Сопротивление материалов

.(3.5)

Далее предположим, что брус имеет составное сечение (рис. 3.3) с общей площадью F. Обозначим через F_k (k = 1, 2, 3,..., n) площадь kой области, принадлежащей к составному сечению бруса. Тогда выражение (3.1) можно преобразовать в следующем виде:

,(3.6)

где статические моменты kтой области относительно осей x и y. Следовательно, статический момент составного сечения равен сумме статических моментов составляющих областей.

Моменты инерции сечения



Рис. 3.3

В дополнение к статическим моментам в системе координат x0y (рис. 3.1)рассмотрим три интегральных выражения:

(3.7)

Первые два интегральных выражения называются осевыми моментами инерции относительно осей x и y, а третье центробежным моментом инерции сечения относительно осей x, y.

Для сечений, состоящих из n-числа областей (рис. 3.3), формулы (3.7) по аналогии с (3.6) будут иметь вид:

Рассмотрим, как изменяются моменты инерции сечения при параллельном переносе координатных осей x и y (см. рис. 3.2). Преобразуя формулы (3.7) с учетом выражения (3.2), получим :

(3.8)

Если предположить, что оси x₁ и y₁ (см. рис. 3.2) являются центральными, тогда и выражения (3.8) упрощаются и принимают вид:

(3.9)

Рис. 3.4

Определим осевые моменты инерции прямоугольника относительно осей x и y , проходящих через его центр тяжести (рис. 3.4). В качестве элементарной площадки dF возьмем полоску шириной b и высотой dy (рис. 3.4). Тогда будем иметь:

Аналогичным образом можно установить, что .

Для систем, рассматриваемых в полярной системе координат (рис. 3.5, а), вводится также полярный момент инерции:

.

где радиусвектор точки тела в заданной полярной системе координат.

Рис. 3.5

Вычислим полярный момент инерции круга радиуса R. На рис. 3.5, a показана элементарная площадка, очерченная двумя радиусами и двумя концентрическими поверхностями, площадью

dF = d d .

Интегрирование по площади заменим двойным интегрированием:

.

Hайдем зависимость между полярным и осевыми моментами инерции для круга. Из геометрии видно (рис. 3.5, б), что

² = x² + y²,

следовательно,

.

Так как оси x и y для круга равнозначны, то I_x = I_y = .

Полярный момент инерции кольца может быть найден как разность моментов инерции двух кругов: наружного (радиусом R) и внутреннего (радиусом r):

.

Главные оси и главные моменты инерции

Рассмотрим, как изменяются моменты инерции плоского сечения при повороте осей координат из положения x и y к положению u и v. Из рис. 3.5, б легко установить, что

u = y sin + x cos ; v = y cos x sin .(3.10)

Из выражений:



с учетом (3.10) после несложных преобразований получим:

(3.11)

Складывая первые два уравнения, получим:

I_u + I_v = I_x + I_y = I ,(3.12)

где ; I полярный момент инерции сечения, величина которого, как видно, не зависит от угла поворота координатных осей.

Дифференцируя в (3.11) выражение I_u по и приравнивая его нулю, находим значение = ₀ , при котором функция I_u принимает экстремальное значение:

.(3.13)

С учетом (3.12) можно утверждать, что при = ₀ один из осевых моментов I_u или I_v будет наибольшим, а другой наименьшим. Одновременно при = ₀ I_uv обращается в нуль, что легко установить из третьей формулы (3.11).

Декартовы оси координат, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, называются главными осями инерции. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными и определяются из (3.11) с учетом (3.13) и имеют вид:

.(3.14)

В заключение введем понятие радиуса инерции сечения относительно координатных осей x и y i_x и i_y , соответственно, которые определяются по формулам:

.(3.15)

8. Кручение

Кручение бруса с круглым поперечным сечением

Здесь под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только крутящий момент. Прочие силовые факторы, т.е. N_z , Q_x , Q_y , M_x , M_y равны нулю.

Для крутящего момента, независимо от формы поперечного сечения бруса, принято следующее правило знаков. Если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит момент M_z направленным по часовой стрелке, то момент считается положительным. При противоположном направлении моменту приписывается отрицательный знак.

При расчете бруса на кручение (вала) требуется решить две основные задачи. Вопервых, необходимо определить напряжения, возникающие в брусе, и, вовторых, надо найти угловые перемещения сечений бруса в зависимости от величин внешних моментов.

Наиболее просто можно получить решение для вала с круглым поперечным сечением (рис. 4.1 а). Механизм деформирования бруса с круглым поперечным сечением можно представить в виде. Предполагая, что каждое поперечное сечение бруса в результате действия внешних моментов поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое. Данное предположение, заложенное в основу теории кручения, носит название гипотезы плоских сечений.

Рис. 4.1

Для построения эпюры крутящих моментов M_z применим традиционный метод сечений на расстоянии z от начала координат рассечем брус на две части и правую отбросим (рис. 4.1, б). Для оставшейся части бруса, изображенной на рис. 4.1, б, составляя уравнение равенства нулю суммы крутящих моментов M_z = 0, получим:

M_z = M.(4.1)

Поскольку сечение было выбрано произвольно, то можно сделать вывод, что уравнение (4.1) верно для любого сечения вала крутящий момент M_z в данном случае постоянен по всей длине бруса.

