Решение нелинейной задачи теплопроводности для двухсвязной пластинки переменной толщины
Описание порядка решения нелинейной задачи теплопроводности для двухсвязной пластинки переменной толщины аналитическим методом и методом конечных величин. Переменная Кирхгофа и линеаризация краевой задачи теплопроводности, сравнение результатов решения.
| Рубрика | Производство и технологии |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 02.03.2019 |
| Размер файла | 57,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
2
РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ДВУХСВЯЗНОЙ ПЛАСТИНКИ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ
Фомин Владимир Геннадиевич
Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., Россия, Саратов
УДК 539.3
Аннотация: В работе рассматривается нелинейная задача теплопроводности для двухсвязной пластинки переменной толщины. В качестве методов решения используются аналитический метод и метод конечных элементов. Линеаризация краевой задачи теплопроводности проводится с помощью переменной Кирхгофа. Проводится сравнение результатов для линейной и нелинейной постановок задачи для двух методов.
Ключевые слова: нелинейная задача теплопроводности, пластинка переменной толщины, преобразование Кирхгофа, метод конечных элементов.
переменная Кирхгофа задача теплопроводность
В современной транспортной сфере используется большое количество элементов подверженных тепловому воздействию. Моделирование поведения материалов различных деталей конструкций позволяет спрогнозировать поведение элементов в тех или иных условиях. Учет нелинейности теплофизических свойств материалов способствует увеличению запаса прочности элементов конструкций или узлов, либо уменьшению веса изделий.В данном случае рассматривается тонкая изотропная пластинка переменной толщины, внутренней контур которой и внешний -описываются в безразмерной полярной системе координат уравнениями , где соответствует контуру, а - . Закон изменения толщины пластинки представляется формулой: , здесь ,- известные функции.
Учитывая малую толщину пластинки считаем, что температура не меняется по толщине пластинки. Полагаем, что основания пластинки теплоизолированы, коэффициент теплопроводности материала зависит от температуры, на контурах выполняются условия первого рода:
на
Поле температур находится из решения нелинейного уравнения теплопроводности при условиях (1).
Здесь , где - коэффициент теплопроводности при , (273 К), - температурный коэффициент.
Линеаризацию краевой задачи теплопроводности проводим с использованием переменной Кирхгофа.
, (2)
при этом разрешающее уравнение преобразуется к следующему:
. (3)
Граничные условия для функции примут вид:
на (4)
Решение уравнения (3) построено в работе [1]. Его общий интеграл выглядит следующим образом:
. (5)
Здесь - собственные функции, соответствующие спектру собственных значений ,,…,,… уравнения типа Хилла: , а , - частные решения уравнения
, , - постоянные интегрирования.
, .
В выражении (5) суммирование ведется по всем собственным значениям
,,…,,…
Неизвестные коэффициенты,, входящие в общий интеграл линеаризованного уравнения (5), находятся из граничных условий (4). Для их определения используется метод наименьших квадратов. Тогда решение (5) ограничим конечной суммой
(6)
Интервал изменения полярного угла в исследуемой области разобьем на равных частей . Удовлетворяя граничным условиям (4) в точках контура получим следующую систему уравнений:
(7)
Здесь и - координаты - ой точки соответственно на контурах и : , - шаг деления интервала изменения полярного угла . Число неизвестных в системе (7) в 2-3 раза меньше количества уравнений, и определяются они методом наименьших квадратов, который приводит к системе уравнений с неизвестными.
После определения постоянных интегрирования , общее решение (6) становится известным. Обратный переход к функции температур осуществляется по формуле
. (8)
Для сравнения полей температур краевая задача (3), (4) была решена другим способом - методом конечных элементов.
В этом случае интегрирование уравнения (3) в декартовой системе координат эквивалентно нахождению экстремуму функционала
.
Для отыскания минимума функционала область разбивалась на треугольные элементы по той же схеме, что и в работе [2],
,где - число элементов,
,- средняя толщина элемента.
В пределах каждого элемента функция аппроксимировалась линейным сплайном .
Обратный переход от функции к функции температур осуществлялся по формуле (8).
В качестве примера рассмотрена квадратная пластинка переменной толщины с центральным эллиптическим отверстием из титанового сплава ВТ6 со следующими характеристиками:
, .
Закон изменения толщины пластинки определялся следующей зависимостью: ,
, ,
где- толщина пластинки на расстоянии от начала координат,
- толщина пластинки на расстоянии от начала координат,
и - полуоси эллипса, - половина стороны квадрата.
Соотношение геометрических параметров квадратной пластинки с эллиптическим отверстием:
, , .
Значения температур на контурах,
на :, (273 К), на : , (673 К).
величина на принималась равной 0,25 , значение .
Учет неоднородности теплофизических свойств материала вносит поправку в значения температур до 19%. Максимальное расхождение между аналитическим методом и методом конечных элементов не превышает 4%.
Библиографический список:
1.Фомин В.Г. Пластинки сложного очертания под действием температурного поля.Aвтореф.дисс.… к. ф.-м. н. Саратов. 1991. 20 с.
2.Фомин В.Г. Моделирование двухсвязной пластинки, находящейся в поле температур под воздействием агрессивной среды. //Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-29 [текст]: сб. трудов XXIX Междунар. науч. конф.: в 12 т. Т.2. / под общ. ред. А.А. Большакова. - Саратов: Саратов. гос. техн. ун-т; Санкт-Петербург: СПбГТИ(ТУ), СПбПУ, СПИИРАН; Самара: Самарск. гос. техн. ун-т, 2016. 230 с.С.83-85.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Коэффициенты теплопроводности твердых тел, жидкостей и газов. Нестационарные процессы теплопроводности, охлаждение (нагревание) неограниченной пластины. Способ определения теплопроводности жидкой тепловой изоляции при нестационарном тепловом режиме.
