Вычисление погрешности прямых и косвенных измерений. Определение грубых погрешностей и доверительного интервала измерений

Размещено на http://www.allbest.ru/

"Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова"

Институт судостроения и морской арктической техники (Севмашвтуз)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине "Основы метрологии и измерительной техники"

На тему: "Вычисление погрешности прямых и косвенных измерений. Определение грубых погрешностей и доверительного интервала измерений"

Выполнил обучающийся: Обухов Ю.С.

Руководитель: Белозерова А.И.

Северодвинск 2018

Задание на контрольную работу

Задание №1

Задача 1.1 Омметром со шкалой (0...1000) Ом измерены значения 0; 100; 200; 400; 500; 600; 800; 1000 Ом. Определить значения абсолютной и относительной погрешностей, если приведённая погрешность равна 0,5%. Результаты представить в виде таблицы и графиков.

Задача 1.2 Вольтметром со шкалой (0…100) мВ, имеющим приведённую погрешность г=2%, измерены значения напряжения 0; 10; 20; 40; 50; 70; 90; 100 мВ. Рассчитать зависимости абсолютной, относительной и приведённой погрешностей от результата измерений. Результаты представить в виде таблицы и графиков.

Задача 1.3 Расходомером со шкалой (0…50) м ³/ч, имеющим абсолютную погрешность ДQ = 1 м ³/ч, измерены значения расхода 0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; 40; 50 м ³/ч. Рассчитать зависимости абсолютной, относительной и приведённой погрешностей от результата измерений. Результаты представить в виде таблицы и графиков.

Задание №2

Для прибора (таблица 1) рассчитать значения абсолютных, относительных и приведённых основных погрешностей измерений. Результаты представить в виде таблицы и графиков.

Таблица 1

№ варианта	№ задачи	Диапазон измерений	Класс точности	Результаты измерений
9	2.1	(0…5) А	2,5	0; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 3,0; 4,5; 5,0 А
		2.2	(0…100) мВ

Размещено на http://www.allbest.ru/

0; 10; 20; 45; 50; 60; 80; 100 мВ
	2.3	(-10…+10) В	5.0/2.0	0; 1; 2; 4; 5; 6; 9; 10 В



Задание №3

При многократном измерении физической величины Х получен ряд измеренных значений (таблица 2). Используя критерий Романовского, необходимо проверить полученные результаты измерений на наличие грубой погрешности с вероятностью Р.

Таблица 2

№ задачи	X	Результаты измерений	P
3.1	U, В	4,25; 4,21; 4,23; 4,21; 4,25; 4,23; 4,26; 4,22; 4,21; 4,23; 4,86; 4,21; 4,25; 4,24; 4,26; 4,22	0,90
3.9	Р, Па	1503; 1508; 1505; 1503; 1510; 1505; 1507; 1478; 1503; 1503; 1508; 1505; 1499; 1510; 1505; 1507; 1598	0,99
3.17	Q, м 3/с	744; 764; 766; 765; 763; 765; 763; 765; 764; 764; 766; 751; 763; 765; 763; 765	0,95

Задание №4

Задача 4.1 При многократном измерении силы F получены значения в Н: 403; 408; 410; 405; 406; 398; 496; 404. Укажите доверительные границы истинного значения силы с вероятностью Р = 0,95.

Задача 4.2 При многократном измерении объёма тела получены следующие значения: 0,3; 0,35; 0,3; 0,29; 0,32; 0,28; 0,29; 0,3; 0,34 м ³. Укажите доверительные границы истинного значения объёма с вероятностью Р = 0,95.

Задача 4.3 При многократном измерении силы электрического тока получены значения в мА: 22,4; 22,1; 22,3; 22,2; 21,5; 21,7; 22,3; 21,4; 22,1. Укажите доверительные границы истинного значения силы тока с вероятностью Р = 0,95.

Задание №5

По известной расчётной зависимости косвенного метода измерения и по известным результатам и погрешностям прямых измерений (таблица 3), в соответствии с полученным вариантом, рассчитать предельные и среднеквадратические оценки абсолютной и относительной погрешностей косвенного измерения.

