Алгоритмическое обеспечение систем диагностики зарождающихся дефектов механических узлов с использованием анализа статистических моментов сплайн-аппроксимации вибросигнала

Размещено на http://www.allbest.ru/

Алгоритмическое обеспечение систем диагностики зарождающихся дефектов механических узлов с использованием анализа статистических моментов сплайн-аппроксимации вибросигнала

П.К. Ланге

Аннотация

Рассмотрены алгоритмы диагностики зарождающихся дефектов механических узлов и систем на основе определения эксцесса аппроксимации вибросигнала. В качестве аппроксимирующей функции выбрана параболическая сплайн-аппроксимация.

Высокой чувствительностью к быстрым изменениям параметров технического состояния диагностируемой системы обладают вероятностные характеристики виброакустического сигнала, которые могут быть использованы в качестве диагностических признаков.

Одним из методов обнаружения неисправностей на ранней стадии их развития является сравнение текущего мгновенного значения диагностического признака un+1 с текущим средним значением того же признака unср, усредненным на интервале наблюдения, который состоит из m отсчетов и предшествует появлению (n+1)-го дискретного отсчета признака. Такое сравнение может быть выполнено по следующей формуле:

,

где n - дисперсия признака, измеренная на интервале наблюдения от (n-m) до n-го отсчетов;

- некоторое пороговое значение;

- текущее среднее значение диагностического признака.

Например, такой дефект, как боковой зазор в зубчатом зацеплении редуктора, можно диагностировать по дисперсии виброакустического сигнала. Чем больше зазор в зацеплении, тем выше значение дисперсии как в широкой полосе частот, так и в октавных полосах.

Однако наибольшую чувствительность к быстрым изменениям параметров технического состояния диагностируемого объекта из общеизвестных вероятностных характеристик имеет эксцесс Ex одномерной плотности вероятности p(x) мгновенных значений вибросигнала в окрестности собственной частоты узла механизма [1]

(1)

где 4 - четвертый центральный момент вероятностного распределения;

Dx - дисперсия случайной величины.

Выбросы в сигнале при появлении ударного возмущения искажают форму закона распределения p(x), что сказывается на величине эксцесса. С помощью подбора частотной полосы анализа в окрестности собственной частоты можно добиться нормализации закона распределения и равенства Ex = 0 для нормального безаварийного состояния механизма.

Превышение Ex некоторого порогового значения Ex0 будет говорить о появлении дефекта в механической системе.

Особенно эффективно применение данного метода диагностирования при выявлении дефектов заедания и задира трущихся поверхностей (зубчатое зацепление, подшипники скольжения и пр.) на ранней стадии их развития, что обычно вызывается отсутствием смазки либо перегрузкой этих узлов. Экспериментальные исследования показали, что при зарождении заедания зубчатых колес в виброакустическом сигнале наблюдаются нерегулярные выбросы с амплитудами, превышающими среднеквадратичное значение вибрации. Однако такие изменения практически не влияют на спектр вибросигнала [1], что говорит о неприменимости в данной ситуации спектральных методов диагностирования.

В этом случае значимым диагностическим признаком можно считать эксцесс Ex распределения p(x) мгновенных значений виброакустического сигнала x(t) в некоторой полосе частот, лежащей в окрестности собственной частоты диагностируемого узла.

На рис. 1 изображены кривые плотности распределения виброакустического сигнала в 1/3-октавной полосе частот около 3-й гармоники основной частоты возбуждения для нормального состояния зубчатого зацепления (график a) и для дефектного (график b). При отсутствии дефекта эксцесс измерительного сигнала примерно равен нулю Ex 0. С возникновением неисправности значение эксцесса увеличивается до 3…4 (рис. 2). дефект механический ударный

В связи с этим рассмотрим алгоритмы моментного анализа аналитических сигналов.

На практике центральный момент k-того порядка для стационарного эргодического случайного сигнала обычно определяется по его временной реализации [2]

(2)

где x0(t) - центрированный сигнал; Т - период его обработки.

Как известно, центрированный сигнал определяется при вычитании из сигнала значения его математического ожидания.

