Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Расчет колебаний привода машины



Введение

С колебательными процессами человеку приходится сталкиваться на каждом шагу. Обычно научные дисциплины, реализуемые в учебном процессе, соответствуют основным разделам физики - таким, как механика, оптика, электричество, тепловые процессы и тому подобные. С колебаниями дело обстоит несколько иначе, так как различные виды колебаний имеют различную физическую природу и единую сущность - их математическое описание.

При таком широком взгляде на выбранную тему в рамках одного учебного предмета, естественно, не удается отразить весь спектр колебательных явлений в рассматриваемой области техники. Курс теории колебаний, таким образом, распадается на ряд ответвлений. Данная работа посвящена природе механических колебаний, иногда называемых вибрациями.



1. Расчет крутильно-продольных колебаний привода машины

1.1 Составление динамической модели машины

Рассмотрим расчетную схему привода машины с линейной функцией положения. На схеме показаны упруго-диссипативные элементы участков валопроводов, подлежащие обязательному учету при составлении дифференциальных уравнений крутильных колебаний привода. Для данной схемы составим ее динамическую модель.

Рис. 1. Динамическая модель машины



1.2 Выбор обобщенных координат

В качестве первой обобщенной координаты принимаем абсолютную координату в начале кинематической цепи - угол поворота ротора двигателя. Таким образом. При дальнейшем продвижении вдоль кинематической цепи получим следующие соотношения:

Где:

- текущий угол поворота диска i;

П'₁-П'₃ - передаточные функции;

U_21, U ₃₂, U₄₃ - передаточные отношения между валами.

Полученное число обобщенных координат соответствует числу степеней свободы (Н = 3).

Кинематические характеристики



Где:

z_i - число зубьев;

u_ij - передаточные отношения;

П'_1-3 - передаточные функции;

Инерционные характеристики

Где: _mi - масса i колеса, кг, R_i - радиус делительной окружности i колеса, определяемый из выражения, м



Где:

m₀ - модуль i зубчатого зацепления.

Упругие характеристики

Крутильную жесткость С_i участка i валопровода постоянного поперечного сечения можно определить из выражения, Н*м

Где:

G - модуль сдвига (в качестве усредненного значения примем

G = 8·10¹⁰ Н/м2);

J_pi = рd_i⁴/32 - полярный момент инерции поперечного сечения i вала, м⁴;

d_i - диаметр i вала, м;

?_i - длина участка i вала, м.



1.3 Определение инерционных коэффициентов

Для динамической модели, имеющей Н = 3, величина кинетической энергии в квадратичной форме может быть представлена выражением:

Приравнивая соответствующие коэффициенты при ,, , 2, 2, 2, получим:



1.4 Определение квазиупругих коэффициентов

Для динамической модели с Н = 3 потенциальная энергия в квадратичной форме может быть представлена выражением:

Приравнивая соответствующие коэффициенты при ,, , 2, 2, 2, получим

1.5 Определение обобщенных сил

Для расчетной схемы составим уравнение работ на возможных перемещениях:



В общем случае для динамической модели, имеющей Н = 3, сумма элементарных работ на возможных перемещениях д может быть представлена выражением:

где коэффициенты Qi - неконсервативные обобщенные силы.

Приравнивая соответствующие коэффициенты при дq1, дq2 и дq3, получим:

Момент технологического сопротивления можно представит в виде

суммы среднего значения M*c = Fc* и переменной составляющей:

М (t) = Mc** cost, после чего выражения для Qi перепишем в виде



1.6 Составление дифференциальных уравнений для динамической модели привода

Кинетическая и потенциальная энергии системы представлены в виде квадратичных форм

Проделав аналогичные действия для , и т. д., получим

систему дифференциальных уравнений вида:

После преобразования системы получим:



2. Свободные колебания

2.1 Определение собственных частот

привод динамический машина

Свободные колебания описываются системой однородных дифференциальных уравнений:

Решение этой системы уравнений имеет вид

где А_ij - амплитуда колебаний; k_i - собственная частота колебаний, с-¹;

k_it + б_i - фаза колебаний; б_i - начальная фаза (i = 1, 2).

Из выражения следует, что каждая из обобщенных координат участвует в сложном колебательном процессе с двумя собственными частотами k1 и k2, для определения которых надо решить частотное уравнение:

После раскрытия определителя уравнения получим выражение:



или то же самое в свернутой форме:

h₂k⁴ + h₁k² + h₀ = 0,

где составляющие биквадратного уравнения имеют вид:

h₂ = a₂₂a₃₃ - a₂₃² = 0.0026*0.0116-(0.0034)² = 0.1835*10^-4 (кгм²)²,

h₁ = -( c₂₂a₃₃ + c₃₃a₂₂) = -(12271.8463*0.0116+87283*20470.7748*0.0026)=

= -196.3407 (кгм²/с)²,

h₀ = c₂₂c₃₃ = 12271.8463*2047.7748 = 251214202 (Нм)².