Далее двумя поперечными сечениями, как это показано на рис. 4.1, а, из состава бруса выделим элемент длиной dz, а из него свою очередь двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами и + d выделим элементарное кольцо, показанное на рис. 4.1, в. В результате кручения правое торцевое сечение кольца повернется на угол d. При этом образующая цилиндра АВ повернется на угол и займет положение АВ . Дуга BВ равна с одной стороны, d, а с другой стороны dz. Следовательно,

.(4.2)

Если разрезать образовавшуюся фигуру по образующей и развернуть (рис. 4.1, г), то можно видеть, что угол представляет собой не что иное, как угол сдвига данной цилиндрической поверхности под действием касательных напряжений , вызванных действием крутящего момента. Обозначая

,(4.3)

где относительный угол закручивания. Этот угол представляет собой угол взаимного поворота двух сечений, отнесенный к расстоянию между ними. Величина аналогична относительному удлинению при простом растяжении или сжатии стержня.

Из совместного рассмотрения (4.2) и (4.3) и после некоторых преобразований, получим:

= .(4.4)

Подставляя выражение (4.4) в выражение закона Гука для сдвига (2.23), в данном случае выражение касательных напряжений принимает следующий вид:

 = G ,(4.5)

где касательные напряжения в поперечном сечении бруса. Парные им напряжения возникают в продольных плоскостях в осевых сечениях. Величину крутящего момента M_z можно определить через с помощью следующих рассуждений. Момент относительно оси z от действия касательных напряжений на элементарной площадке dF равен (рис. 4.2):

dM = dF.

Рис. 4.2

Проинтегрировав это выражение по площади поперечного сечения вала, получим:

.(4.6)

Из совместного рассмотрения (4.5) и (4.6) получим:

.(4.7)

Откуда

.(4.8)

Величина G I называется жесткостью бруса при кручении.

Из (4.8), с учетом (4.3), интегрируя полученное выражение по параметру z, получим:

.(4.9)

Если крутящий момент M_z и жесткость G I по длине бруса постоянны, то из (4.9) получим:

,(4.10)

где (0) угол закручивания сечения в начале системы отсчета.

Для определения выражения напряжений, возвращаясь к формуле (4.5) и исключая из него , согласно (4.8), получим:

()=.(4.11)

Величина называется полярным моментом сопротивления поперечного сечения бруса в форме сплошного круга радиусом R. Определяется эта величина из следующих соображений:

(4.12)

Если же в брусе имеется внутренняя центральная полость радиусом r = , то для кольца

,(4.13)

где с = .

Кручение бруса с некруглым поперечным сечением

Определение напряжений в брусе с некруглым поперечным сечением представляет собой сложную задачу, которая не может быть решена методами сопротивления материалов. Причина заключается в том, что для некруглого поперечного сечения упрощающая гипотеза плоских сечений, оказывается неприемлимой. В данном случае поперечные сечения существенно искривляются, в результате чего заметно меняется картина распределения напряжений.

Таким образом, при определении углов сдвига, в данном случае, необходимо учитывать не только взаимный поворот сечений, но и деформации сечений в своей плоскости, связанная с искривлением сечений.

Задача резко усложняется тем, что для некруглого сечения, напряжения должны определяться как функции уже не одного независимого переменного , а двух x и y.

Отметим некоторые особенности законов распределения напряжений в поперечных сечениях некруглой формы. Если поперечное сечение имеет внешние углы, то в них касательные напряжения должны обращаться в нуль. Если наружная поверхность бруса при кручении свободна, то касательные напряжения в поперечном сечении, направленные по нормали к контуру также будут равны нулю.

На рис. 4.3 показана, полученная методом теории упругости, эпюра касательных напряжений для бруса прямоугольного сечения. В углах, как видно, напряжения равны нулю, а наибольшие их значения возникают по серединам больших сторон:

в точке А

_{A max} =, (4.14)

где W_К = b³ аналог полярного момента сопротивления поперечного сечения прямоугольного бруса;

в точке В

_{B max} ,(4.15)

здесь необходимо учесть, что b малая сторона прямоугольника.

Значения угла закручивания определяется по формуле:

,(4.16)

где I_K = b⁴ аналог полярного момента инерции поперечного сечения бруса.

Рис. 4.3

Коэффициенты , и зависят от отношения сторон m = h/b, и их значения приведены в табл. 3.

Таблица 3

m	1	1,5	2,0	3,0	6,0	10
	0,141	0,294	0,457	0,790	1,789	3,123
	0,208	0,346	0,493	0,801	1,789	3,123
	1,000	0,859	0,795	0,753	0,743	0,742

Геометрические характеристики наиболее представительных форм сечений обобщены в табл. 4.

