые 5 их них линейно независимы.

Нами доказано, что любые 5 из указанных параметров определяют два ОА, являющихся зеркальным отражением друг друга. Каждому октаэдрическому алмазу O сопоставим его характеристику - вектор ч(О)= (L1, L2 L3 , L4, H1, H2), где L1, L2 L3 , L4, , - упорядоченные по возрастанию расстояния между параллельными гранями алмаза О, а H1, H2- высоты порождающих его тетраэдров. Эта характеристика ч(О) октаэдрического алмаза является ключевым математическим инструментом при изучении различных свойств ОА, при доказательстве ряда теорем, связанных с алмазами, а также при исследовании и решении задач 1- 4 .

О модели круглого бриллианта (КБ) и идее тесного сырья

Круглый бриллиант (КБ) похож на тело вращения типа юлы. Вообще говоря, круглый бриллиант можно считать выпуклым многогранником и попытаться описать его системой двусторонних линейных неравенств. Но в силу сложной структуры КБ, имеющего 57 граней и более 150 вершин и ребер, попытка описать КБ таким многогранником и смоделировать процесс его вложения в ОА наталкивается на трудности:

- модель КБ-многогранника в виде системы неравенств весьма громоздка,

- в процессе решения задачи 1 пришлось бы следить за положением около 150 вершин и ребер бриллианта, обязанных быть внутри кристалла.

Порождаемое таким обилием возможностей дерево ситуаций трудно обозримо, а сам вычислительный процесс - труднореализуем на ЭВМ.

Здесь оказалась плодотворной следующая идея. Для ее понимания приведем стилизованный пример. Представим, что в прямоугольник П вложено тело (эллипс) Т, как показано на Рис. 4

Рис. 4

Подвинем каждую сторону прямоугольника П параллельно себе до касания с эллипсом Т Мы получим прямоугольник П1 , содержащий Т и такой , что его стороны А1 В1 // АВ, В1 D1 // ВD , С1 D1 // С D, А1С1 // АС .

Очевидно, что Т вложено в П тогда и только тогда, когда П1 в П. Важно отметить, что П1 похоже по форме на П, а их стороны попарно параллельны. Такое вложение П1 в П назовем параллельным

Эту идею мы реализовали при вложении КБ в октаэдрический алмаз ОА. Допустим, что в алмаз А уже вложен бриллиант Б. Придвинув каждую грань алмаза А параллельно себе до касания с Б, получим кристалл «А1» той же формы, содержащийся в А и касающийся Б всеми 8 гранями. Кристалл А1 назовем «тесным для Б октаэдром», а такое его вложение (вложимость) в А параллельным. Очевидно, что круглый бриллиант Б вложен в алмаз А тогда и только тогда, когда в А параллельно вложен тесный кристалл А1

Таким образом описание Б можно заменить описанием А1, что позволило снять многие упомянутые трудности. Нам удалось найти математическое описание А1 относительно Б. Для этого нам потребовалось использовать систему координат для ОА .

Система координат алмаза и тесные алмазы

Идеальный кристалл алмаза представляет собой правильный октаэдр (См. Рис 1). Три взаимно перпендикулярные прямые, соединяющие противоположные вершины этого кристалла - октаэдра образуют декартову систему координат - кристаллографическую систему координат алмаза. (Рис5).

Рис.5 Система координат октаэдрического алмаза

Положение любого тела (как множества точек) можно задать (описать) в данной системе координат. Например идеальный кристалл алмаза ABFCED можно описать системой линейных неравенств, характеризующих положение всех его точек между 4 парами параллельных граней идеального кристалла алмаза.

В этой же системе координат можно описывать любой октаэдрический алмаз. В ней же можно описывать и тела вкладываемые в октаэдрический алмаз (многогранник). При этом исходный алмаз А и его систему координат можно считать неподвижными, рассматривая разные варианты положения вкладываемого тела Б в алмаз, чтобы найти оптимальный вариант вложения.

Для каждого ОА можно найти его характеристику ч(О), измерив параметры L1, L2, L3 ,L4, H1 ,H2, причем толщины L1, L2, L3, L4 измеряются по алмазу довольно просто, а для измерения H1, H2 по реальному ОА удалось построить специальные устройства.

Сложнее найти аналогичные параметры для тесных кристаллов, поскольку это искусственно введенные нами объекты, расположенные в кристаллографической системе координат разными способами, характеризующими произвольное местоположение круглого бриллианта радиуса 1. Их нахождение связано с моделированием и решением ряда оптимизационных задач.

Поскольку круглый бриллиант можно представить как тело вращения, то оказалось, что для вычисления параметров тесного алмаза достаточно знать (описать) положение оси этого бриллианта в системе координат кристалла, которое определяется углами Эйлера и,ц,ш - нутации, прецессии и угла собственного вращения..