Таблица 3

№ задачи	Расчётная зависимость	Погрешности и результаты прямых измерений
		a	b	c	d	e
5.1	y = 2 (a + b - c) / [d3e]	?a = 3 a = 100	?b = 1 b = 70	?c = 2 c = 80	?d = 1 d = 60	?e = 2 e = 90
5.9	y = 1 / [a (b - c) d2e]	?a = 1 a = 100	?b = 2 b = 80	?c = 1 c = 60	?d = 2 d = 40	?e = 1 e = 20
5.17	y = 2a / [(3bc2 (d - e)]	?a = 0,5 a = 40	?b = 1 b = 30	?c = 0,5 c = 50	?d = 1,4 d = 70	?e = 2 e = 60

Задание №1

Задача 1.1

Омметром со шкалой (0...1000) Ом измерены значения 0; 100; 200; 400; 500; 600; 800; 1000 Ом. Определить значения абсолютной и относительной погрешностей, если приведённая погрешность равна 0,5%. Результаты представить в виде таблицы и графиков.

Решение:

Для записи результатов формируем таблицу 1.1, в столбцы которой будем записывать измеренные значения R, абсолютные ?R, относительные дR и приведённые гR погрешности.

В первый столбец записываем заданные в условии задачи измеренные значения уровня 0; 100; 200; 400; 500; 600; 800; 1000 Ом.

Значение приведенной погрешности известно из условий задачи (гR = 0,5%) и считается одинаковым для всех измеренных значений уровня; это значение заносим во все ячейки четвертого столбца.

Предварительно определим нормирующее значение .

Так как диапазон измерений омметра - (0…1000) Ом, то за нормирующее значение принимаем разности верхнего и нижнего пределов измерения, т.е.

.

Значения абсолютной погрешности будем рассчитывать по формуле:

, (1.1)

где - приведенная погрешность, % ;

- нормирующее значение, Ом.

.

Эта величина будет постоянной при любых измеренных значениях уровня. Запишем это значение во все ячейки второго столбца.

Значения относительной погрешности будем рассчитывать по формуле,

. (1.2)

Значение при получаем .

Значение при получаем .

Значение при получаем .

Значение при получаем .

Значение при получаем .

Значение при получаем .

Значение при получаем .

Значение при получаем .

Запишем полученные значения в третий столбец.

Таблица 1.1 - Результаты расчета.

R, Oм	ДR, Oм,	дR, %	гR, %
0	5		0,5
100	5	5	0,5
200	5	2,5	0,5
400	5	1,25	0,5
500	5	1	0,5
600	5	0,83	0,5
800	5	0.63	0,5
1000	5	0.5	0,5

По данным таблицы 1.1 постоим графики зависимости абсолютной ?R, относительной дR и приведённой гR погрешности от результата измерения R (рисунок 1.1).

Рисунок 1.1 - Графики зависимости абсолютной ?R, относительной дR и приведённой гR погрешности от результата измерения R.

Задача 1.2

Вольтметром со шкалой (0…100) мВ, имеющим приведённую погрешность г=2%, измерены значения напряжения 0; 10; 20; 40; 50; 70; 90; 100 мВ. Рассчитать зависимости абсолютной, относительной и приведённой погрешностей от результата измерений. Результаты представить в виде таблицы и графиков.

Решение:

Для записи результатов формируем таблицу 1.2., в столбцы которой будем записывать измеренные значения V, абсолютные ?V, относительные дV и приведённые гV погрешности.

В первый столбец записываем заданные в условии задачи измеренные значения уровня 0; 10; 20; 40; 50; 70; 90; 100 мВ.

Значение приведенной погрешности известно из условий задачи (гV = 2%) и считается одинаковым для всех измеренных значений уровня; это значение заносим во все ячейки четвертого столбца.

Предварительно определим нормирующее значение .

Так как диапазон измерений вольтметра - (0…100) мВ, то за нормирующее значение принимаем разности верхнего и нижнего пределов измерения, т.е.

.

Значения абсолютной погрешности будем рассчитывать по формуле:

, (1.3)

где - приведенная погрешность, % ;

- нормирующее значение, мВ.

.

Эта величина будет постоянной при любых измеренных значениях уровня. Запишем это значение во все ячейки второго столбца.

Значения относительной погрешности будем рассчитывать по формуле,

. (1.4)

Значение при получаем .

Значение при получаем .

Значение при получаем .

Значение при получаем ..

Значение при получаем

Значение при получаем

Значение при получаем

Значение при получаем

Запишем полученные значения в третий столбец.