Кручение тонкостенного бруса

В машиностроении, авиастроении и вообще в технике широко применяются тонкостенные стержни с замкнутыми (рис. 4.7, а) и открытыми профилями (рис. 4.7, б) поперечных сечений. Поэтому расчеты на кручение таких тонкостенных стержней имеет большое практическое значение.



Рис. 4.7

Характерной геометрической особенностью тонкостенных стержней является то, что их толщина существенно (на порядок и более) меньше других геометрических размеров (длиной срединной линии контура поперечного сечения и длины стержня).

Характер распределения напряжений по толщине тонкостенного стержня открытого профиля близок к равномерному (рис. 4.7, б), а замкнутого профиля меняется по линейному закону, как это показано на рис. 4.7, а. Откуда следует, что напряжения в поперечных сечениях открытого профиля практически не изменятся, если профиль сечения распрямить. Иначе говоря, напряжения в криволинейном открытом профиле будут примерно такими же, как и в прямом.

Обращаясь к формулам (4.14), (4.16) и при предельном переходе , получим:

; ,(4.17)

где толщина профиля; s длина контура профиля; l длина стержня.

В случае, если тонкостенный незамкнутый профиль является составным (рис. 4.8) и не может быть развернут в вытянутый прямоугольник, воспользовавшись почленной аналогией, легко определить выражения напряжений на iом произвольном участке:

,(4.18)

где M_K(i) доля крутящего момента, соответствующего iму участку:

,

где угловое перемещение, единое для всех участков:

.(4.19)

Изложенный подход к определению напряжений является приближенным, так как он не позволяет определить напряжения в зонах сопряжения элементов поперечного сечения профиля, которые являются зонами концентрации напряжений.

Рис. 4.8Рис. 4.9

Далее рассмотрим брус, имеющий поперечное сечение в форме замкнутого тонкостенного профиля (рис. 4.9). Выделим на контуре элементарный участок длиной ds и выразим крутящий момент через напряжения , выполняя операцию контурного интегрирования получим

.(4.20)

Из условия равновесия сил по оси z выделенного элемента длиной dz (4.9) легко установить, что по контуру сечения произведение является постоянной величиной. С учетом данного обстоятельства, выражение (4.20) примет вид:

,(4.21)

где представляет собой удвоенной площадь, ограниченную срединной линией контура сечения.

Из (4.21) наибольшее напряжение определяется по формуле:

.(4.22)

Для вывода выражения для угла закручивания воспользуемся энергетическими соображениями. Энергия, накопленная в элементарном объеме с размерами , dz, ds за счет деформаций чистого сдвига, равна:

.

С учетом (4.21), последнее выражение можно представить в виде:

.

С другой стороны, работу внешних сил можно представить в виде:

.(4.24)

Приравнивая оба выражения из (4.22) и (4.23), получим:

,(4.25)

Если является постоянной по контуру, будем иметь:

,(4.26)

где s длина замкнутого контура.

9. Изгиб

Внутренние усилия в поперечных сечениях бруса

Под изгибом понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты M_x или M_y . Если изгибающий момент в сечении является единственным силовым фактором, то изгиб называется чистым (рис. 5.1, а).

Рис. 5.1

В тех случаях, когда в поперечных сечениях бруса наряду с изгибающим моментом возникают и поперечные силы изгиб называется поперечным. Брус, работающий в основном на изгиб, часто называют балкой. В дальнейшем будем рассматривать такие случаи изгиба балки, при которых, вопервых, поперечное сечение балки имеет хотя бы одну ось симметрии, и, вовторых, вся нагрузка лежит в плоскости, совпадающей с осью симметрии балки. Таким образом, одна из главных осей инерции лежит в плоскости изгиба, а другая перпендикулярна ей.

Для того, чтобы правильно ориентироваться в вопросах, связанных с расчетом бруса на изгиб, необходимо прежде всего научиться определять законы изменения внутренних силовых факторов, т.е. научиться строить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.

Предварительно рассмотрим три основных типа опорных связей балки с основанием:

1. Шарнирноподвижная опора (рис. 5.1, б левая опора балки), ограничивающая лишь вертикальное перемещение опорного узла.

2. Шарнирнонеподвижная опора (рис. 5.1, б правая опора балки), ограничивающая вертикальное и горизонтальное перемещения опоры.

3. Жесткая заделка (рис. 5.1, а опора балки на левом краю), не допускающая поворота и перемещений по вертикали и горизонтали сечения балки, примыкающего к опоре.

По запрещенным направлениям во всех этих типах опор возникают соответствующие реакции.

Рассмотрим характерный пример (рис. 5.2, а) и установим необходимые правила. Решение задачи, как правило, начинается с определения полной системы внешних сил. Для этого отбросим опоры и заменим их соответствующими реакциями (рис. 5.2, б), выполняющими ту же роль, что и опорные закрепления.

Заданная система статически определима, следовательно, из условий равновесия системы, т.е. равенства нулю суммы моментов всех сил относительно шарнирных опор (в шарнирах нет ограничений поворота сечений балки, поэтому изгибающих моментов не возникает) m (A) = 0 и m (В) = 0, определяем вертикальные реакции в опорах:

.(5.1)

Для определения Н_А имеем: откуда Н_А =0. Для проверки правильности вычислений воспользуемся условием равенства нулю суммы всех вертикальных сил y = 0, откуда получим

, 0 = 0.

