Теоретичні основи стійкості систем водоочищення: методологічні аспекти

Размещено на http://www.allbest.ru/

ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ СТІЙКОСТІ СИСТЕМ ВОДООЧИЩЕННЯ: МЕТОДОЛОГІЧНІ АСПЕКТИ

Сівак В.М., к.т.н., доцент (Національний університет водного господарства та природокористування, м. Рівне)

Аналізуються методологічні аспекти теорії стійкості систем очищення води.

The analysis of methodological aspects of construction of theory of stability of the systems of water treatment is given.

Постановка задачі. Проблема підвищення ефективності функціонування систем водоочищення найтіснішим чином зв'язана із забезпеченням стійкості їх функціонування в умовах дії різного роду дестабілізуючих факторів (збурень). Відсутність у даний час конструктивних методів оцінки стійкості функціонування систем пояснюються труднощами в описувані їх поведінки та недостатньою формалізаціэю самого поняття стійкості. Тому питання стійкості систем водоочищення є, очевидно самим складним і основним питанням в теорії водоочищення. Оскільки питання є дуже складним то очевидно його точне рішення, або рішення з заданою точністю можна вважати утопією. В зв'язку з цим створення теорії стійкості систем водоочищення навіть у "грубому" наближенні, але яка дає відповідь на поставлене питання, необхідно вважати актуальним завданням.

При розробці даної теорії насамперед виникає питання: "У чому власне буде заключатися рішення даної проблеми і чи воно так є необхідним ?”. Тут зразу можна відмітити, що така теорія необхідна для вибору стратегії "нейтралізації" порушень стійкого функціонування систем водоочищення. Крім того, необхідність розробки даної теорії диктується вимогами щодо якості питної води та очищення стічних вод з метою збереження водних ресурсів із мінімальними еколого-економічними втратами.

Складність даної проблеми обумовлена різноманітністю можливих методологічних і методичних підходів для її розв`язку.

При розробці теорії стійкості систем водоочищення автор виходить із дедуктивно-індуктивних методологічних підходів, тобто розглядає цю проблему, спочатку спираючись на дедукцію, а потім поступово наближено переходить на індуктивний метод досліджень. При цьому враховується два взаємозв'язаних аспекти. Перший полягає у вивчені динаміки систем водоочищення при постійних значеннях параметрів процесів очищення природних і стічних вод. При цьому досліджується стійкість стаціонарних станів, а також проводиться дослідження стосовно втрати стійкості та народження автоколивань. Другий аспект, полягає у вивчення реакції системи водоочищення на змінювання управляючих технологічних параметрів у процесі функціонування системи.

Інтуїтивно стійкість пов'язують із властивістю системи (незалежно від її фізичної природи) виконувати покладені на неї функції, незважаючи на відхілення у її структурі чи організації. Якщо система після внесення в неї "малих змін" продовжує функціонувати із достатньою ефективністю, то вона вважається стійкою, а при інших умовах, - нестійкою. У стійких ситемах невеликі зміни в організації чи структурі здійснюють дуже незначний вплив на поведінку системи. Якщо система є стійкою, то немає необхідності використовувати корегуючі дії для подолання відхилень у системі, тобто немає потреби в автоматизації.

Визначення поняття стійкості в науковому сенсі залежить від наступних чинників: виду системи; принципів оцінювання відхилень у поведінці системи; змін результуючих показників під дією різноманітних збурень. Таке визначення стійкості повинно ґрунтуватися на попередньому визначенні поняття "границі збурень". У цьому випадку вважається, що система є стійкою відносно введення поняття "границі стійкості", якщо при досить малих змінах у системі є досить малі зміни у її функціонуванні. Це у достатній мірі узгоджується із класичним визначенням поняття стійкості запропоновано Ляпуновим О.М. [1].

Основні визначення стійкості за Ляпуновим О.М. коротко можна сформувати так.

Нехай дано диференціальне рівняння

очищення природний стічний вода

(1)

де - векор-функція із значеннями у банаховому просторі Х, яка визначена при , для .

Розв'язок рівняння (1), яке визначене для , називається стійким за Ляпуновим О.М., якщо для довільного і довільного існує таке , що для любого іншого розв'язку рівняння (1), визначеного в околі точки , із нерівності виходить, що визначено при всіх і при .

Аналіз стійкості розв'язку рівняння (1) можна звести до аналізу стійкості нульового розв'язку перетвореного рівняння (1).

Проведемо тепер паралель у наших міркувань стосовно загального поняття стійкості системи водоочищення. Нехай б відповідним чином описує стан системи, а в - деякий результат її функціонування. Уявимо собі, що існує відображення Р, при чому таке, що

. (2)

Система вважається стійкою, якщо незначні відхилення від в викликається малими відхиленнями від б.