Таблица 1.2 - Результаты расчета.

V, мВ	ДV, мВ,	дV, %	гV, %
0	2		2
10	2	20	2
20	2	10	2
40	2	5	2
50	2	4	2
70	2	2,9	2
90	2	2,2	2
1000	2	2	2

По данным таблицы 1.2 постоим графики зависимости абсолютной ?V, относительной дV и приведённой гV погрешности от результата измерения V (рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 - Графики зависимости абсолютной ?V, относительной дV и приведённой гV погрешности от результата измерения V.

Задача 1.3

Расходомером со шкалой (0…50) м ³/ч, имеющим абсолютную погрешность ДQ = 1 м ³/ч, измерены значения расхода 0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; 40; 50 м ³/ч. Рассчитать зависимости абсолютной, относительной и приведённой погрешностей от результата измерений. Результаты представить в виде таблицы и графиков.

Решение:

Для записи результатов формируем таблицу 1.3., в столбцы которой будем записывать измеренные значения Q, абсолютные ?Q, относительные дQ и приведённые гQ погрешности.

В первый столбец записываем заданные в условии задачи измеренные значения уровня 0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; 40; 50 м³/ч.

Значение абсолютной погрешности известно из условий задачи (ДQ = 1 м³/ч) и считается одинаковым для всех измеренных значений уровня; это значение заносим во все ячейки четвертого столбца.

Предварительно определим нормирующее значение .

Так как диапазон измерений вольтметра - (0…50) м³/ч, то за нормирующее значение принимаем разности верхнего и нижнего пределов измерения, т.е.

.

Значения приведенной погрешности будем рассчитывать по формуле:

, (1.5)

где - абсолютная погрешность, ;

- нормирующее значение, .

.

Эта величина будет постоянной при любых измеренных значениях уровня. Запишем это значение во все ячейки второго столбца.

Значения относительной погрешности будем рассчитывать по формуле,

. (1.6)



Значение при . получаем .

Значение при. получаем .

Значение при получаем .

Значение при. получаем ..

Значение при получаем

Значение при получаем

Значение при получаем

Значение при . получаем

Запишем полученные значения в третий столбец.

Таблица 1.3 - Результаты расчета.

Q, м 3/ч	ДQ, м 3/ч	дQ, %	гQ, %
0	1		2
5	1	20	2
10	1	10	2
15	1	6,7	2
20	1	5	2
30	1	3,3	2
40	1	2,5	2
50	1	2	2

По данным таблицы 1.2 постоим графики зависимости абсолютной ?V, относительной дV и приведённой гV погрешности от результата измерения V (рисунок 1.3).



Рисунок 1.3 - Графики зависимости абсолютной ?V, относительной дV и приведённой гV погрешности от результата измерения V.



Задание № 2

Для прибора рассчитать значения абсолютных, относительных и приведённых основных погрешностей измерений. Результаты представить в виде таблицы и графиков.

Задача 2.1

Для амперметра с диапазоном измерения (0…5) А с классом точности 2,5 рассчитать значения абсолютных, относительных и приведенных основных погрешностей измерений. Результаты измерений вольтметром: 0; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 3,0; 4,5; 5,0 А.

Решение:

Для записи результатов формируем таблицу 2.1, в столбцы которой будем записывать измеренные значения I, абсолютные ?I, относительные дI и приведённые гI погрешности. В первый столбец записываем заданные в условии задачи измеренные значения амперметра: 0; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 3,0; 4,5; 5,0 А.

Класс точности амперметра задан числом без кружка, следовательно, приведённая погрешность, выраженная в процентах, во всех точках шкалы не должна превышать по модулю класса точности, т.е. | гI | ? 2,5%. При решении задачи рассмотрим худший случай | гI | = 2,5%, когда приведённая погрешность принимает максимальное по абсолютной величине значение, что соответствует гI = ±2,5%.

Данные значения приведённой погрешности заносим в четвёртый столбец таблицу 2.1.

Предварительно определим нормирующее значение .

Так как диапазон измерений амперметра - (0…5) А, за нормирующее значение принимаем размах шкалы прибора, т.е.

.

Значения абсолютной погрешности будем рассчитывать по формуле:

, (2.1)

где - приведенная погрешность, % ;

- нормирующее значение, A.

.

