Исследование релейной следящей системы

Российский Университет Дружбы Народов

Курсовая работа

по курсу: «Теория автоматического управления »

«Исследование релейной следящей системы»

Выполнил:

Группа: ИУБ Преподаватель:

Москва. 2010 г

Оглавление

Задание 3

Исходное данные 4

Структурная схема САР 4

Нелинейный элемент 5

Аппроксимация линейной части 6

Графический метод 7

Аналитический метод 8

Построение фазового портрета системы 10

Определение амплитуды и частоты автоколебаний 13

Инженерный метод 13

Построение переходных процессов методом припасовывания 15

Исследование САР методом гармонической линеаризации 16

Определение коэффициентов гармонической линеаризации 16

Исследование автоколебаний методом гармонической линеаризации 19

Графический способ 19

Аналитический метод 20

Частотный метод с помощью АФЧХ 21

Частотный метод с помощью ФГУ 22

Выводы 24

Тема курсовой работы

Исследование следящей системы, содержащей датчик угла рассогласования, релейный усилитель напряжений, электромеханический усилитель мощности, исполнительный двигатель и редуктор.

Функциональная схема системы:

Задание

1. Составить структурную схему САР.

2. Произвести исследование САР методом фазовой плоскости:

· аппроксимировать линейную часть звеном с передаточной функцией графически и аналитически;

ke-st

s (Ts + 1)

· построить фазовый портрет системы и определить амплитуду и частоту автоколебаний; построить фазовые траектории свободного движения при заданных начальных

· условиях: Х1 = 3b , Х2 = 0;

· построить соответствующие переходные процессы;

· произвести расчет автоколебаний графически и аналитически.

3. Произвести исследование САР методом гармонической линеаризации:

· найти коэффициенты гармонической линеаризации нелинейного звена и составить выражение его эквивалентного комплексного коэффициента передачи;

· найти частотным методом (с помощью АФЧХ и с помощью ЛАХ) амплитуду и частоту предельного цикла;

· произвести анализ устойчивости предельных циклов и найти параметры автоколебаний;

4. Произвести анализ вынужденного движения системы.

5. Произвести сравнительный анализ результатов исследования САР указанными методами.

Исходное данные

Вариант 1

Ucp , B	Uном.дв., B	Tэ,c	Tдв ,c	Кд , в мм	Kэ	Кдв , рад с Ч В	К р , мм рад
0.005	110	0.05	0.20	0.03	24	11	0.03

Значение коэффициента возврата: m=-1

Начальные условия: : Х1 = 3b , Х2 = 0;

Структурная схема САР

Составим структурную схему системы автоматического регулирования по имеющейся функциональной.

Выражения для передаточных функций отдельных элементов САР.

1) Датчик:

Wд = Kд

2) Реле:

Реле представляет собой нелинейный элемент, и его характеристика задается графически.

3) ЭМУ:

TэU&2 (t ) + U2 (t ) = KэU1 (t )

4) Электродвигатель:

Wэ (s) =

Кэ

Tэs + 1

Tдвj& (t ) + j& (t ) = KдвU2 (t )

5) Редуктор

Wp = К р

Wэ (s) =

Кдв

s (Tдвs + 1)

Нелинейный элемент

Параметры нелинейного элемента можно рассчитать по схеме.

b_p = U_cp = 0,005 В;

т*b_р=- b_р = 0,005 В;

Напряжение на входе двигателя - это напряжение на выходе реле, усиленное с помощью ЭМУ.

Таким образом, можно записать: U_де = с_р * К_э. Отсюда найдем с_р.

Входное напряжение двигателя U_дв =110 В. Коэффициент усиления ЭМУ К_э = 24 .

Напряжение на выходе реле c p

= Uдв

Кэ

Нелинейный элемент приводится к обобщенному виду с учетом коэффициентов усиления в структурной схеме. Для этого пересчитываем его коэффициенты.

b = bp

Kд

= 0,167

c = c p KэKдв K р = 36,3

Исследуемая система третьего порядка. Для построения фазового портрета необходимо понизить порядок на единицу.

