Методика расчета железобетонных композитных конструкций с учетом кинетики агрессивных эксплуатационных сред

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Построение математической модели и определение деформированного состояния приводится для слоистой армированной плиты с полимербетонным слоем, эксплуатируемой под действием агрессивной среды (см. рис. 1).

Рис. 1. Схема рассматриваемой плиты: 1 - железобетонный слой плиты; 2 - армирование плиты; 3 - полимербетонный слой; 4 - срединная поверхность; q - равномерно распределенная нагрузка; с - агрессивная среда; д1 - толщина полимербетонного слоя; д2 - толщина железобетонного слоя; h - полная толщина плиты; a1 - толщина армированного слоя; a2 - толщина защитного слоя бетона для арматурной сетки

Решать подобного рода задачу предложено, используя модификацию гибридных КЭ с пятью степенями свободы в узле и матрицей жесткости, полученной непосредственно для произвольного плоского треугольного элемента [3].

Используя матрицу некоторых функций от координат точки элемента - и вектор коэффициентов, требующих определения при построении матрицы жесткости конечного элемента, получаем следующее выражение для вектора обобщенных сил:

(1)

Следовательно, вектор обобщенных деформаций будет иметь вид:

,(2)

где - матрица податливости. Учитывая, что матрица податливости представляет собой интеграл по толщине плиты, приходим к выражению для энергии деформации по объему КЭ как интеграл по его площади:

.(3)

Т. Пианом [5] показано, что конечные элементы данного класса основаны на функционале вида:

(4)

где Un - граница объема элемента; - часть Un , подвергнутая действию внешнего вектора сил ; - количество элементов; - граничные перемещения, связанные с узловыми перемещениями выражением:

.(5)

Вектор сил на границе элемента определяется из уравнения (4):

,(6)

где - матрица для контура Un элемента; - матрица связи узловых и граничных перемещений.

Подставив выражения (1), (3), (5), (6) в уравнение (4), получаем функционал вида:

(7)

Где

(8) (9)

(10)

После определения вариаций функционала (7) по параметрам , и приравнивая эти вариации нулю, можно получить выражение вида:

(11)

из которого выделяется матрица жесткости элемента

(12)

При определении вариации функционала (7) по неизвестным коэффициентам устанавливается связь этих коэффициентов с узловыми перемещениями:

(13)

Подставляя зависимости (13) в соотношения (1), получаем следующее равенство:

(14)

Таким образом, после вычисления узловых перемещений вектор обобщенных сил определен.

Представим вектор обобщенных сил через неизвестные коэффициенты в виде:

(15)

Используя уравнение (1), получаем матрицу функций от координат точки элемента.

Вектор при этом имеет вид:

.(16)

Подставляя матрицу в соотношение (8) и учитывая известные выражения для интегралов по площади треугольника, получим выражения для элементов квадратной матрицы двенадцатого порядка .

Из условия равновесия конечного элемента треугольной формы получаем следующие равенства:

(17)

С учетом зависимостей (17), определим работу распределенных вдоль стороны сил и моментов следующим образом:

(18)

где - безразмерная координата, измеряемая вдоль стороны конечного элемента .

Работа усилий и моментов, совершаемая на соответствующих перемещениях вдоль всего контура треугольного КЭ, определяется суммой:

.(19)

Если задать вектор перемещений в -м узле конечного элемента в следующем виде:

(20)

то получаем вектор узловых перемещений всего КЭ:

(21)

Аппроксимацию граничных перемещений в зависимости от узловых перемещений примем в следующей форме:

(22)

где - длина стороны .

Представим текущие координаты , на стороне через координаты узлов в виде:

(23)

Используя зависимости (15), (18), (22), (23) и подставляя их в уравнение (19), учитывая при этом аппроксимацию (21) и выделяя векторы , получим выражения для элементов матрицы размера 1215.