Эта величина будет постоянной при любых измеренных значениях вольтметра. Запишем это значение во все ячейки второго столбца.

Значения относительной погрешности будем рассчитывать по формуле,

. (2.2)

Значение при получаем .

Значение при получаем .

Значение при получаем .

Значение при получаем .

Значение при получаем .

Значение при получаем .

Значение при получаем .

Значение при получаем .

Запишем полученные значения в третий столбец.



Таблица 2.1. - Результаты расчета значений погрешности.

V, мВ	ДV, мВ	дV, %	гV, %
1	2	3	4
0	±0,125	?	±2,5
0,5	±0,125	±25	±2,5
1,0	±0,125	±12,5	±2,5
1,5	±0,125	±8,3	±2,5
2,5	±0,125	±5	±2,5
3,0	±0,125	±4,2	±2,5
4,5	±0,125	±2,8	±2,5
5,0	±0,125	±2,5	±2,5

По данным таблицы 2.1, учитывая, что погрешности могут быть как положительными, так и отрицательными, строим графики зависимостей абсолютной ?I, относительной дI и приведённой гI погрешностей от результата измерений I (рисунок 2.1).

Рисунок 2.1 - Графики зависимости абсолютной ?I, относительной дI и приведённой гI погрешности от результата измерения I.



Задача 2.2

Для вольтметра с диапазоном измерения (0…100) мВ с классом точности рассчитать значения абсолютных, относительных и приведенных основных погрешностей измерений. Результаты измерений вольтметром: 0; 10; 20; 45; 50; 60; 80; 100 мВ.

Решение:

Для записи результатов формируем таблицу 2.2, в столбцы которой будем записывать измеренные значения V, абсолютные ?V, относительные дV и приведённые гV погрешности. В первый столбец записываем заданные в условии задачи измеренные значения вольтметра: 0; 10; 20; 45; 50; 60; 80; 100 мВ.

Класс точности амперметра задан числом в кружке, следовательно, относительная погрешность, выраженная в процентах, во всех точках шкалы не должна превышать по модулю класса точности, т.е. | дV | ? 1,0 %. При решении задачи рассмотрим худший случай | дV | = 1,0%, когда относительная погрешность принимает максимальное по абсолютной величине значение, что соответствует дV = ±1,0 %.

Данные значения относительной погрешности заносим в третий столбец таблицы 2.1.

Рассчитаем значение абсолютной погрешности. Из формулы:

. (2.3)

Значение при получаем .

Значение при получаем .

Значение при получаем .

Значение при получаем

Значение при получаем .

Значение при получаем .

Значение при получаем .

Значение при получаем .

Запишем полученные значения во второй столбец.

Определим нормирующее значение .

Так как диапазон измерений вольтметра - (0…100) мВ, за нормирующее значение принимаем размах шкалы прибора, т.е.

.

Значения приведенной погрешности будем рассчитывать по формуле:

, (2.4)

где - абсолютная погрешность, мВ

- нормирующее значение, мВ

Значение при получаем .

Значение при получаем

Значение при получаем

Значение при получаем

Значение при получаем

Значение при получаем

Значение при получаем

Значение при получаем

Запишем полученные значения в третий столбец.



Таблица 2.2 - Результаты расчета значений погрешности.

V, мВ	ДV, мВ	дV, %	гV, %
1	2	3	4
0	±0	±1,0	±0
10	±0,1	±1,0	±0,1
20	±0,2	±1,0	±0,2
45	±0,45	±1,0	±0,45
50	±0,5	±1,0	±0,5
60	±0,6	±1,0	±0,6
80	±0,8	±1,0	±0,8
100	±1	±1,0	±1

По данным таблицы 2.2, учитывая, что погрешности могут быть как положительными, так и отрицательными, строим графики зависимостей абсолютной ?I, относительной дI и приведённой гI погрешностей от результата измерений I (рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 - Графики зависимости абсолютной ?V, относительной дV и приведённой гV погрешности от результата измерения V.

Задача 2.3

Для вольтметра с диапазоном измерения (-10…10) В, с классом точности 1,25/0,5 рассчитать значения абсолютных, относительных и приведенных основных погрешностей измерений. Результаты измерений вольтметром: 0; 1; 2; 4; 5; 6; 9; 10 В.

