Расчет поля течения жидкости в аппарате с четырехлопастной мешалкой

Numerical simulation of the flow field in a tank with a four - bladed agitator is carried out by the control volume approach. Fluid dynamics of mixing is studied on the basis of computations. The results of the computations are presented as current lines of the secondary circulation.

Keywords: fluid mixing, agitator, control volume method, fluid circulation, streamline contours.

Основная часть

Аппараты с мешалками находят широкое применение в химической и в смежных с ней отраслях промышленности при проведении различных технологических процессов [1-4]. Перемешивание в жидких средах способствует интенсификации процессов теплообмена и массообмена, а также оказывает влияние на результаты химических реакций. Предварительный выбор аппаратов с мешалками основывается на выполнении расчетов, первым этапом которых является гидродинамический расчет. Результаты гидродинамического расчета служат необходимыми исходными данными на последующих этапах при определении мощности, потребляемой на перемешивание, а также скорости протекания процессов переноса смешиваемых веществ и теплоты в аппарате. В настоящей работе проведено численное моделирование ламинарного течения несжимаемой вязкой жидкости в аппарате с четырехлопастной мешалкой.

Исходными уравнениями, описывающими течение жидкости в аппарате, являются уравнения Навье - Стокса и неразрывности [5]

; (1)

. (2)

Введем неподвижную цилиндрическую систему координат r, ц, z, в которой компоненты вектора скорости обозначим соответственно через u, v, w.

Граничные условия для компонент скорости на твердых стенках сводятся к условию нулевого конвективного потока и условию прилипания жидкости. Тогда на дне и боковой стенке аппарата

гидродинамика жидкость мешалка четырехлопастный

(3)

а на поверхности вала и мешалки соответственно

(4)

где щ - угловая скорость вращения мешалки.

На свободной поверхности жидкости

. (5)

Первое из условий (5) отражает тот факт, что жидкость не может протекать через свободную поверхность и представляет собой равенство нулю проекции вектора скорости на нормаль к поверхности. Остальные два условия выражают собой отсутствие трения на поверхности жидкости.

На оси вращения потока под мешалкой примем

(6)

Введем безразмерные координаты и функции:

,

где p₀ - атмосферное давление, а в качестве характерной длины L и характерной скорости потока U выбраны соответственно диаметр мешалки d и окружная скорость конца лопасти мешалки.

В безразмерных переменных уравнению движения (1) в сочетании с уравнением неразрывности (2) соответствуют три уравнения в координатной форме относительно искомых функций u^*, r^*v^*, w^*, которые могут быть записаны в виде обобщенного уравнения переноса

(7)

где Г=1/(рRe) - коэффициент диффузии; Re=сnd²/м - центробежное число Рейнольдса; n - число оборотов мешалки в единицу времени; S - член типа источника, который соответствует искомой функции Ц и определяется соотношениями

;

;

.

Численное моделирование течения проведем методом контрольного объема в сочетании с алгоритмом SIMPLE [6]. Основная идея метода контрольного объема заключается в том, что расчетную область разбивают на конечное число контрольных объемов (ячеек) таким образом, что каждая узловая точка содержится в отдельной ячейке. Дифференциальное уравнение интегрируют по каждому контрольному объему. Поэтому одним из основных свойств этого метода является то, что он обеспечивает интегральное сохранение физических законов для всей расчетной области.

Размещение всех узловых функций в одних и тех же точках приводит к дополнительным вычислительным трудностям, связанным с рассогласованием полей скорости и давления. Поэтому выберем так называемую шахматную сетку, в которой точки, где определяются радиальная, тангенциальная и осевая составляющие скорости, смещены на полшага в соответствующих направлениях относительно основных точек, в которых определяется давление [7]. Это позволяет точно записать дискретный аналог уравнения неразрывности, а также точно рассчитать градиенты давления в уравнениях движения.