Если считать, что вибросигналы имеют ограниченный спектр частот, то алгоритмы определения старших моментов могут быть оценены на примере определения старшего момента гармонического сигнала

.

С учетом того, что измерения сигнала с равной вероятностью могут быть проведены в произвольный момент времени, не синхронизированный с частотой сигнала, закон распределения измеренного значения сигнала определяется выражением [3]

(3)

Поскольку нормированный сигнал x изменяется в диапазоне (-1, +1), его дисперсия составляет величину

(4)

Соответственно, третий центральный момент определяется выражением

, (5)

а четвертый центральный момент - выражением

(6)

Эти же моменты в силу стационарности и эргодичности сигнала могут быть определены с использованием (2), и их численные значения в этом случае совпадают со значениями (4)-(6).

Соответствующие выражения для определения старших моментов могут быть реализованы различными устройствами, обрабатывающими вибросигнал.

Рассмотрим задачу определения этих моментов по дискретным значениям вибросигнала.

Внутри интервалов дискретизации сигнал может быть восстановлен с определенной погрешностью аппроксимирующей функцией, и тогда для определения моментов могут быть использованы ее коэффициенты.

Рассмотрим возможность использования для этой цели аппроксимирующую параболическую сплайн-функцию, которая на n-ном интервале дискретизации вибросигнала x(t) описывается выражением

(7)

Коэффициенты могут быть определены соответствующими выражениям для одного из цифровых сплайн-фильтров. Например, для пятиточечного параболического сплайн-фильтра эти выражения имеют вид [4]

;

; (8)

,

где - дискретные значения вибросигнала, заданные на моментах времени t[n].

Параболическая сплайн-функция, как известно, не имеет разрывов на границах участков дискретизации по 0-й и 1-й производным, поэтому использование аппроксимирующих сплайнов практически не вызывает появления высших гармоник в спектре сигнала, восстановленного с помощью таких аппроксимаций.

Математическое ожидание такой сплайн-функции на одном интервале дискретизации запишется как

(9)

Соответственно второй начальный момент сплайн-функции на одном интервале дискретизации определится выражением

(10)

а дисперсия (второй центральный момент) - выражением [3]

(11)

Если параболическая сплайн-аппроксимация гармонического сигнала на его периоде определена на m дискретных участках, то при единичном интервале дискретизации математическое ожидание

(12)

а второй начальный момент

Дисперсия аппроксимированного сигнала определяется по аналогии с (11) выражением [3]

(13)

В частности, при 8 участках дискретизации на период сигнала (m=8) эта дисперсия равна величине .

Это значение достаточно точно соответствует теоретическому значению, определенному из (4).

Аналогичным образом определяются третий и четвертый начальные моменты:

 (14)

Где

(15)

Третий и четвертый центральные моменты определяются выражениями [3]

(16)

Для восьми участков дискретизации на период сигнала значения этих моментов составляют величины

Сравнивая эти значения с теоретическими (5)-(6), можно убедиться, что погрешность вычисления этих моментов не превышает 7,5%.

Представляет интерес зависимость значения четвертого момента m4--от числа участков дискретизации на период сигнала (рис. 3).

Из рассмотрения этого рисунка видно, что даже при шести интервалах дискретизации за период сигнала (т.е. при сравнительно редкой дискретизации) погрешность определения четвертого центрального момента имеет величину порядка 30%, что для статистических измерений является неплохим показателем.

Р и с. 3. Зависимость значения четвертого момента от числа m участков дискретизации на период сигнала: м4 - момент, вычисленный для аппроксимированного сигнала; м4t - теоретическое значение момента

Библиографический список

Виброакустическая диагностика зарождающихся дефектов // Под ред. М.Д. Генкина. М.: Машиностроение, 1984. 117 с.

Мирский Г.Я. Аппаратурное определение характеристик случайных процессов. М.: Энергия, 1972. 456 с.

Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Физматгиз, 1969. 576 с.

Ланге П.К. Сплайн-аппроксимация дискретных значений сигналов с применением методов цифровой фильтрации // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физико-математические науки. 2003. Вып.19. С. 134-138.

Размещено на Allbest.ru