Рис. 5.2

Для определения внутренних силовых факторов изгибающего момента М (z) и поперечной силы Q (z) как функций от продольной координаты z, воспользуемся методом сечений. Для получения этих зависимостей балку разбивают на участки, границами которых являются следующие точки: начало и конец балки; точки приложения сосредоточенных усилий; начало и конец действия распределенных усилий; сечения, в которых скачкообразно изменяется жесткость балки; в точках, где происходит изменение ориентации элементов, если имеем дело с стержневой системой со сложной структурой.

Рис. 5.3

Заданная система состоит из двух участков первого (0 z a) и второго (a z a + b). Следовательно, задавая последовательно сечения, принадлежащие к первому и второму участкам, и рассматривая равновесие отсеченных частей системы при действии на них всех внешних сил и внутренних усилий, определим выражения для внутренних силовых факторов. При этом, знак изгибающего момента устанавливается по знаку кривизны изогнутого бруса (рис. 5.3, а) и зависит от выбранного направления осей системы координат y0z. Следовательно, в системе координат y0z принятой на рис. 5.3, а положительный момент вызывает растяжение нижних волокон балки.

Для поперечных сил, независимо от направления координатных осей, устанавливается следующее правило знаков: если результирующая поперечная сила Q_y вращает рассматриваемую часть балки по ходу часовой стрелки, то она считается положительной, в обратном случае отрицательной (рис. 5.3, б).

Из условия равновесия M_x = 0; y = 0 отсеченной части системы, расположенной левее от сечения z₁ (первый участок), (см. рис. 5.2, в), получим:

M_x (z₁) = R_a z₁; Q_y = R_a .(5.2)

Для определения M_x и Q_y на втором участке рассмотрим равновесие отсеченной части балки, расположенной правее от сечения z₂ (см. рис. 5.2, б), т.е. M_x = 0; y = 0 откуда и определим:

M_x (z₂) = R_b (a + b z₂); Q_y = R_b .(5.3)

Эпюры M_x и Q_y изображены на рис. 5.4. Заметим, что эпюры изгибающих моментов M_x , как и поперечных сил Q_y строятся на оси бруса, однако в отличие от эпюры поперечных сил знак момента не указывается, а ординаты изгибающего момента откладываются co стороны растянутых волокон.

Рис. 5.4

Основные дифференциальные соотношениятеории изгиба

Пусть брус нагружен произвольным образом распределенной нагрузкой q = f (z) (рис. 5.5, а).



Рис. 5.5

Выделим из бруса элемент длиной dz и приложим по его краям положительные внутренние усилия (рис. 5.5, б). В пределах малого отрезка dz нагрузку q можно считать распределенной равномерно. Приравняем нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось y и сумму моментов всех сил относительно поперечной оси x, проходящей через точку С (рис. 5.5, б), получим:

Q_y + q dz Q_y d Q_y = 0 ;

M_x + Q_y dz + q dzdz/2 M_x d M_x = 0.

Производя упрощения и отбрасывая величины высшего порядка малости, получим:

(5.4)

откуда

.(5.5)

Из (5.4) следует, что при q = const функция Q_y будет линейной, а функция M_x квадратичной. Если на какихто участках бруса распределенная нагрузка отсутствует, т.е. q = 0, то получим, что Q_y = const, а M_x является линейной функцией от z.

В сечениях, где приложена сосредоточенная сила, эпюра Q_y претерпевает скачок на величину внешней силы. И наконец, в тех сечениях, где Q_y принимает нулевое значение и меняет знак, функция M_x достигает экстремальных значений.

Напряжения при чистом изгибе

Рассмотрим наиболее простой случай изгиба, называемый чистым изгибом. Как было отмечено выше, под чистым изгибом понимается такой вид сопротивления, при котором в поперечных сечениях бруса возникают только изгибающие моменты, а поперечные силы равны нулю. Для тех участков бруса, где соблюдается данное условие, изгибающий момент, согласно второго выражения (5.4), вдоль продольной оси z принимает постоянное значение. Так как в любом сечении стержня при чистом изгибе Mx(z) = const, то для однородного бруса постоянного поперечного сечения изменение кривизны постоянно вдоль оси z. Под действием изгибающих моментов ось бруса искривляется. Исходя из этого, ось бруса принимает форму дуги окружности с радиусом кривизны (рис. 5.6). В данном случае с высокой степенью точности справедлива гипотеза плоских сечений. Следовательно, точки, расположенные до изгиба в плоскости поперечного сечения бруса, в результате изгиба переместятся в пространстве таким образом, что их совокупность снова образует плоскость.

Процесс формирования деформаций при чистом изгибе может рассматриваться как результат поворота плоских поперечных сечений друг относительно друга.

Рассмотрим два смежных сечения, отстоящих один от другого на расстоянии dz (рис. 5.6).