Аппроксимация линейной части

Как и говорилось выше, после всех структурных преобразований мы получили систему третьего порядка. Понизить порядок можно, аппроксимировав колебательное звено последовательным соединением апериодического звена и звена «чистое запаздывание». Таким образом, вместо системы, описываемой передаточной функцией вида:

Wл =

'

1

.

s (Tдв s + 1)(Tэs + 1)

e-t s

будем исследовать систему Wл = s (T s + 1) .

Графический метод:

Построим переходную функцию для колебательного звена исходной системы, т.е. реакцию от действия единичной ступеньки на звено

Wл.колеб

Изображение переходной функции:

= 1

(Tдвs + 1)(Tэs + 1)

H (s) =

1 1

s .колеб s (Tдв s + 1)(Tэs + 1) л

Следует отметить, что, хотя выражение для H(s) совпало с выражением для передаточной функции линейной части исходной системы, появление «S» в знаменателе обусловлено принципиально иными причинами. В данном случае это не интегратор, а следствие воздействия на звено единичной ступеньки.

Представим выражение для H(s) в виде суммы простых дробей с неизвестными множителями А, В, С, крторые затем найдем методом неопределенных коэффициентов:

H (s) = A + B + C

s (Tдв s + 1) (Tэs + 1) .

С помощью системы MathCad получаем разложение переходной функции на слагаемые.

A := 1

Tдв

B := -

C := -

Tэ

- + 1

Tдв

Tэ Tдв

- + 1

Tэ

При таких значениях переменных переходная функция:

1

H( s ) :=

Tдв Tэ

- -

s ? Tэ ? ? Tдв ?

? ? ? ?

? дв

+ 1 ? ( Tдв s + 1 )

?

? + 1 ? ( Tэ s + 1 )

? ?

Аппроксимируем полученную переходную функцию переходной функцией

h1 (t )

апериодического звена первого порядка с запаздыванием на время t . Для этого строим график переходной функции h{t) и проводим касательную к кривой в точке перегиба. Эта прямая будет в то же время являться касательной к h1 (t ) в точке (t ,0) .

Аналитический метод:

Найдем параметры аппроксимирующей функции аналитическим путем. Для этого вычислим вторую производную h(t), которая, как известно, в точке перегиба равна нулю, а затем, зная координаты точки перегиба, найдем коэффициенты в уравнении касательной. В свою очередь, зная уравнение касательной, можно определить точные параметры апериодического звена, тогда как графическим методом это можно сделать лишь приближенно.

Соответствующая изображению переходная функция имеет вид.

? t ?

? - ?

? t ?

? - ?

h( t ) :=

?

?

Tдв e

Tдв ?

?

?

? Tэ e

Tэ ?

+ 1

Tэ - Tдв

Определим производную переходной функции:

? t ?

? - ?

? t ?

? - ?

?

?

-e

dh( t ) :=

Tдв ? ?

+ e

Tэ ?

Tэ - Tдв

Теперь определим вторую производную переходной функции:

? t ?

? - ?

? t ?

? - ?

d2h( t ) :=

? Tдв ?

e

-

Tдв

? Tэ ?

e

Tэ

Tэ - Tдв

Далее приравняем полученное выражение к нулю и, получим решение уравнения

h& (t ) = 0 . Таким решением будет координата точки перегиба tп .

? Tэ ?

? ?

ln?

?

? Tдв Tэ дв ?

tп := -

-Tэ + Tдв

Определим коэффициенты в уравнении касательной у = kt + b :

Тогда параметры аппроксимирующей переходной функции:

1 1 b

h(tп ) - tп Ч h& (tп )

Tэкв = k

= h& (t )

= 0,316

t = - = -

k

h&(tп )

= 0,025.

Таким образом, получаем точные параметры передаточной функции апериодического звена с чистым запаздыванием:

Построение фазового портрета системы

После аппроксимации будем исследовать следующую систему: аппроксимированная линейная часть с приведённым нелинейным элементом.

Линейная часть:

' 1 .

л s (Tэкв s + 1)

Наличие звена чистое запаздывание учтем поворотом линий переключения. Нелинейная часть математически описывается:

?