Алгоритм SIMPLE представляет собой итерационную процедуру для расчета полей скорости и давления. При этом итерационная процедура рассматривается как метод установления для решения нестационарных уравнений с целью получения стационарного решения. Проинтегрируем обобщенное уравнение (7) по контрольному объему и временному интервалу Дt^*. Для аппроксимации конвективных и диффузионных членов в уравнении (7) используем неявную схему [8]. Тогда узловая функция Ц в пределах всего временного шага Дt^* будет характеризоваться новым значением Ц¹, соответствующим следующему моменту времени t^*+Дt^*. Для аппроксимации конвективных потоков через грани e, w, n, s, t, b контрольных объемов используем схему против потока [6]. В результате получим дискретный разностный аналог, который связывает значения искомой функции Ц в узловой точке P с ее значениями в центрах E, W, N, S, T, B смежных ячеек в форме

, (8)

где ДV - объем ячейки; S_P - узловое значение источникового члена; Ц⁰ - значение Ц в момент времени t^*.

Алгоритм SIMPLE содержит циклическую последовательность действий типа «предположение - коррекция». Поэтому на каждой итерации компоненты скорости определялись в два этапа. Вначале на основе предполагаемого давления p^** из уравнений (8) вычислялись предварительные значения u^**, v^**, w^**, не удовлетворяющие уравнению неразрывности. С учетом приближенного решения для скорости находилась поправка к давлению дp из уравнения

, (9)

представляющего собой дискретный аналог уравнения неразрывности.

Затем с учетом поправок дp рассчитывались скорректированные значения компонент скорости на гранях e, w, n, s, t, b ячеек, удовлетворяющие уравнению неразрывности по поправочным формулам

,

,

и давления

,

где б - параметр релаксации. В расчетах принималось б = 0,6.

Дискретные уравнения (8) и (9) решались при граничных условиях (3) - (6) методом прогонки [9]. Расчеты проводились на равномерной сетке при H₀=D; d/D=0,5; d_s /D=0,05; b/d=0,2; H/H₀=0,3, где D - диаметр аппарата; H₀ - высота жидкости в аппарате; H- высота расположения мешалки над дном аппарата; b - высота лопасти мешалки; d_s - диаметр вала. Результаты расчетов представлены в виде линий тока радиально-осевой и радиально-тангенциальной циркуляций.

Мешалка создает поток жидкости, который вызывает циркуляцию жидкости во всем объеме аппарата. Окружная циркуляция, называемая также первичной, связана с вращением массы жидкости вокруг оси вращения мешалки. Существенную роль в перемешивании играет вторичная циркуляция. Линии тока в меридиональной плоскости аппарата характеризуют вторичное циркуляционное течение, которое накладывается на основное тангенциальное течение. Перемешиванию способствуют два потока радиально-осевой циркуляции соответственно сверху и снизу от мешалки (рис. 1).

Рис. 1 Радиально-осевая циркуляция в аппарате при Re=50

На рис. 2 - 3 представлены картины линий тока в горизонтальной плоскости в области мешалки при z=H+b/2. При небольших значениях числа Рейнольдса перемешиванию способствуют вторичные токи, которые возникают по контуру лопастей мешалки (рис. 2).

Рис. 2 Радиально-тангенциальная циркуляция в аппарате при Re=10

С увеличением числа Рейнольдса характер течения меняется. Появление вторичных токов наблюдается также между лопастями. Вероятно, это обусловлено ростом радиальной составляющей скорости в связи с возрастающим действием центробежных сил, а также увеличением интенсивности касательных напряжений (рис. 3).

Рис. 3 Радиально-тангенциальная циркуляция в аппарате при Re=100

Формирование и взаимодействие потоков радиально-осевой и радиально-тангенциальной циркуляций способствует интенсификации перемешивания по объему аппарата.

Библиографический список

1. Васильцов Э.А., Ушаков В.Г. Аппараты для перемешивания жидких сред. Л.: Машиностроение, 1979. 272 с.

2. Манусов Е.Б., Буянов Е.А. Расчет реакторов объемного типа. М.: Машиностроение, 1978. 112 с.

3. Стренк Ф. Перемешивание и аппараты с мешалками. Л.: Химия, 1975. 384 с.

4. Лащинский А.А., Толчинский А.Р. Основы конструирования и расчета химической аппаратуры. Л.: Машиностроение, 1970. 752 с.

5. Лойцянский Л Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978. 736 с.

6. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984. 152 с.

7. Harlow F.H., Welch J.E. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface // Physics of Fluids. 1965. Vol. 8. No. 12. P. 2182-2189.

8. Пейре Р., Тейлор Т.Д. Вычислительные методы в задачах механики жидкости. Л.: Гидрометеоиздат, 1986. 352 с.

9. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989. 608 с.

Размещено на Allbest.ru