Задачи изгиба железобетонных плит, независимо от геометрической конфигурации, будем рассматривать в условиях активной деформации и простого нагружения, при этом будет использоваться потенциал деформаций, представленный в работе А.А. Трещева [4]:

,(24)

где и - константы потенциала; , - нормированные нормальные и касательные напряжения на октаэдрической площадке; и - нормальные и касательные напряжения; - фаза напряжений; ; ; ; ; ; - симметричный тензор напряжений; - символ Кронекера.

Деформации ползучести при кратковременном нагружении не учитываем. Размеры рассматриваемой плиты в плане велики по сравнению со средним расстоянием между арматурными стержнями, это позволяет пренебречь местными напряжениями в зоне контакта арматуры и бетона, а значит - распределить арматуру, представив ее в виде сплошного слоя. В качестве модели для стальной арматуры примем идеальное упругопластическое тело.

Для построения математической модели полимербетонного слоя за основу принимаем теорию малых упругих деформаций А.А. Ильюшина [1] применительно к механике сплошной среды. При построении инкрементальной модели изгиба необходимо получить уравнения, связывающие приращения напряжений с приращениями деформаций.

Построением данных соотношений в своих работах занимался В.В. Петров [2], сами уравнения имеют вид (25), (26), (27):

армированный полимербетонный деформированный

(25)

(26)

(27)

Однако в рассматриваемой нами модели необходимо учитывать еще два касательных напряжения (28), (29):

(28)

(29)

где , , , , - приращения нормальных и касательных напряжений, вызванные приращением внешних воздействий; , , , , - приращения линейных и угловых деформаций; - переменный касательный модуль с учетом действия агрессивной среды; - переменный секущий модуль, учитывающий уровень концентрации агрессивной среды; - приращение глубины проникания агрессивной среды.

Для апробации построенной модели использовалась плита, рассматриваемая в опытах В. Гелера и Х. Амоса, в сжатой зоне которой расположен полимербетонный слой из эпоксидного бетона, модуль упругости которого на основании нормативной литературы равен E=25500 МПа. Толщина полимербетонного слоя - 0,04 м. Номер плиты по опытам В. Гелера и Х. Амоса - 711, размеры плиты в плане 31,50,149 м, схема опирания - точечное по углам, коэффициенты армирования , , расстояние от верхней грани плиты до середины армированного слоя - 0,125 м. Модуль упругости арматурной стали был принят равным E=2·105 МПа. Нагрузка постоянна, равномерно распределенная P=40 кПа. Агрессивная среда - 20 %-ный раствор NaCl, с плотностью с=1,219 г/см3.

Полученные результаты расчетов приведены на рисунках 2, 3.

Рис. 2. Напряжения уy на нижней поверхности плиты по оси у

Рис. 3. Прогибы срединной плоскости вдоль длинной стороны плиты по оси центра тяжести

Приведенные графики напряжений показывают наличие качественных эффектов, связанных с учетом разносопротивляемости и чувствительности материала к виду напряженного состояния. Из графиков видно, что по мере увеличения концентрации агрессивной среды в материале происходит перераспределение напряжений в размере до 10-15 %, что является критичным и недопустимым для ряда конструкций.

Литература

1. Ильюшин А.А. Пластичность / А.А. Ильюшин - М.: Гостехиздат, 1948. - 376 с.

2. Петров В.В. Построение инкрементальных соотношений для физически нелинейного материала с развивающейся неоднородностью / В.В. Петров // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: сб. науч. тр. - Саратов: СГТУ, 2005. - С. 138-143.

3. Теличко В.Г. Гибридный конечный элемент для расчета плит и оболочек с усложненными свойствами / В.Г. Теличко, А.А. Трещев // Известия вузов. Строительство. - 2003. - № 5. - С. 17-23.

4. Трещев А.А. Теория деформирования и прочности материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. Определяющие соотношения / А.А. Трещев. - Тула: ТулГУ, 2008. - 264 с.

5. Pian T.T.H. Derivation of element stiffness matrices by assumed stress distribution / Т.Т. Pian // AIAA Journal. - 1967. - Vol 5. - P. 1332-1333.

Размещено на Allbest.ru