Замечание1. Построены алгоритмы вычисления массива параметров li (и,ц,ш), где i=1-4 и hj (и,ц,ш) , j =1,2 тесные октаэдры для любых значений параметров и, ц, ш.

Теоремы о параллельном вложении октаэдрических многогранников и решение задачи 1

Сформулируем фундаментальный результат о параллельных вложениях октаэдрических многогранников (ОМ), играющий важнейшую роль при решении задач 1- 4

Теорема 1 о вложении. Пусть Q и P - октаэдрические многогранники , причем

ч(Q) = (L1, L2, L3, L 4, H1, H2) и ч(P) = (q1 ,q2,q3 ,q4, h1, h2).

Р или его зеркальное отображение параллельно вкладывается в Q тогда и только тогда, когда ч(Р) ? ч(Q) , то есть qi ? Li, i = 1-4, а h1 ? H1, h2 ? H2 .

Используя эту теорему и методологию перехода от вложения круглого бриллианта КБ в ОА к параллельному вложению в него тесного (относительно КБ) октаэдра, а также свойства тесных октаэдров, можно доказать теорему 2 , которая и дает решение задачи 1

Теорема 2

Пусть Q - октаэдрический алмаз с характеристикой ч(О) = (L1, L2, L3, L4, H1, H2).

Тогда максимальный радиус R круглого бриллианта, вложимого в Q равен

где li (и, ц, ш) и hj (и, ц, ш) - аналоги величин Li и Hj для тесного сырья

Замечание 2 Учет технологии производства и специфики условий задачи позволил существенно упростить формулу для вычисления R, исключив максимизацию по ц и ограничив область изменения и и ш диапазонами 0 ? и ?12 , 0 ? ш ?45

Теорема 2 дает комбинаторное решение задачи 1, определяя Rmax и угловые параметры (и,ц,ш) , при которых достигается решение задачи 1.Однако для производства этого мало, т.к. необходимо знать конкретное местоположение в теле алмаза оптимального КБ с найденным Rmax (вообще говоря, он может быть расположен в нескольких местах обрабатываемого алмаза и это надо учитывать) чтобы осуществить обработку алмаза и получить этот бриллиант на практике. Поэтому теорема 1 - это теорема существования искомого (оптимального) объекта - КБ радиуса Rmax . А кроме этого надо еще и обеспечить реализацию этой теоремы - создать технологию получения этого оптимального бриллианта в условиях производства, для чего пришлось развить математический аппарат, позволяющий находить специальные параметры, описывающие расположение оптимального бриллианта в теле алмаза.

Задачи 2-4 оказались существенно сложнее, а задача 4 к тому же и неустойчивой, то есть при малом (до 0,3%) изменении параметров ее ограничений, решение задачи может скачкообразно (до 40-45 %) измениться.

О внедрении разработок и экономическом эффекте.

Постановка задач, разработка методов их решения, создание программного и технического обеспечения и внедрение результатов - заняли 10 лет. Объяснений - много - тут и сложность задач, и обстановка секретности, и неверие в возможности науки в столь тонком деле (подобного и за рубежом не было!), и принципиальная новизна подхода и методов, опровергавших сложившиеся стереотипы и нормы. И, главное - боязнь ответственности за принятие решения работать по новому методу - из-за страха перед возможной неудачей и последующими санкциями.

До наших работ все было ориентировано на минимизацию отходов, что было близко хозяйственным руководителям и не только им. А вся идеология нашей работы была ориентирована на конечный эффект с точки зрения рынка, на получение продукции максимальной валютной стоимости, что как показали результаты работы, не совпадало с идеологией минимизации отходов . Внедрение наших разработок в практику подтвердило правоту теории, что было неожиданным и для высокого руководства. Работа получила высокую оценку Президиума АН СССР. Большую поддержку работе оказывал премьер А.Н. Косыгин, по инициативе которого она и начиналась.

Эффект от наших работ был большой и исчислялся далеко не сотнями тысяч долларов. Достаточно сказать, что средняя цена получаемых по нашему методу бриллиантов по сравнению с нормативной повышалась на 15,7 %!!!. А на производстве шла борьба за повышение даже на сотые доли процента.

Литература

1. Фридман А. Мировой алмазный рынок и Россия М. ЦЭМИ РАН. 2009

2. Бабат Л. Фридман А. Параллельные вложения октаэдрических многогранников. М. Дискретная математика том20, выпуск 2, 2008г

3. А. Фридман, Л. Бабат «Оптимальное вложение бриллианта в алмаз и стоимостная оценка алмаза» М.ЦЭМИ РАН. Препринт W/2005/189

Размещено на Allbest.ru