?c, при

?e > b,

?0 < e < b,e& < 0

y1 (t ) = ? ?

?-c, при

??

?e < -b,

?-b < e < 0,e& > 0

Введем фазовые координаты:

x1 (t ) = y (t ), x2 (t ) = y& (t ).

Тогда уравнения движения системы имеют вид:

??x&1 (t ) = x2 (t )

?

??Tэкв x&2 (t ) + x2 = y1 (t )

Исключаем время из этой системы дифференциальных уравнений. В итоге получаем следующее уравнение фазовой траектории.

dx2 =

dx1

y1 (t ) - x2

Tэкв x2

Значение

y1 (t )

может быть одним из значений выхода реле.

1. y1 (t ) =с.

dx2 =

c - x2

. Тогда

dx = Tэкв (x2 - c + c) dx

. Проинтегрировав указанное

dx1

Tэкв x2

1 c - x2 2

выражение, получим.

x1 (x2 ) = -Tэкв x2 - Tэквc ln x2 - c

+ Const '.

2. y1 (t ) =-с.

dx2

= -c - x2 . Тогда

dx = Tэкв (x2 - c + c) dx

. Проинтегрировав указанное

dx1

Tэкв x2

1 -c + x2 2

выражение, получим.

x1 (x2 ) = -Tэкв x2 + Tэквc ln x2 + c

+ Const ''' .

Используя уравнение обратной связи и условие нулевого управления, приводим значение выхода реле в зависимости от фазовых координат.

? ?x1 < -b,

?c, при

?

-b < x

< 0, x > 0

y (t ) = ? ?

?-c, при

1 2

?x1 > b,

? ?0 < x < b, x > 0

? ? 1 2

Получаем на фазовой плоскости линии переключения.

Теперь учтем запаздывание. Когда фазовая траектория дойдет до линии переключения, из-за запаздывания система переключится позже и успеет пройти за это

время путь

x2t . Поэтому запаздывание учитывается наклоном линий переключения на

угол a = arctan (t ).

На основе, полученной информации строим фазовый портрет системы.

Поскольку участки фазовых траекторий при

y1 (t ) = c и

y1 (t ) = -c

имеют

одинаковую форму (но разное расположение относительно оси), а кроме того, соседние участки траекторий в каждой из этих областей обличаются лишь значением произвольной постоянной интегрирования, целесообразно при построении воспользоваться шаблоном.

Определение амплитуды и частоты автоколебаний

Из фазового портрета системы видно, что одни траектории постепенно расходится, другие сходятся, при этом они стремятся к одной и той же замкнутой траектории, которая представляет собой предельный цикл, соответствующий автоколебаниям. По фазовому портрету можно приближенно определить этот предельный цикл и найти (приближенно) амплитуду автоколебаний.

Инженерный метод

С помощь фазового портрета определить частоту автоколебаний не удается. Время при построении фазовых траекторий было исключено из уравнений и явно в них не присутствует. Инженерный метод позволяет построить зависимость фазовой координаты от времени с помощью несложных математических преобразований.

Из определения скорости следует:

x = dx1

Тогда

dt =

1 dx

2 dt

x2 (x1) ¹

Проинтегрируем полученное выражение от точки А до точки В.

tB B 1

? dt = ? x (x ) dx1 = tA - tB

tA A 2 1

Проведем указанную процедуру для цикла колебаний. С помощью процедуры численного интегрирования или используя методику расчета площади под кривой по

«клеточкам», построим временное изменение фазовой координаты. Аналогично находим вторую половину цикла автоколебаний.

Полученная ниже картина дает представление об амплитуде и частоте автоколебаний. Амплитуда = 1.7. Частота = 8,97.

Построение переходных процессов методом припасовывания

Найдем зависимости

x1 (t ) и

x2 (t )

для разных участков фазовой траектории.

Система начинает движение из области фазовой плоскости, где

y1 = -c .

Участок

y1 = -c .

Уравнение движения системы в общем виде:

??x&1 (t ) = x2 (t )

?

??Tэкв x&2 (t ) + x2 = y1 (t )

Запишем уравнение движения для случая

??x&1 (t ) = x2 (t )

?