Два действительных корня уравнения будут соответствовать значениям собственных частот исследуемого механизма. Решение этого уравнения найдем из:

k_i = .

Здесь значению i = 1 в подкоренном выражении числителя соответствует знак минус, а i = 2 - плюс.

k₁ = = 1218,9597 c^-1,

k₂ = = 3035,0778 c^-1

2.2 Определение парциальных частот

Парциальной частотой называют собственную частоту системы с одной степенью свободы, полученную из исходной системы путем закрепления всех обобщенных координат, кроме одной. В нашем случае имеем две парциальные частоты, с-¹:

при q₃ ? 0 a₂₂ + c₂₂ q₂ = 0, p₁ = = = 2162,0487;

при q2 ? 0 a₃₃ + c₃₃ q₃ =0, p₂ = = = 1327,2846.

2.3 Приближенная оценка низшей собственной частоты с помощью метода Данкерлея

Для частотного уравнения при его действительных корнях запишем

Обычно каждая из последующих частот численно существенно превосходит предыдущую, поэтому приближенное значение меньшего корня (частоты) определим из выражения, с-¹

k_D = .

При этом должно удовлетворяться условие вида

k_D ? k₁.

k_D == 1125,03 с-¹

Условие k_D ? k₁ выполняется.



2.4 Определение коэффициентов формы

Коэффициенты форм устанавливают соотношение между амплитудами

свободных колебаний при фиксированной собственной частоте, т. е.:

= ;

= .

привод динамический машина

Для каждого из коэффициентов формы мы располагаем двумя зависимостями.

Коэффициенты формы зависят только от параметров самой системы и не зависят от начальных условий. Они характеризуют распределение амплитуд свободных колебаний по колебательной цепи при определенной собственной частоте. Совокупность этих амплитуд образует форму колебаний. Положительное значение коэффициента формы в_i свидетельствует, что колебания на частоте k_i происходят синфазно, а отрицательное - противофазно (колебания по фазе смещены на р).



3. Вынужденные колебания и построение амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) привода

3.1 Определение постоянных составляющих обобщенных координат

Система дифференциальных уравнений, описывающая вынужденные колебания при гармонической вынуждающей силе, в общем случае имеет вид

где Q₂^* и Q₃^* - постоянные составляющие обобщенных сил Q₂ и Q₃; Q₂^** и Q₃^** - амплитудные значения переменных составляющих обобщенных сил Q₂ и Q₃.

Для установившегося режима работы машины, т. е. при t > ? имеем

q₂ = q₂^* +q₂^**; q₃ = q₃^* +q₃^**,

где q_j^* и q_j^** - соответственно постоянная и переменная составляющие решения (j = 2, 3).

Для определения постоянных составляющих обобщенных координат подставим:

q₂ = q₂^* и q₃ = q₃^*.

Тогда:



c₂₂ q₂^* + c₂₃ q₃^* = Q₂^*;

c₃₂ q₂^* + c₃₃ q₃^* = Q₃^*.

Из полученной системы уравнений находим численные значения q₂^* и q₃^*.В рассматриваемом примере с₂₃ = с₃₂ = 0, поэтому:

q₂^* = ; q₃^* = ,

где Q₂^* = -M_c^* U₂₁ U₃₂ U₄₃ = -40*0,15 = -6 , Q₃^* = -M_c^* U₄₃ = -40*0,5= -20.

q₂^* = = -0,488*10^-3 ,

q₃^* = = -0,977*10^-3.

Q₂^** = -M_c^** U₂₁ U₃₂ U₄₃ = -10*0,15 = -1,5,

Q₃^** = -M_c^** U₄₃ = -10*0,5 = -5.

3.2 Расчет и построение АЧХ

Для определения амплитуд воспользуемся формулой Крамера

A₂ = ; A₃ = ,

где определители вычисляются из выражений:



-5*10375,155(0 - 0,0034*

= -55653,3065(Нм)²;

=

= - =

=(12271,85 - 0,0026* -

- (0-0,0034*)² = 118938778.

Далее найдем значения A₂(щ) и A₃(щ) - амплитуды крутильных

деформаций валов. Эти функции, описывающие АЧХ системы представим в виде графиков (рисунок 2).

