Оптимальное по точности управление процессом химической нейтрализации

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оптимальное по точности управление процессом химической нейтрализации

А.Г. Мандра,

Аннотация

Рассматривается задача оптимального управления на максимум точности приближения к нейтральному состоянию раствора серной кислоты и известковой воды в процессе химической нейтрализации.

Ключевые слова: химическая нейтрализация, нелинейный распределенный объект управления, оптимальная система управления.

В химических цехах тепловых электростанций используются установки нейтрализации серной кислоты. Процесс нейтрализации осуществляется путем подачи известковой воды, прекращаемой по мере достижения допустимого диапазона значений водородного показателя (pH), который контролируется при помощи pH-метра.

Процесс взаимодействия серной кислоты и известковой воды в трубопроводе рециркуляции с учетом химической реакции между взаимодействующими средами в первом приближении описывается следующей нелинейной системой дифференциальных уравнений в частных производных [1]: кислота трубопровод химический

(1)

; (2)

с граничными и начальными условиями

; ; (3)

; , (4)

где , ? значения концентраций кислоты и щелочи соответственно в зависимости от пространственной координаты l в направлении движения взаимодействующих компонентов и времени t; ? скорость движения в реакторе; ? константа скорости химической реакции; , - начальные значения концентраций кислоты и щелочи соответственно; ? длина трубопровода.

Концентрация щелочи в трубопроводе после добавления известковой воды через регулятор извести определяется согласно соотношению

, (5)

где - длина бака нейтрализации; - значение концентрации щелочи на выходе из бака; - объем щелочи, поступающей из бака; - концентрация добавляемой щелочи через регулятор извести; - объем подаваемой щелочи через регулятор извести.

Диффузионная модель взаимодействия серной кислоты и известковой воды в баке нейтрализации с учетом химической реакции описывается следующей нелинейной системой дифференциальных уравнений в частных производных [1]:

(6)

; (7)

с граничными и начальными условиями

; ; (8)

; ; (9)

; , (10)

, (11)

(12)

где , ? значения концентраций кислоты и щелочи соответственно; ? скорость движения в реакторе; ? константа скорости химической реакции; ? скалярный коэффициент диффузии; ? концентрация продукта реакции в баке; , ? объем бака с "активной" фазой реакции и застойной зоной соответственно.

Исследуемый раствор из трубопровода рециркуляции попадает в pH-метр через пробоотборную трубку, модель движения кислоты и щелочи по которой можно описать следующей системой дифференциальных уравнений:

, , ; ; (13)

, ; (14)

, , (15)

где ? скорость движения жидкости по пробоотборной трубке; ? длина пробоотборной трубки; ? координата места установки пробоотборной трубки в трубопроводе рециркуляции.

Система уравнений (1)-(15) описывает процесс химической нейтрализации как объект управления концентрацией ионов водорода с управляющим воздействием по объему щелочи , подаваемой на вход рециркуляционного насоса.

В качестве базового показателя качества процесса нейтрализации можно рассматривать точность достижения нейтрального состояния раствора. На этом основании сформулируем следующую задачу оптимального управления.

Требуется найти управляющее воздействие , стесненное ограничением

, (16)

для объекта (1)-(15) с заданным начальным состоянием , , которое обеспечивает минимальное значение концентрации

(17)

за фиксированное время в условиях

. (18)

Для сложной нелинейной модели объекта (1)-(15) непосредственное определение оптимального управления с помощью известных аналитических условий оптимальности затруднительно. Используя предложенную в [2] методику, базирующуюся на конечно-разностной аппроксимации уравнений модели объекта по неявной схеме [3], можно показать, что оптимальное по быстродействию управление , переводящее объект (1)-(15) из начального состояния и в требуемое конечное

(19)

с заданной величиной при минимально возможной длительности процесса нейтрализации в условиях (16), представляет собой релейную функцию времени, попеременно принимающую только свои предельно допустимые значения, согласно (16) с двумя интервалами постоянства в соответствии с двумя управляемыми величинами и , что в итоге приводит к определению с точностью до длительностей , интервалов постоянства оптимальной программы:

(20)

При этом является строго убывающей функцией [4, 5] (рис. 1).

Отсюда следует [4, 5], что для каждого фиксированного значения оказывается достижимой величина , не меньшая, чем , где есть такое значение требуемой конечной концентрации в задаче быстродействия, для которой (см. рис. 1). Действительно, для получения меньшей концентрации требуется при убывающем характере зависимости время (см. рис. 1), и, следовательно,

. (21)

Рис. 1. Характер зависимости

Таким образом, процесс, оптимальный по критерию точности (17) при заданной величине , является одновременно оптимальным по быстродействию для значения , где есть корень уравнения . При этом искомый алгоритм управления совпадает с вида (20).

Следовательно, оптимальный по точности процесс нейтрализации состоит из чередующихся интервалов добавления щелочи с последующим выравниванием концентраций в трубопроводе рециркуляции и в баке-нейтрализаторе.

Численное интегрирование нелинейной системы уравнений (1)-(15) модели процесса при управлении (20) позволяет найти функциональные зависимости , от параметра для каждой заданной величины , описывающие в параметрической форме соответствующие кривые на плоскости , , точки пересечения которых с осью определяют искомые значения , являющиеся решением рассматриваемой задачи оптимального управления.

На рис. 2 представлены некоторые результаты численного решения этой задачи описанным способом при м/с, м/с, м/с, м 2/с, л/(мольс), м, м, м, м.

Рис. 2. Достижимые в классе управлений (20) значения концентраций , при

(1 - , 2 - , 3 - , 4 - )

Соответствующая зависимость от времени процесса , построенная по расчетным результатам, показана на рис. 3.

Рис. 3. Зависимость минимально достижимого значения концентрации от длительности процесса управления

Синтез замкнутой системы управления, автоматически отрабатывающей расчетную оптимальную программу (20), может быть выполнен для определенной области начальных состояний , путем построения релейной системы автоматического регулирования с обратными связями по текущим значениям , и линейной функцией переключения [6]

, (22)

где - коэффициенты обратных связей; - заданные конечные значения концентраций, определяемые при заданном решением задачи программного оптимального управления:

. (23)

На рис. 4 приведены результаты численного моделирования процесса химической нейтрализации в замкнутой системе оптимального управления при , .

Рис. 4. Отработка оптимального процесса химической нейтрализации в замкнутой системе управления при , (1 - ; 2 - )

Рис. 5. Структурная схема замкнутой системы оптимального управления

Из равенства в момент переключения управления (20) для известных по результатам расчета программного управления значений , находится один из коэффициентов обратной связи при выбираемом произвольным образом значении второго коэффициента. Например, при получим:

. (24)

Структурная схема замкнутой системы приведена на рис. 5.

Библиографический список

1. Мандра А.Г., Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование управляемых процессов диффузии в условиях химической реакции между взаимодействующими компонентами // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Сер. Технические науки. - Самара: СамГТУ, 2010. - №7(28). - C. 164-171.

2. Рапопорт Э.Я. Оптимальное по быстродействию управление нелинейными объектами технологической теплофизики // Элементы и системы оптимальной идентификации и управления технологическими процессами. - Тула: Тульский гос. ун-т, 1996. - С. 81-91.

3. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М: Наука, 1977. - 656 с.

4. Рапопорт Э.Я. Альтернансный метод в прикладных задачах оптимизации. - М.: Металлургия, 2000. - 336 с.

5. Рапопорт Э.Я. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами. - М.: Высшая школа, 2009. - 677 с.

Размещено на Allbest.ru