Решение:

Для записи результатов формируем таблицу 2.3., в столбцы которой будем записывать измеренные значения V, абсолютные ?V, относительные дV и приведённые гV погрешности.

В первый столбец записываем заданные в условии задачи измеренные значения вольтметром: 0; 1; 2; 4; 5; 6; 9; 10 В..

Класс точности вольтметра задан в виде двух чисел, разделённых косой чертой. Следовательно, относительная погрешность, выраженная в процентах, во всех точках шкалы должна удовлетворять следующему соотношению:

,%. (2.5)

В данном случае а = 1,25; b = 0,5 ; .

Таким образом, получаем:

.

При решении задачи рассмотрим худший случай:

.

При получаем .

При получаем .

При получаем .

При получаем .

При получаем .

При получаем .

При получаем .

При получаем .

Данные значения относительной погрешности заносим в третий столбец таблицы 2.3.

Рассчитаем значение абсолютной погрешности. Из формулы:

. (2.6)

При получаем .

Искомое значение ?V можно определить следующим образом. Так как класс точности прибора задан в виде двух чисел, то у данного прибора аддитивные и мультипликативные погрешности соизмеримы. При V = 0 В мультипликативная составляющая погрешность равна нулю, значит, общая погрешность в этой точке обусловлена только аддитивной составляющей. Аддитивную составляющую представляет второе из чисел, задающих класс точности, т.е. в данном случае число b = 0,5. Это означает, что аддитивная погрешность составляет 0,5% от верхнего предела измерений прибора, т.е. от Vк = 10 В. Таким образом,

При V = 0 В, получаем .

При получаем .

При получаем .

При получаем .

При получаем .

При получаем .

При получаем .

При получаем .

Данные значения абсолютной погрешности заносим во второй столбец.

Рассчитаем значение приведенной погрешности. Из формулы:

. (2.7)

Предварительно определим нормирующее значение .

Так как диапазон измерений вольтметра - (-5…5) м, то шкала уровнемера двухсторонняя, следовательно, за нормирующее значение принимаем ширину пределов измерения, т.е.

.

Значение при получаем .

Значение при получаем .

Значение при получаем .

Значение при получаем .

Значение при получаем .

Значение при получаем .

Значение при получаем .

Значение при получаем .

Запишем полученные значения в четвертый столбец.

Таблица 2.3. - Результаты расчета значений погрешности.

V, м	ДV, В	дV, %	гV, %
1	2	3	4
0	±0,050	?	±0,250
1	±0,058	±5,75	±0,288
2	±0,065	±3,25	±0,325
4	±0,080	±2,00	±0,400
5	±0,088	±1,75	±0,438
6	±0,095	±1,58	±0,474
9	±0,118	±1,31	±0,590
10	±0,125	±1,25	±0,625

По данным таблицы 2.3, учитывая, что погрешности могут быть как положительными, так и отрицательными, строим графики зависимостей абсолютной ?V, относительной дV и приведённой гV погрешностей от результата измерений V (рисунок 2.3)

Рисунок 2.3 - Графики зависимости абсолютной ?V, относительной дV и приведённой гV погрешности от результата измерения V.



Задание № 3

При многократном измерении физической величины Х получен ряд измеренных значений. Используя критерий Романовского, необходимо проверить полученные результаты измерений на наличие грубой погрешности с вероятностью Р.

№ задачи	X	Результаты измерений	P
3.1	U, В	4,25; 4,21; 4,23; 4,21; 4,25; 4,23; 4,26; 4,22; 4,21; 4,23; 4,86; 4,21; 4,25; 4,24; 4,26; 4,22	0,90
3.3	Р, Па	1503; 1508; 1505; 1503; 1510; 1505; 1507; 1478; 1503; 1503; 1508; 1505; 1499; 1510; 1505; 1507; 1598	0,99
3.3	Q, м 3/с	744; 764; 766; 765; 763; 765; 763; 765; 764; 764; 766; 751; 763; 765; 763; 765	0,95

Решение задачи 3.1

Среднее арифметическое значение М_х рассчитывается по формуле:

(3.1)

Среднее квадратическое отклонение S_x данного ряда рассчитывается по формуле:

. (3.2)



Из ряда измеренных значений выбираем результаты, подозрительные на содержание грубой погрешности: наименьший х_min = 4,21 В и наибольший х_max = 4,86 В.