A₂ = = -0,258*10^-3, рад;

A₃ = = -0,467*10^-3, рад;

= -0,258*10^-3

= -0,467*10^-3

3.3 Определение максимального значения движущего момента

Воспользуемся первым дифференциальным уравнением, записанным при условии . В этом случае

a₁₂ + a₁₃ = M_дв - M_c^* U₂₁U₃₂ M_c cost

После подстановки получим расчетное выражение, Нм:

M_дв = M_c^* U₂₁U₃₂U₄₃ - [M_c^** U₂₁U₃₂U₄₃ - ²(a₁₂A₂ + a₁₃A₃)]cost =

= 40*0,15 +

+ [10*0,15-850²*(0.00262*(-0.00025 )+0,0034*(-0.00046)] cost =

= 6 + 3.1681cost.

M_дв^min = 6 - 3.1681= 9.1682, Нм;

M_дв^max = 6 + 3.1681= 2,8318, Нм;



4. Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики машины и ее виброизоляция

4.1 Расчет и построение АЧХ и ФЧХ машины

привод динамический машина

Предположим, что исследуемая машина находится под действием гармонической вынуждающей силы F(t) = F₀ cos щt и представлена моделью, состоящей из массы m, покоящейся на упругодиссипативномэлементе.

Стандартная форма дифференциального уравнения движения здесь имеет вид:

a + b+ cq = F₀ cos щt

или после деления всех членов на инерционный коэффициент a

+ 2n+k²q = f₀ cos щt.

Здесь 2n = b/а, где n = л / Т - коэффициент демпфирования; л - логарифмический декремент; Т - период свободных моногармонических затухающих колебаний; k² = с / a; k - собственная частота машины; f = F₀ /a.

Расчет коэффициента динамичности производится по формуле

,

где z = щ / k - коэффициент частотной расстройки; щ - частота вынуждающей силы; д = л / 2р - безразмерный коэффициент демпфирования.

д =0.07/2р = 0.0114*10^-2



Функция ж (z) описывает амплитудно-частотную характеристику в безразмерной форме, поскольку

ж = A/A_ст ,

где А - амплитуда вынужденных колебаний; А_ст = F₀ / с₀ - статическая амплитуда; F₀ - амплитуда вынуждающей силы, с₀ - жесткость упругой подвески машины.

При достаточном удалении от резонансной зоны (z ? 0,7 и z ? 1,4) линейная сила сопротивления обычно мало влияет на коэффициент динамичности, поэтому на этих частотных интервалах ж можно определить по более поэтому на этих частотных интервалах ж можно определить по более простой зависимости

.

Резонансное (при z = 1) значение коэффициента динамичности

ж_рез= 1/2.

В некотором частотном диапазоне выполняется условие, согласно которому при z ? получаем ж? 1. В этой зоне с учетом A = A_ст имеем А ? А_ст; таким образом при z > ? параметр ж > 0 и фактическая амплитуда вынужденных колебаний А > 0. По этой причине частотный диапазон z > на АЧХ называют зоной виброизоляции; диапазон z < - зоной усиления колебаний. Вынужденные колебания происходят с некоторым фазовым сдвигом г относительно вынуждающей силы. Зависимость г(z) называют фазо-частотной характеристикой (ФЧХ), имеющей вид:



= arctg (0 ? ? ? р),

где при tg г < 0 имеем

= р - arc.

Расчет ФЧХ производится для тех же значений z, для которых определялась АЧХ, после чего строится график г (z).

4.2 Виброизоляция машины на фундаменте

При работе любой машины из-за воздействия внешних сил и неуравновешенности инерционных нагрузок возникают периодические вынуждающие силы, передающиеся на несущие конструкции и фундамент машины.

Если машину жестко закрепить на фундаменте, то на него полностью

будут передаваться нагрузки, возникающие в машине. Однако при установке машины на упругой подвеске и соответствующем подборе параметров подвески переменная составляющая реакции на фундамент может быть существенно снижена. При этом осуществляется так называемая виброизоляция машины.

Рассмотрим простейшую динамическую модель машины на упругой подвеске.

Примем, что центр масс машины занимает неизменное положение в пространстве и на нее действует гармоническая вынуждающая сила

F(t) = F₀ cos щt, направленная вдоль вертикальной оси (силовое возмущение).

Вынужденные колебания при этом описываются дифференциальным уравнением, частное решение которого имеет вид:



q = Acos(t-),

где амплитуда колебаний А без учета сил сопротивления определяется как:

A =

Введем в рассмотрение коэффициент виброизоляции:

= R_max /F₀ ,

где R_max - максимальное значение реакции, возникающей за счет силы F(t) и воздействующей на фундамент (основание).

Поскольку R_max = с₀ *A, имеем:

= с₀ *A /F_{0 =} = ж.

Таким образом, без учета сил сопротивления коэффициент виброизоляции о равен коэффициенту динамичности ж.