В результате изгиба эти сечения наклонятся, образуя между собой угол d , в связи с чем верхние волокна удлиняются, а нижние укоротятся. Очевидно, что при этом существует слой, длина которого не изменилась. Назовем его нейтральным слоем и обозначим отрезком СD. При этом CD = CD= dz = d. Произвольный отрезок АВ, расположенный от СD на расстоянии y, в результате изгиба удлинится на величину A B AB. С учетом построений, изображенных на рис. 5.6, легко определить величину его линейной деформации:

.(5.6)

Если предположить, что продольные волокна не давят друг на друга, то каждое из них будет находиться в условиях простого растяжения сжатия. Тогда переход от деформаций к нормальным напряжениям можно осуществить посредством закона Гука:

(5.7)



Рис. 5.7

Установим положение нейтральной оси x, от которой происходит отсчет координаты у (рис. 5.7). Учитывая, что сумма элементарных сил dF по площади поперечного сечения F дает нормальную силу N_z . Но при чистом изгибе N_z = 0, следовательно:

.

Как известно, последний интеграл представляет собой статический момент сечения относительно нейтральной линии (оси x). Статический момент равен нулю, значит, нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения.

Выразим момент внутренних сил относительно нейтральной оси M_x через . Очевидно, что

.(5.8)

C учетом выражения (5.7) получим:

.

Откуда

,(5.9)

где кривизна нейтрального волокна; EI_x жесткость бруса.

Из формулы (5.7), исключая 1/, окончательно получим:

.(5.10)

Откуда следует, что нормальные напряжения в поперечном сечении бруса при его изгибе изменяются по линейному закону в зависимости от координаты y и принимают максимальное значение на уровне крайних волокон (при y = y_max):

,

где момент сопротивления сечения.

Энергия упругих деформаций бруса при изгибе V определяется работой момента M_x на соответствующем угловом перемещении d :

, с учетом и ,

окончательно получим

.(5.11)

Касательные напряжения при поперечном изгибе. Главные напряжения при изгибе

В случае поперечного изгиба в сечениях балки возникают не только изгибающий момент, но и поперечная сила. Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях бруса возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.

Так как касательные напряжения в общем случае распределены по сечению неравномерно, то при поперечном изгибе поперечные сечения балки строго говоря не остаются плоскими. Однако при (где h высота поперечного сечения, l длина балки) оказывается, что эти искажения заметным образом не сказываются на работе балки на изгиб. В данном случае гипотеза плоских сечений и в случае чистого изгиба с достаточной точностью приемлема. Поэтому для расчета нормальных напряжений применяют ту же формулу (5.10).

Рассмотрим вывод расчетных формул для касательных напряжений. Выделим из бруса, испытывающего поперечный изгиб, элемент длиной dz (рис. 5.21, а).

Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии y от нейтральной оси, разделим элемент на две части (рис. 5.21, в) и рассмотрим равновесие верхней части, имеющей основание шириной b. При этом с учетом закона парности касательных напряжений, получим, что касательные напряжения в поперечном сечении равны касательным напряжениям, возникающим в продольных сечениях (рис. 5.21, б). С учетом данного обстоятельства и из допущения о том, что касательные напряжения по площади bdz распределены равномерно, используя условие z = 0, получим:

N N d N + bdz = 0 ,

откуда

.(5.12)

где N равнодействующая нормальных сил dF в левом поперечном сечении элемента dz в пределах заштрихованной площади F (рис. 5.20, г):

.(5.13)

Рис. 5.21

С учетом (5.10) последнее выражение можно представить в виде

,(5.14)

где статический момент части поперечного сечения, расположенной выше координаты y (на рис. 5.21,б эта область заштрихована). Следовательно, (5.14) можно переписать в виде

,

откуда

.(5.15)

В результате совместного рассмотрения (5.12) и (5.15) получим

,

или окончательно

.(5.16)

Полученная формула (5.16) носит имя русского ученого Д.И. Журавского.

Для исследования напряженного состояния в произвольной точке балки, испытывающей поперечный изгиб, выделим из состава балки вокруг исследуемой точки элементарную призму (рис. 5.21, г), таким образом, чтобы вертикальная площадка являлась частью поперечного сечения балки, а наклонная площадка составляла произвольный угол относительно горизонта. Принимаем, что выделенный элемент имеет следующие размеры по координатным осям: по продольно оси dz, т.е. по оси z; по вертикальной оси dy, т.е. по оси у; по оси х равный ширине балки.

Так как вертикальная площадка выделенного элемента принадлежит поперечному сечению балки, испытывающему поперечный изгиб, то нормальные напряжения на этой площадке определяются по формуле (5.10), а касательные напряжения по формуле Д.И. Журавского (5.16). С учетом закона парности касательных напряжений, легко установить, что касательные напряжения на горизонтальной площадке также равны . Нормальные же напряжения на этой площадке равны нулю, согласно уже известной нам гипотезе теории изгиба о том, что продольные слои не оказывают давления друг на друга.