Рассчитываем критерий в для х по формуле:

. (3.3)

Рассчитываем критерий в_min для х_min = 4,21 В.

Рассчитываем критерий в_max для х_max = 4,86 В.

Из таблицы при заданном значении доверительной вероятности Р = 0,90 и числа измерений n = 16 находим теоретический уровень значимости вт для данного ряда:

Сравниваем значения в_min и в_max с найденным значением в_т:

Следовательно, результат х_min = 4,21 В не содержит грубую погрешность и его следует оставить в ряду измеренных значений.

Следовательно, результат х_max = 97,63 кг/м³ содержит грубую погрешность и его следует исключить из ряда измеренных значений.

После исключения промаха из ряда значений необходимо пересчитать значения М_х, S_x, в_min и в_max, так как изменилось х_max (х_max = 4,26 В) и количество измерений n (n = 15).

М_х = 4,232; S_x = 0,044;

в_min = 0,5 для х_min = 4,21 В;

в_max = 0,64 для х_max = 4,26 В;

в_т = 2,809 .

Следовательно, результат х_min = 4,21 В и х_max = 4,26 В не содержит грубую погрешность и их следует оставить в ряду измеренных значений.

Решение задачи 3.2

Среднее арифметическое значение М_х рассчитывается по формуле 3.1:

Среднее квадратическое отклонение S_x данного ряда рассчитывается по формуле 3.2:

Из ряда измеренных значений выбираем результаты, подозрительные на содержание грубой погрешности: наименьший х_min = 1478 и наибольший х_max = 1598 В.

Рассчитываем критерий в для х по формуле 3.3.

Рассчитываем критерий в_min для х_min = 1478.

Рассчитываем критерий в_max для х_max = 1598.

Из таблицы при заданном значении доверительной вероятности Р = 0,99 и числа измерений n = 17 находим теоретический уровень значимости вт для данного ряда:

Сравниваем значения в_min и в_max с найденным значением в_т:

Следовательно, результат х_min = 1478 не содержит грубую погрешность и его следует оставить в ряду измеренных значений.

Следовательно, результат х_max = 1598 содержит грубую погрешность и его следует исключить из ряда измеренных значений.

После исключения промаха из ряда значений необходимо пересчитать значения М_х, S_x, в_min и в_max, так как изменилось х_max (х_max = 1510) и количество измерений n (n = 16).

М_х = 1504; S_x = 9,2;

в_min = 2,826 для х_min = 1478;

в_max = 0,652 для х_max = 1510;

в_т = 2,965 .

Следовательно, результат х_min = 1478 и х_max = 1510 не содержит грубую погрешность и их следует оставить в ряду измеренных значений.



Решение задачи 3.3

Среднее арифметическое значение М_х рассчитывается по формуле 3.1:

Среднее квадратическое отклонение S_x данного ряда рассчитывается по формуле 3.2:

Из ряда измеренных значений выбираем результаты, подозрительные на содержание грубой погрешности: наименьший х_min = 747 и наибольший х_max = 785.

Рассчитываем критерий в для х по формуле 3.3.

Рассчитываем критерий в_min для х_min = 747.

Рассчитываем критерий в_max для х_max = 785.

Из таблицы при заданном значении доверительной вероятности Р = 0,95 и числа измерений n = 19 находим теоретический уровень значимости вт для данного ряда:

Сравниваем значения в_min и в_max с найденным значением в_т:

Следовательно, результат х_min = 747 не содержит грубую погрешность и его следует оставить в ряду измеренных значений.

Следовательно, результат х_max = 785 содержит грубую погрешность и его следует исключить из ряда измеренных значений.

После исключения промаха из ряда значений необходимо пересчитать значения М_х, S_x, в_min и в_max, так как изменилось х_max (х_max = 766) и количество измерений n (n = 18).

М_х = 763; S_x = 4,25;

в_min = 3,765 для х_min = 747;

в_max = 0,706 для х_max = 766;

в_т = 2,728 .

Следовательно, результат х_min = 747 содержит грубую погрешность и его следует исключить из ряда измеренных значений.

После исключения промаха из ряда значений необходимо пересчитать значения М_х, S_x, в_min и в_max, так как изменилось х_min (х_min = 763) и количество измерений n (n = 17).