Однак, у наведеному визначенні неформалізоване поняття "границь" точок б і в, що не дає можливості вважати про близькість або малість відхилень. Отже, виникає проблема у розв'язку питання на якісному і кількісному рівнях стосовно визначення поняття "границь". Виходячи із ідей теоретико-множинних уявлень стосовно теорії стійкості можна для обгрунтування поняття границь застосувати наступні визначення [2].

Визначення 1. Нехай А - деяка множина, В(А) - булеан множини А, RA - задане сімейство підмножин, .

Системою границь для довільної точки відносно RA називається множина

. (3)

Тепер можна сформулювати загальне поняття стійкості.

Визначення 2. Нехай Р:А>В - деяке задане відображення; RA і RВ - задане сімейство підмножин; , , , - булеани множин А і В відповідно; , .

Пара (а,б) стану системи та її реакція називається стійкою відносно RA і RВ, якщо виконується умова: для любого існує таке , що для любого існує , де , - системи границь точок і відносно RВ і RA відповідно.

Розглянемо тепер стійкість дещо з інших позицій, а відповідно заглибимося в аналіз поняття стійкості зв'язавши його деяким чином із будовою системи, тобто із її структурою. Для скорочення будемо називати це поняття "структурною стійкістю системи водоочищення".

Нехай система представлена у загальному виді [3]:

, (4)

де І - множина індексів об'єктів системи Аі.

У випадку розділення об'єктів системи на вхідні А і вихідні В,

і

Система визначається більш простим відношенням.

. (5)

Позначимо множину всіх можливих станів системи, яка задана на множинах А і В, через .

Припустимо, що стан системи водоочищення залежить від деякої множини факторів N такої, що вони визначають поточний стан системи, тобто існує відображення Р: N> S0.

Далі будемо вважати, що результативність функціонування системи, яка задана множиною М, визначається станом системи, інакше кажучи, існує відображення F: S0>M.

Наступним важливим моментом є формування системи "границь" для точок множин RN і RM. Тут найбільш важким є вибір відповідних сімейств підмножин RN і RM оскільки вони разом встановлюють границі стійкості систем водоочищення. Складність вибору даних сімейств у значній мірі поглиблюється відсутністю міри близькості в оцінці результативності функціонування системи водоочищення за цільовим призначенням. Припустимо, що вибір сімейств RN і RM зроблений, тоді будимо вважати, що система функціонує стійко із показниками чи результатами в умовах , якщо для любого елемента існує елемент такий, що для всіх буде .

При побудові теорії стійкості системи водоочищення виникає проблема зв'язку явища оптимальності і явища стійкості, на рівні технологічного процесу очищення природних і стічних вод. Ця проблема вирішується на даний час окремо на рівні оптимальності і окремо на рівні стійкості.

Відомо, що теорія має систематизуючу властивість і в цьому математика є величезною підмогою.

При цьому необхідно врахувати не тільки структуру фукціональних блоків або елементів систем водоочищення, але й сукупність і структуру внутрішніх і зовнішніх зв`язків, оскільки вони характеризують тонку структуру і індивідуальність фізичних систем і її елементів.

Стосовно систем різної фізичної природи (в т.ч. систем водоочищення) існуючі зв`язки у інваріантному вигляді представлені на рисунку.

Розглянемо, як можна розв'язати проблему стійкості такої складної системи, як біоокислювачі (аеротенки, біофільтри, метантенки і інші).

У найпростіших випадках стійкість біоокислювачів визначається виходячи із понять середовищноутворюючої ролі мікроорганізмів. Така роль проявляється у здатності мікроорганізмів (біоценозу) саморозвиватися і в залежності від конструктивних, технологічних, гідродинамічних і термодинамічних факторів змінювати свій склад, структуру та продуктивність у напрямку більшої відповідності (адаптації) до умов, що змінюються. Отже, система “мікробіоценоз-стічна вода” може розглядатися як самоутворююча система, де керуюча і організуюча функція належить живим мікроорганізмам.

Викладена концепція дає змогу залучити кількісний апарат незрівноважної термодінамики і синергетики для аналізу розвитку, стійкості та оптимальності функціонування системи “мікроорганізми-стічна вода”.

Сутність процесу біохімічного очищення стічних вод заключається у розкладі і синтезі органічних забруднюючих речовин. Модель цих процесів має такий вид:

, (6)

де С(t) і Х(t) - концентрація забруднюючих речовин і біомаси мікроорганізмів у воді, мг/л; L(t) - швидкість надходження забруднюючих речовин у біоокислювач; P(c,t) i U(x,t) - функція розкладу забруднюючих речовин і відмерлої біомаси відповідно.

Розглянемо лінійний варіант моделі (6)

, (7)

де ,, - константи.