Обозначим величины нормальных и касательных напряжений на наклонной площадке через и , соответственно. Принимая площадь наклонной площадки dF, для вертикальной и горизонтальной площадок будем иметь dF sin и dF cos , соответственно.

Составляя уравнения равновесия для элементарной вырезанной призмы (рис. 5.21, г), получим:

,

откуда будем иметь:

;

.

Следовательно, окончательные выражения напряжений на наклонной площадке принимают вид:



Определим ориентацию площадки, т.е. значение = ₀ , при котором напряжение принимает экстремальное значение. Согласно правилу определения экстремумов функций из математического анализа, возьмем производную функции от и приравняем ее нулю:

.

Предполагая = ₀ , получим:

.

Откуда окончательно будем иметь:

.

Согласно последнему выражению, экстремальные напряжения возникают на двух взаимно перпендикулярных площадках, называемых главными, а сами напряжения главными напряжениями.

Сопоставляя выражения и , имеем:

,

откуда и следует, что касательные напряжения на главных площадках всегда равны нулю.

В заключение, с учетом известных тригонометрических тождеств:

и формулы ,

определим главные напряжения, выражая из через и :

.

Полученное выражение имеет важное значение в теории прочности изгибаемых элементов, позволяющее производить расчеты их прочности, с учетом сложного напряженного состояния, присущее поперечному изгибу.

Перемещения при изгибе. Метод начальных параметров

Изгиб балки сопровождается искривлением ее оси. При поперечном изгибе ось балки принимает вид кривой, расположенной в плоскости действия поперечных нагрузок. При этом точки оси получают поперечные перемещения, а поперечные сечения совершают повороты относительно своих нейтральных осей. Углы поворота поперечных сечений принимаются равными углам наклона , касательной к изогнутой оси балки (рис. 5.23).



Рис. 5.23

Прогибы и углы поворотов в балках являются функциями координаты z и их определение необходимо для расчета жесткости. Рассмотрим изгиб стержня в одной из главных плоскостей например, в плоскости yz. Как показывает практика, в составе реальных сооружений стержни испытывают весьма малые искривления (y_max/l = 10² 10³, где y_max максимальный прогиб; l пролет балки).

В этом случае неизвестными функциями, определяющими положение точек поперечных сечений балки являются y(z) и (z) = = (z) (рис.5.23). Совокупность значений этих параметров по длине балки образуют две функции от координаты z функцию перемещений y (z) и функцию углов поворота (z). Из геометрических построений (рис. 5.23) наглядно видно, что угол наклона касательной к оси z и угол поворота поворота поперечных сечений при произвольном z равны между собой. В силу малости углов поворота можно записать:

.(5.17)

Из курса математического анализа известно, что кривизна плоской кривой y (z) выражается следующей формулой:

.

Если рассмотреть совместно соотношение (5.9) и последнее выражение, то получим нелинейное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки, точное решение которого, как правило, затруднительно. В связи с малостью величины по сравнению с единицей последнее выражение можно существенно упростить, и тогда

.(5.18)

Учитывая (5.9), из (5.18) получим следующее важное дифференциальное соотношение

,(5.19)

где I_x момент инерции поперечного сечния балки, относительно ее нейтральной оси; Е модуль упругости материала; E I_x изгибная жесткость балки.

Уравнение (5.19), строго говоря, справедливо для случая чистого изгиба балки, т.е. когда изгибающий момент M_x (z) имеет постоянное значение, а поперечная сила равна нулю. Однако это уравнение используется и в случае поперечного изгиба, что равносильно пренебрежению искривлений поперечных сечений за счет сдвигов, на основании гипотезы плоских сечений.

Введем еще одно упрощение, связанное с углом поворота поперечного сечения. Если изогнутая ось балки является достаточно пологой кривой, то углы поворота сечений с высокой степенью точности можно принимать равными первой производной от прогибов. Отсюда следует, что прогиб балки принимает экстремальные значения в тех сечениях, где поворот равен нулю.

В общем случае, для того, чтобы найти функции прогибов y (z) и углов поворота (z), необходимо решить уравнение (5.19), с учетом граничных условий между смежными участками.

Для балки, имеющей несколько участков, определение формы упругой линии является достаточно сложной задачей. Уравнение (5.19), записанное для каждого участка, после интегрирования, содержит две произвольные постоянные.

На границах соседних участков прогибы и углы поворота являются непрерывными функциями. Данное обстоятельство позволяет определить необходимое число граничных условий для вычисления произвольных постоянных интегрирования.

Если балка имеет n конечное число участков, из 2n числа граничных условий получим 2n алгебраических уравнений относительно 2n постоянных интегрирования.

Если момент и жесткость являются непрерывными по всей длине балки функциями M_x (z) и E I_x (z), то решение может быть получено, как результат последовательного интегрирования уравнения (5.19) по всей длине балки:

интегрируя один раз, получаем закон изменения углов поворота

,

интегрируя еще раз, получаем функцию прогибов

.

Здесь C₁ и С₂ произвольные постоянные интегрирования должны быть определены из граничных условий.