М_х = 764; S_x = 1,06;

в_min = 0,95 для х_min = 763;

в_max = 1,89 для х_max = 766;

в_т = 2,701

Следовательно, результат х_min = 763 и х_max = 766 не содержит грубую погрешность и их следует оставить в ряду измеренных значений



Задание № 4

Задача 4.1

При многократном измерении силы F получены значения в Н: 403; 408; 410; 405; 406; 398; 496; 404. Укажите доверительные границы истинного значения силы с вероятностью Р = 0,95.

Решение

Среднее основного нормального распределения оценивают как среднее арифметическое x n результатов:

(4.1)

Рассчитаем среднее значение :

Среднее квадратическое отклонение S_x данного ряда рассчитывается по формуле 3.2:

Из ряда измеренных значений выбираем результаты, подозрительные на содержание грубой погрешности: наибольший х_max = 496.

Рассчитываем критерий в для х по формуле 3.3.

Рассчитываем критерий в_max для х_max = 496.

Из таблицы при заданном значении доверительной вероятности Р = 0,95 и числа измерений n = 8 находим теоретический уровень значимости вт для данного ряда:

Сравниваем значения в_max с найденным значением в_т:

Следовательно, результат х_max = 496 содержит грубую погрешность и его следует исключить из ряда измеренных значений.

Рассчитаем среднее значение :

Оценка среднего квадратического отклонения среднего арифметического рассчитывается по формуле:

(4.2)

По таблице значений квантиля распределения Стьюдента находим значение t_n,P при доверительной вероятности Р = 0,95 и n - 1 = 6.

Доверительный интервал рассчитывается с учётом заданной доверительной вероятности:

(4.3)

Доверительные границы истинного значения силы с вероятностью Р = 0,95 рассчитываются по формуле:

Окончательно результат измерения силы F:

Или F = 404,857 ± 11,92 Н, Р = 0,95.

Задача 4.2

При многократном измерении объёма тела получены следующие значения: 0,3; 0,35; 0,3; 0,29; 0,32; 0,28; 0,29; 0,3; 0,34 м ³. Укажите доверительные границы истинного значения объёма с вероятностью Р = 0,95.

Решение:

Рассчитаем среднее значение по формуле 4.1:

Оценка среднего квадратического отклонения среднего арифметического рассчитывается по формуле 4.2:

По таблице значений квантиля распределения Стьюдента находим значение t_n,P при доверительной вероятности Р = 0,95 и n - 1 = 8.

Доверительные границы истинного значения объема с вероятностью Р = 0,95 рассчитываются по формуле 4.3:

Окончательно результат измерения силы F:

Или V = 0,31 ± 0.02 м ³, Р = 0,95.

Задача 4.3

При многократном измерении силы электрического тока получены значения в мА: 22,4; 22,1; 22,3; 22,2; 21,5; 21,7; 22,3; 21,4; 22,1. Укажите доверительные границы истинного значения силы тока с вероятностью Р = 0,95.

Решение:

Рассчитаем среднее значение по формуле 4.1:

Оценка среднего квадратического отклонения среднего арифметического рассчитывается по формуле 4.2:

По таблице значений квантиля распределения Стьюдента находим значение t_n,P при доверительной вероятности Р = 0,95 и n - 1 = 8.

Доверительные границы истинного значения силы тока с вероятностью Р = 0,95 рассчитываются по формуле 4.3:

Окончательно результат измерения силы F:

Или V = 22 ± 0.26 мА, Р = 0,95.



Задание № 5

По известной расчётной зависимости косвенного метода измерения и по известным результатам и погрешностям прямых измерений, в соответствии с полученным вариантом, рассчитать предельные и среднеквадратические оценки абсолютной и относительной погрешностей косвенного измерения.

Задача 5.1

Расчётная зависимость косвенного метода измерений имеет вид

y = 2 (a + b - c) / [d³e].

Найти предельные и среднеквадратические оценки абсолютной и относительной погрешности косвенного измерения величины у. Значения погрешности и результаты прямых измерений равны: ?a = 3; a = 100; ?b = 1; b = 70; ?c = 2; c = 80; ?d = 1; d = 60; ?e = 2; e = 90.

Решение:

Введем обозначение A = a + b - c. Тогда расчетная зависимость примет вид

y = 2А / [d³e]

Прологарифмируем левую и правую части заданной зависимости

.