??Tэкв x&2 (t ) + x2 = -c

Решая эту систему для начальных условий

- t

y1 = -c :

x1 = 3b, x2 = 0 , получаем:

x1 (t ) = -cTэквe

Tэкв

? ct + 3b + cTэкв .

Переключение будет при

x1 (t ) = t x2 (t ).

Аналогичная ситуация - для следующих этапов.

Метод припасовывания базируется на инерционности системы. Скорость и перемещение не может измениться скачком. Это позволяет считать конечные условия одного этапа движения - начальными условиями следующего этапа. Движение системы внутри соответствующего режима носит линейный характер.

Исследование САР методом гармонической линеаризации

Метод гармонической линеаризации позволяет исследовать нелинейные системы любого порядка. Идея метода состоит в расчет для конкретного вида нелинейности такого входного сигнал, при котором нелинейный элемент работал бы как линейный.

Возникновение автоколебаний зависит от структуры САР. Для определения параметров автоколебаний необходимо рассчитать коэффициенты гармонической линеаризации, а затем определить устойчивость предельного цикла колебаний. При обычной линеаризации нелинейную характеристику заменяют прямой линией. Отличие гармонической линеаризации в том, что

1. нелинейный элемент заменяется прямой, чья крутизна зависит от амплитуды входного сигнала.

2. вместо нелинейного блока получаем линейное звено с изменяющимся коэффициентом усиления.

3. существует возможность определения свойств нелинейных САП методами теории автоматического управления в ЛСС.

Для применения методики исследования нелинейных САУ необходимо провести структурные преобразования в системе и представить её в виде.

Определение коэффициентов гармонической линеаризации

Передаточная функция линейной части имеет вид:

Wл =

1

.

s (Tдв s + 1)(Tэs + 1)

Исследуемая система после преобразования будет следующей.

Рассмотрим прохождение гармонического сигнала через нелинейность в указанной системе.

y₁

Линеаризуем релейную характеристику. Выражение, линеаризованной функции:

y (t ) = q (a,w )e (t ) + q1 (a,w )e& (t ).

w

Коэффициенты гармонической линеаризации определяются как коэффициенты разложения в ряд Фурье, гармонического сигнала, проходящего через нелинейный элемент.

q (a,w ) = 1

p a

1

2p

? y1 (j )sin (j )dj . 0

2p

q1 (a,w ) = p a ?

0

y1 (j )cos(j )dj .

Конкретные значения функций q (a,w ), q1 (a,w ) для коэффициента возврата m=0.

? ?

? + 1?

2c ? ?

2c b

q (a,w ) =

? , q1 (a,w ) = - .

p a p a2

Видно, что коэффициенты гармонической линеаризации не зависят от частоты входного сигнала, а зависят лишь от амплитуды.

Заметим, что коэффициенты гармонической линеаризации имеют ограниченную область определения. Для значений меньших уровня включения приведённой характеристики реле, коэффициенты не существуют. Это объясняется тем, что в указанном случае вырождается периодический сигнал на выходе реле, возникающий при подаче гармоники на вход с определённой частотой и амплитудой. При этой ситуации нарушается смысл гармонической линеаризации.

Исследование автоколебаний методом гармонической линеаризации

Передаточная функция линейной части рассматриваемой системы:

Wл =

1

s (Tдв s + 1)(Tэs + 1)

Нелинейная система после линеаризации:

y (t ) = q (a,w )e (t ) + q1 (a,w )e& (t )

w

Передаточная функция: W y1 =

Wл .

1 + WлWнэ

Здесь Wнэ ( jw ) = q (a,w ) +

jq1 (a,w )

- комплексный коэффициент передачи.

Графический способ:

Используя критерий Михайлова строим набор кривых в которых амплитуда и круговая частота являются параметрами. В точке (0,0) выражение 1 + WлWнэ приравненное нулю совпадет с кривой Михайлова и даст параметры цикла автоколебаний.