Если балка имеет постоянное поперечное сечение по длине, то для определения функций прогибов и углов поворота удобно применить метод начальных параметров, суть которого в следующем.

Рис. 5.24

Рассмотрим балку (рис. 5.24) с постоянным поперечным сечением, нагруженную взаимоуравновешенной системой положительных силовых факторов (т.е., вызывающих вертикальные перемещения сечений балки в положительном направлении оси y). Начало системы координат поместим на левом конце балки так, чтобы ось z проходила вдоль оси балки, а ось y была бы направлена вверх. На балку действуют: момент М, сосредоточенная сила Р и равномерно распределенная на участке бруса нагрузка интенсивностью q (рис. 5.24).

Задача заключается в том, чтобы выявить особенности, вносимые в уравнение упругой линии, различными типами внешних силовых факторов. Для этого составим выражение изгибающих моментов для каждого из пяти участков заданной системы.

Участок I ( 0 z l₁ )

M_{x (z)} = 0.

Участок II (l₁ z l₂ )

M_{x (z)} = M.

Участок III (l₂ z l₃ )

M_{x (z)} = M + P (z l₂).

Участок IV (l₃ z l₄)

M_{x (z)} = M + P (z l₂) + .

Учток V(l₄ z l₅)

M_{x (z)} = M + P (z l₂) + .

На участке V, где распределенная нагрузка отсутствует, при выводе выражения для изгибающего момента, с целью сохранения рекуррентности формул для разных участков была приложена взаимоуравновешенная распределенная нагрузка.

Для вывода обобщенного выражения изгибающего момента введем следующий оператор , означающий, что члены выражения, стоящее перед ним следует учитывать при z > l_i и игнорировать при z l_i . На основании этого, обобщенное выражение момента M_x (z) для произвольного сечения z может быть записано единой формулой:

M_x (z) = M+ P (z l₂) +

.(5.20)

Подставляя (5.20) в (5.19) и дважды интегрируя, получим выражение для прогибов:

E I_x y (z) = C₀ + C₁ z ++

+.(5.21)

Постоянные интегрирования C₀ и C₁ по своей сути означают:

C₀ = E I_x y (0) , C₁ =(5.22)

и определяются из граничных условий на левом конце балки. Тогда формула для прогибов примет следующий окончательный вид:

E I_x y (z) = E I_x y₀ + z +++

+.(5.23)

Соответственно, формула для углов поворотов сечений балки определяется из (5.23) простым дифференцированием:

E I_x (z) = ++

+.(5.24)

Как видно, для определения прогибов и углов поворота балок данным методом начальных параметров достаточно знание лишь значений прогиба y₀ , угла поворота ₀ в начале системы координат, т.е. так называемых начальных параметров. Поэтому данный метод и называется методом начальных параметров.

10. Сложное сопротивление

Косой изгиб

Под косым изгибом понимается такой случай изгиба, при котором плоскость изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных осей поперечного сечения (рис. 5.27, а). Косой изгиб удобнее всего рассмотреть как одновременный изгиб бруса относительно главных осей x и y поперечного сечения бруса. Для этого общий вектор изгибающего момента М, действующего в поперечном сечении бруса, раскладывается на составляющие момента относительно этих осей (рис. 5.27, б):

M_x = Msin; M_y = Mcos .(5.25)

Введем следующее правило знаков для моментов M_x и M_y момент считается положительным, если в первой четверти координатной плоскости (там, где координаты x и y обе положительны) он вызывает сжимающие напряжения.

Рис. 5.27

На основании принципа независимости действия сил нормальное напряжение в произвольной точке, принадлежащей к поперечному сечению бруса и имеющей координаты x, y, определяется суммой напряжений, обусловленных моментами M_x и M_y , т.е.

.(5.26)

Подставляя выражения M_x и M_y из (5.25) в (5.26), получим:

.

Из курса аналитической геометрии известно, что последнее выражение представляет собой уравнение плоскости. Следовательно, если в каждой точке сечения отложить по нормали вектор напряжения , то концы векторов образуют геометрическое место точек, принадлежащих одной плоскости, как и при поперечном изгибе.

Уравнение нейтральной линии, т.е. геометрического места точек, где нормальное напряжение принимает нулевые значения, найдем, полагая в (5.26) = 0:

.

Откуда определяется:

.(5.27)

Поскольку свободный член в (5.27) равен нулю нейтральная линия всегда проходит через начало координат. Как видно из выражения (5.26), эпюра напряжений в поперечных сечениях бруса линейна, следовательно, максимальные напряжения в сечении возникают в точках наиболее удаленных от нейтральной линии. В том случае, когда сечение имеет простую форму (прямоугольник, круг), положение наиболее опасных точек легко определяется визуально. Для сечений, имеющих сложную форму, необходимо применить графический подход.