Рисунок. Класифікація зв'язків у фізичній системі

Стаціонарні значення змінних С і Х отримаємо, прирівнюючи до нуля праві частини рівняння (7):

; . (8)

Характеристичне рівняння системи (7) має вигляд

. (9)

Корені характеристичного рівняння

(10)

є дійсними, оскільки дискримінант завжди є додатнім. Внаслідок того, що квадратний корень із дискримінанту менше суми корені характеристичного рівняння , завжди від'ємні. Отже, стаціонарний стан системи рівнянь (7) є стійким вузлом. Це значить, що незалежно від початкових значень С0, Х0 із плином певного часу їх значення асемптотично наближаються до стаціонарного стану; любі флуктуації (наприклад залпові надходження забруднюючих речовин) швидко затухають. Коливальний режими у таких системах відсутній.

Однак, використання лінійних аналогів системи (8) для моделювання процесів трансформації органічних забруднюючих речовин не відповідає дійсності. Насправді, біоокислювач необхідно віднести швидше не до зрівноваженої, а до дисипативної структури, виникнення якої є результатом самоорганізації більш складної нелінійної системи "мікроорганізми-біоокислювач". Дамо пояснення. Рівновага, як сукупність стійких стаціонарних станів відкритої системи, носить назву термодинамічної вітки [5]. Відхилення системи від термодинамічної вітки або перехід на іншу, нестійку термодинамічну вітку, обумовлює можливість появи нової структури, яка характеризується впорядкованою поведінки. Ця нова структура називається дисипативною, а її утворення самоорганізацією системи. Прийнято вважати, що дисипативна структура є результатом нестійкості і виникає із-за внутрішніх або зовнішніх флуктуацій. Зрівноважена структура утворюється і підтримується при незначному відхиленні від рівноваги (стаціонарного стану). На відміну від неї дисипативна структура утворюється і зберігається завдяки обміну масою і енергією із зовнішнім середовищем у зрівноважених умовах, тобто, не зрівноваженість слугує джерелом впорядкованості. Нелінійність процесів трансформації органічних забруднюючих речовин, наявність зворотного зв'язку і явища запізнення у " петлі" зворотного зв'язку обумовлюють можливість з`явлення дисипативних структур у системі "мікробіоценоз-біоокислювач".

Найпростішою ілюстрацією нестійкості за рахунок ефекту запізнення служить аналіз наступного рівняння, яке описує процес розкладу органічних забруднюючих речовин у біоокислювачах.

 (11)

де Т - запізнення,

При Т=0 рівняння приймає вид від`ємної експоненціальної моделі, яка часто використовується для формалізації розкладу. Випадок Т?0 є більш ймовірним, оскільки очевидною є періодичність у надходжені забруднюючих речовин із стічними водами у біоокислювачі і діяльності мікроорганізмів для індивідуальних забруднюючих речовин, запізнення може викликатися їх резистентністю до розкладу. Покладемо , тоді розв'язком рівняння (11) буде коливальна функція виду . Неважко показати, що при виникає нестійкість за типом коливань, які розходяться і уводять систему (11) від стаціонарного стану і тільки регулювання швидкості розкладу або періоду Т, згідно нерівності , здатні повернути системі стійкість.

Врахування ефекту запізнення у математичних моделях систем водоочищення представляє собою складну математичну задачу: ускладнюються питання існування стаціонарного розв'язку і його стійкості, а динаміка ефективності очищення природних і стічних вод може носити і квазістохастичний характер.

Висновки. Розробка теорії стійкості систем водоочищення може бути здійснена на основі методологічних принципів анологічних теорій, що використовуються в різноманітних галузях науки і техніки. При цьому при математичному моделюванні стійкості режимів функціонування систем водоочищення необхідно враховувати зв'язок явищ оптимальності і самоорганізації, а також вплив ефекту запізнення на стійкість. При синтезі систем водоочищення доцільно визначати області стійкості систем у просторі параметрів, що змінюються, при яких система є не тільки стійкою, але забезпечує необхідні запаси стійкості.

Література

1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения . - М.-Л.: Гостехиздат, 1950.-472 с.

2. Дмитриев А.К., Мальцев П.А. Основы теории построения и контроля сложных систем. - Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1988.-192 с.

3. Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем: математические основы. Пер. с англ. (Под ред. С.В. Емельянова.-М.: Мир, 1978.-321 с.

4. Кондратов В.Т. Типы связей в физических системах// Вимірювальна та обчислювальна техніка в технологічних процесах, №2, 1999.-С.27-34.

5. Вольтер Б.В., Сальников И.Е. Устойчивость режимов работы химических реакторов. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Химия, 1981.-200 с.

Размещено на Allbest.ru