Найдём дифференциал правой и левой частей. предварительно



.

С учётом того, что , получим

.

Учитывая, что дифференциал от логарифма переменной величины находится по формуле

.

.

Произведём широко используемую в теории погрешностей замену дифференциалов малыми абсолютными погрешностями (при условии, что абсолютные погрешности достаточно малы), т.е. , , , , .

.

Учитывая, что знаки погрешностей заранее неизвестны, для получения гарантированной (предельной) оценки относительной погрешности косвенного измерения y в последней формуле все знаки "-" заменяем на знаки "+". Таким образом, получили предельную оценку относительной погрешности косвенного измерения

.

Здесь A = a + b - c, тогда .



Окончательно:

.

Предельную оценку абсолютной погрешности косвенного измерения находим по формуле , т.е.

.

Найдём среднеквадратические оценки относительной и абсолютной погрешностей косвенного измерения:

,

.

Найдем численные значения предельной и среднеквадратической оценки абсолютной и относительной погрешности косвенного измерения:

;

;

;

.



Задача 5.2

Расчётная зависимость косвенного метода измерений имеет вид

y = 1 / [a (b - c) d²e].

Найти предельные и среднеквадратические оценки абсолютной и относительной погрешности косвенного измерения величины у. Значения погрешности и результаты прямых измерений равны: ?a = 1; a = 100; ?b = 2; b = 80; ?c = 1; c = 60; ?d = 2; d = 40; ?e = 1; e = 20.

Решение:

Введем обозначение A = b - c. Тогда расчетная зависимость примет вид

y = 1 / [a A d²e]

Прологарифмируем левую и правую части заданной зависимости

.

Найдём дифференциал правой и левой частей

.

Учитывая, что дифференциал от логарифма переменной величины находится по формуле

.

.



Произведём широко используемую в теории погрешностей замену дифференциалов малыми абсолютными погрешностями (при условии, что абсолютные погрешности достаточно малы), т.е. , , , , .

.

Учитывая, что знаки погрешностей заранее неизвестны, для получения гарантированной (предельной) оценки относительной погрешности косвенного измерения y в последней формуле все знаки "-" заменяем на знаки "+". Таким образом, получили предельную оценку относительной погрешности косвенного измерения

.

Здесь A = b - c, тогда .

Окончательно:

.

Предельную оценку абсолютной погрешности косвенного измерения находим по формуле , т.е.

.

Найдём среднеквадратические оценки относительной и абсолютной погрешностей косвенного измерения:



,

.

Найдем численные значения предельной и среднеквадратической оценки абсолютной и относительной погрешности косвенного измерения:

;

;

;

.

Задача 5.3

измерение погрешность омметр

Расчётная зависимость косвенного метода измерений имеет вид:

y = 2a / [(3bc² (d - e)].

Найти предельные и среднеквадратические оценки абсолютной и относительной погрешности косвенного измерения величины у. Значения погрешности и результаты прямых измерений равны: ?a = 0,5; a = 40; ?b = 1; b = 30; ?c = 0,5; c = 50; ?d = 1,4; d = 70; ?e = 2; e = 60.

Решение:

Введем обозначение A = d - e. Тогда расчетная зависимость примет вид

y = 2a / [(3bc² A]



Прологарифмируем левую и правую части заданной зависимости

.

Найдём дифференциал правой и левой частей, предварительно

.

С учётом того, что получим

.

Учитывая, что дифференциал от логарифма переменной величины находится по формуле

.

.

Произведём широко используемую в теории погрешностей замену дифференциалов малыми абсолютными погрешностями (при условии, что абсолютные погрешности достаточно малы), т.е. , , , , .

.

Учитывая, что знаки погрешностей заранее неизвестны, для получения гарантированной (предельной) оценки относительной погрешности косвенного измерения y в последней формуле все знаки "-" заменяем на знаки "+". Таким образом, получили предельную оценку относительной погрешности косвенного измерения

.

Здесь A = d - e, тогда .

Окончательно:

.

Предельную оценку абсолютной погрешности косвенного измерения находим по формуле , т.е.

.

Найдём среднеквадратические оценки относительной и абсолютной погрешностей косвенного измерения:

,

.

Найдем численные значения предельной и среднеквадратической оценки абсолютной и относительной погрешности косвенного измерения:

;

;

;

Размещено на Allbest.ru

...