Далее покажем, что при косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна к плоскости действия изгибающего момента, как это всегда выполнялось при поперечном изгибе. Действительно угловой коэффициент K₁ следа момента (рис. 5.27, б) равен:

K₁ = tg .(5.28)

Угловой же коэффициент нейтральной линии, как это следует из (5.27), определяется выражением:

tg = K₂ .(5.29)

Так как в общем случае I_x I_y, то условие перпендикулярности прямых, известное из аналитической геометрии, не соблюдается, поскольку K₁ . Брус, образно выражаясь, предпочитает изгибаться не в плоскости изгибающего момента, а в некоторой другой плоскости, где жесткость на изгиб будет минимальной.

Внецентренное растяжение и сжатие

Внецентренное сжатие и растяжение как и косой изгиб относится к сложному виду сопротивления бруса. При внецентренном растяжении (сжатии) равнодействующая внешних сил не совпадает с осью бруса, как при простом растяжении, а смещена относительно оси z и параллельна ей (рис. 5.31).

Пусть в точке А(x_A , y_A ) приложена равнодействующая внешних сил Р. Тогда относительно главных осей x и y равнодействующая сила Р вызывает моменты:

M_x = Py_A ; M_y = Px_A .(5.34)

Таким образом, при внецентренном растяжении (сжатии) в поперечном сечении бруса возникает нормальная сила N_z= P и изгибающие моменты M_x и M_y . Следовательно, на основании принципа независимости действия сил в произвольной точке В с координатами x, y нормальное напряжение определяется следующим выражением:

.(5.35)

Используя выражения для квадратов радиусов инерции сечения:

можно (5.35) преобразовать к следующему виду:

Уравнение нейтральной линии получим, приравнивая нулю выражение для нормальных напряжений :

.(5.36)

Из (5.36) можно легко определить отрезки, которые отсекает нейтральная линия на координатных осях. Если приравнять x = 0, то получим:

.

где a_y координата точки пересечения нейтральной линии и оси y.

Решая это уравнение, получим:

.

Аналогичным образом можно определить координату пересечения нейтральной линии и оси x:

.

Можно решить и обратную задачу определить координаты приложения силы Р при заданных отрезках а_x и а_y . Опуская простейшие выкладки, приведем окончательные выражения:

.

Наибольшее напряжения, как и при косом изгибе, имеют место в точке наиболее удаленной от нейтральной линии. При внецентренном растяжении (сжатии) в отличие от косого изгиба нейтральная линия не проходит через центр тяжести сечения. Расстояние от начала координат x0y до прямой a y + b x + c = 0, как известно из курса аналитической геометрии, определяется по формуле:

.

Следовательно, в данном случае (рис. 5.32):



Рис. 5.32

(5.37)

Тогда, как это следует из (5.37), по мере того, как точка приложения силы приближается к центру тяжести сечения, нейтральная линия удаляется от него.

При x_A 0, y_A 0, получаем 0 C . Сила в данном случае становится центральной, а напряжения в этом случае распределены по сечению равномерно. В тех случаях, когда нейтральная линия пересекает сечение, в нем возникают напряжения разного знака. В противном случае в сечении во всех точках возникают напряжения одного знака. Следовательно, в окрестности центра тяжести всегда существует некая область, называемая ядром сечения, такая, что если точка приложения силы Р расположена в пределах указанной области, то в поперечном сечении возникают напряжения лишь одного знака. При этом если сила приложена по границе ядра сечения, то нейтральная линия касается контура сечения.

Данный факт имеет большое значение при проектировании колонн из хрупких материалов, (например, бетона, кирпича и т.д.), которые, как правило, имеют существенно меньшую прочность на растяжение, нежели на сжатие. Поэтому при проектировании таких конструкций необходимо предусмотреть, чтобы равнодействующая сжимающая сила была расположена в пределах ядра сечения.

Теории прочности

Как показывают экспериментальные исследования, прочность материалов существенно зависит от вида напряженного состояния. В общем случае нагруженного тела напряженное состояние в какойлибо точке вполне может быть определено величиной напряжений в трех координатных плоскостях, проходящих через эту точку. При произвольном выборе положения координатных плоскостей, в каждой из них, вообще говоря, имеются и нормальные, и касательные напряжения. Для них вводятся соответствующие обозначения в плоскости xy: _zz , _zx , _zy ; в плоскости xz: _yy , _yx , _yz; в плоскости yz: _xx , _xy , _xz . Здесь первый индекс показывает ориентацию площадки, в которой действует напряжение, т.е. какой из координатных осей она перпендикулярна. Второй индекс указывает направление напряжения по координатной оси.

В каждой точке тела существуют три взаимно перпендикулярные плоскости, свободные от касательных напряжений, носящие название главных площадок. Нормальные напряжения в этих площадках называются главными напряжениями и обозначаются ₁, ₂, ₃. При этом всегда ₁ > ₂ > ₃. Заметим, что более подробно вопросы теории напряженного состояния в точке обсуждены в десятом разделе настоящей книги, и по данному вопросу имеется обширная литература.

Напряженные состояния разделяются на три группы. Напряженное состояние называется: а) объемным или трехосным, если все главные напряжения ₁, ₂, ₃ не равны нулю; б) плоским или двухосным, если одно из трех главных напряжений равно нулю; в) одномерным или одноосным, если два из трех главных напряжений равны нулю.

...