Если потребовать ж ? ж_* , где ж_* < 1- допустимое значение коэффициента динамичности, совпадающего с коэффициентом виброизоляции, то следует, что данное требование может быть удовлетворено только в зарезонансном режиме при z > . В этом частотном диапазоне силы сопротивления при отсутствии специальных демпфирующих устройств сказываются слабо, поэтому в первом приближении здесь их можно не учитывать.

Физическая суть эффекта связана с тем обстоятельством, что в зарезонансном режиме сила инерции, возникающая при вынужденных колебаниях в вертикальной плоскости, находится в противофазе с вынуждающей силой в той же плоскости и поэтому частично ее уравновешивает.

Отобразим поставленное условие на координатной плоскости c₀ - m, где:

с₀ - коэффициент продольной жесткости подвески машины;

m - масса машины.

1. При проектировании машин в силу чисто конструктивных требований всегда имеет место условие m_? ? m ? m_??, ограничивающее реально приемлемый диапазон изменения массы машины (от минимальной ее массы - m_? до максимальной - m_??). На практике увеличение материалоемкости машины считается приемлемым не более чем до 1,5m_?. В этом случае обеспечивается наибольшая экономичность конструкции и наименьшая ее осадка на упругой подвеске.

Неравенствам (m_? ? m ? m_??) соответствует область, лежащая на плоскости c₀ - m между прямыми 1 и 1'.

2. Условие ж ? ж _* приведем к виду

с₀ ?

Решению этой задачи соответствует область параметров, лежащая ниже прямой 2. Для ее построения определим значения с₀ = 0 при m = 0 и

с₀ =

при m = m_?, после чего через соответствующие две точки проведем эту прямую, где m_? - минимально допустимая масса машины.



c₀ = = 277161.668 Н/м

3. Условие А ? А_?, где А_? - некоторая допустимая амплитуда, приведем к виду:

c₀ ? m² - .

Решению данной задачи отвечает область параметров, также лежащая ниже прямой 3. Для построения прямой 3 определим два значения параметра с₀ при m = m_? и m = m_??. Заметим, что прямая 3 пересекает ось ординат при m = 0 и с₀ = - F₀ / А_?. Отрицательное значение жесткости имеет смысл лишь для построения прямой 3. при m = m_?

c₀ =840*33,4² - 840/0,0045 = 750403,733 Н/м

4. Последним требованием является ограничение осадки машины Д под действием ее собственного веса, т. е.

mg / c₀ ? _{* .}

Отсюда имеем:

c₀ ? mg /_{* .}

Решению данной задачи отвечает область параметров, лежащая выше прямой 4. Эта прямая проходит через начало координат и точку, отвечающую соотношению:



c₀ = m_*g /_*

при m = m_?

c₀ =840*9,81/0,038 = 3216852,632 Н/м

Всем вышеперечисленным требованиям удовлетворяет заштрихованная область, в которой оптимальному решению соответствует некоторая точка N, отвечающая наименьшему значению массы машины. Это условие является определяющим при проектировании систем виброизоляции.

При этом нередко возникают трудности при реализации упругих элементов с малым коэффициентом жесткости, поэтому при отсутствии дополнительных ограничений следует стремиться к выбору более высоких значений с₀. Выбранной точке N соответствуют некоторый коэффициент жесткости с_N = 277161.668 Н/м и масса машины m_N = 840 кг

Проверка результатов расчета:

1. Определяем собственную частоту

k_N = = = 18,164, с^-1.

2. Определяем коэффициент динамичности

ж_N = = 0,42

где z_N = / k_N. = 33,4/18,164= 1.838. Проверка: ж_N = ж_{* .}

0,42 = 0,42.

3. Определяем амплитуду вынужденных колебаний N



А_N = A_ст ж, где А_ст =F₀ /с_N = 840/277161.668 = 303,072*10^-5 м;

тогда А_N = A_ст ж = 303,072*10^-5 *0,42= 127,29*10^-5 м.

Проверка: А_N ? А_?.

127,29 *10^-5 ? 450 *10^-5 мм.

4. Определяем осадку машины

Д_N = = = 0,0297 м.

Проверка: Д_N ? Д_?:

0,0297 ? 0,038 мм.



Приложение А

Рис.1



Приложение Б

Резонансные частоты системы без виброизоляции.

Рисунок 2 - Амплитудно-частотная характеристика



Приложение В

Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики системы.

Рисунок 3.1 - Амплитудно-частотная характеристика машины

Рисунок 3.2 - Фазо-частотная характеристика машины



Приложение Г

Виброизоляция машины при кинематическом возмущении.

Рисунок 4 - Виброизоляция машины при силовом возмущении

Размещено на Allbest.ru

...