Преобразуем W y1 =

Wл

1 + WлWнэ

M

. Wл = N

, тогда

D1 ( jw,w, a) = q (a,w ) +

jq1 (a,w ) +

jw (Tдв jw + 1)(Tэ jw + 1)

Строим указанный полином на комплексной плосоксти.

x

Экстраполируя значения, получаем амплитуду и частоту цикла колебаний. Используя критерий Михайлова заключаем, что полученный цикл автоколебаний будет устойчив, т.к. при увеличении амплитуды система становится устойчивой, при уменьшении - неустойчивой.

Аналитический метод

Представим

D1 ( jw,w, a) в виде слагаемых:

D1 ( jw,w, a) = U (w, a) + jV (w, a)

Для равенства нулю всей этой комплексной функции надо приравнять нулю мнимую и действительную части.

??U (w, a) = q (w, a) - w2 (Tэ + Tдв )

?

??V (w, a) = q1 (w, a) + w - w3

(TэTдв )

Решение системы уравнений с помощью ЭВМ дает искомые значения. Для проверки устойчивости вычисляем проверочные условия:

¶U (w, a)

¶w wп

¶V (w, a)

¶w wп

= -2wп (Tэ + Tдв )

= 1 - 3wп2 (TэTдв )

Аналогично находим производные по амплитуде в точке устойчивого цикла.

? ?

?1 + aп ? ? ?

¶U (w, a)

2c ? aп2 - b2 ? 4c ? a + ?

=

¶a aп p

? ? -

aп2 p

? ?

aп3

¶V (w, a)

= 4c b

¶a aп

p aп3

Для устойчивости надо выполнить условие:

¶V (w, a)

¶w wп

¶U (w, a)

¶a aп

> ¶V (w, a)

¶a wп

¶U (w, a)

¶w wп

Подставляя значения в проверочное условие, убеждаемся в правильности предположения об устойчивости предельного цикла.

Частотный метод с помощью АФЧХ

В точке предельного цикла амплитуда и частота колебаний постоянны, и нелинейный элемент описывается дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

W ( jw, a) = Wнэ ( jw, a)Wл ( jw ).

По критерию Найквиста - Михайлова для линейных систем можно определить устойчивость замкнутой системы по разомкнутой.

M (a,w ) =

1

q (a,w ) +

jq1 (a,w )

Раскрывая значения разомкнутой системы, получим:

Wл ( jw ) = -

1

q (a,w ) +

.

jq1 (a,w )

Полученная точка пересечения, соответствуют предельному циклу со следующими параметрами.

Aп = 2.25

wп = 9.11

Для проверки устойчивости определяем, что при увеличении амплитуды кривая АФЧХ не охватывает точку и наоборот. Это означает, что процесс расходится в первом случае и расходится в другом. Это означает наличие автоколебаний в системе с рассчитанной частой и амплитудой.

Частотный метод с помощью ФГУ

Строим ЛАХ линейной части системы и проводим прямые, соответствующие различным значениям M(j,a), при этом M(j,a) не зависит от частоты. Должны выполняться два условия: баланс амплитуд и баланс фаз.

Берем точки, в которых выполняется баланс амплитуд, и переносим их на поле. Получаем кривую, для которой в любой точке выполняется баланс амплитуд. Эта кривая называется фазовая граница устойчивости (ФГУ). Там, где она пересекает фазу, там выполняется и баланс амплитуд, и баланс фаз, что соответствует предельному циклу. Находим частоту и амплитуду: жирной кривой показана ЛАХ.

Далее проверяем найденный цикл на устойчивость. Для этого анализируем повеление системы при подаче на вход гармоники с различной амплитудой и частой автоколебаний. При изменении амплитуды график переходного процесса стремится к значению автоколебаний.

Фазовая траектория для исходной (неупрощенной) системы.

Выводы

Методы исследования нелинейных систем направлены на изучение поведения системы. Определить параметры режима автоколебаний можно, если применить инженерный метод расчета, частотные методы, метод ФГУ. При гармонической линеаризации требуется выполнение гипотезы фильтра. Это снижает класс систем, которые можно исследовать этим методом. Для исследования системы методом фазовой плоскости надо сначала аппроксимировать систему. Снизить количество состояний до двух, чтобы построить фазовую плоскость.

...