дипломная работа [1,9 M], добавлен 20.03.2017Для решения задач теплопроводности применяют аналитические методы и численный метод. Чаще применяются: метод Фурье, метод источников и операторный метод. Уравнение процесса, удовлетворяющее дифференциальному уравнению теплопроводности и краевым условиям.
учебное пособие [319,4 K], добавлен 05.02.2009Особенности теплового обмена между телами, сущность теплопроводности и конвекции. Формы и процессы теплообмена. Описание граничных условий расчёта температурного поля, количества аккумулированной теплоты. Определение и последовательность решения задачи.
курсовая работа [549,2 K], добавлен 27.10.2013Непротиворечивый вариант геометрически нелинейной теории плоских криволинейных стержней в квадратичном приближении. Алгоритм численного решения задачи устойчивости плоского криволинейного стержня. Линеаризованные уравнения нейтрального равновесия.
дипломная работа [4,0 M], добавлен 13.07.2014Вывод уравнений для прочностных ограничений; изгиба круглой симметрично нагруженной пластины переменной толщины. Определение градиентов целевой функции. Алгоритм расчетов оптимальных дисков методом чувствительности при различных граничных условиях.
дипломная работа [2,1 M], добавлен 21.06.2014Расчет размеров футеровки, толщины кладки, температуры на стыке слоев, теплопроводности для рабочего и теплоизоляционного слоев. Построение графиков зависимости температуры стыков. Конструкция доменных печей. Нахождение средней температуры футеровки.
курсовая работа [3,3 M], добавлен 07.10.2015Расчет размеров футеровки, толщины кладки стен и купола водонагревателя объемом 3300 м. Определение температуры на стыке слоев и теплопроводности для каждого слоя. Построение графика зависимости температуры стыков, схемы футеровки воздухонагревателя.
контрольная работа [885,2 K], добавлен 07.10.2015Задачи вентиляционного расчета электрической машины. Дифференциальное уравнение теплопроводности. Связь электромагнитного, теплового и вентиляционного расчетов. Основные типы систем охлаждения электрических машин. Обзор методов теплового расчета.
реферат [1,6 M], добавлен 28.11.2011Расчет теплопроводности при сварке. Тепловые схемы и классификация источников нагрева. Мгновенный линейный источник в пластине, в стержне, на поверхности плоского слоя. Расчет температурного поля движущихся источников нагрева и методом интегрирования.
контрольная работа [4,1 M], добавлен 25.03.2016Уравнения элементов системы автоматического управления температурой в сушильной камере в среде Simulink. Уравнение двигателя постоянного тока. Исследование устойчивости САУ методом фазового пространства, методом Ляпунова, гармонической линеаризации.
курсовая работа [935,8 K], добавлен 05.03.2016Схемы расположения полей допусков стандартных сопряжений. Соединение подшипника качения с валом и корпусом. Расчет размерных цепей. Решение задачи методом максимума - минимума. Решение задачи теоретико-вероятностным методом (способ равных квалитетов).
курсовая работа [441,6 K], добавлен 26.01.2010Разработка технологического процесса производства бесшовных труб на трехвалковом раскатном стане. Конструкция и условия работы оправок стана. Теплообмен при обработке металлов давлением. Методы решения нестационарного уравнения теплопроводности.
дипломная работа [2,0 M], добавлен 10.07.2014Отличия макро- и микроскопического строения материалов. Сравнение теплопроводности древесины и стали. Классификация дефектов кристаллического строения. Причины появления точечных дефектов. Особенности получения, свойства и направления применения резин.
контрольная работа [318,1 K], добавлен 03.10.2014Основные понятия и определения алгоритма решения изобретательских задач (АРИЗ) как комплексной программы алгоритмического типа, основанной на законах развития технических систем. Классификация противоречий, логика и структура АРИЗ. Пример решения задачи.
реферат [382,9 K], добавлен 16.06.2013Оптимизация решения на моделях нелинейного программирования. Решение задачи линейного программирования графическим методом. Разработка раскроя древесно-стружечных плит на заготовки. Затраты времени на обработку деталей. Обоснование решений на моделях СПУ.
курсовая работа [2,8 M], добавлен 17.05.2012Характеристика технологии изготовления конденсаторов переменной емкости. Описание обязанностей контролера качества конденсаторов, который принимает участие в изучении причин возникновения производственных дефектов готовой продукции. Техника безопасности.
курсовая работа [370,5 K], добавлен 12.06.2011Перенос нагрузки в узлы. Переход к общей системе координат. Поворот координатных осей с помощью матрицы преобразования координат. Объединение конечных элементов. Суммирование рассылаемого блока с имеющимся блоком в матрице методом сложения жесткостей.
презентация [772,0 K], добавлен 24.05.2014Описание основных характеристик объекта контроля. Обзор методов измерения толщины гальванического покрытия. Разработка структурной схемы установки, расчёт погрешности и определение требований к ее компонентам. Выбор СИ и вспомогательного оборудования.
курсовая работа [65,4 K], добавлен 16.11.2009Закономерности существования и развития технических систем. Основные принципы использования аналогии. Теория решения изобретательских задач. Нахождение идеального решения технической задачи, правила идеальности систем. Принципы вепольного анализа.
курсовая работа [3,3 M], добавлен 01.12.2015Описание конструкции и работы дуговой сталеплавильной печи. Выбор огнеупорной вкладки ДСП. Состав чугуна, скрапа и средний состав шихты. Материальный баланс периода расплавления. Определение основных размеров печи. Коэффициент теплопроводности материалов.
курсовая работа [82,1 K], добавлен 16.02.2015
