Аналитическая оценка предельной расчётной вероятности отказа

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Южно-Уральский Государственный Университет, г. Челябинск, Россия

Аналитическая оценка предельной расчётной вероятности отказа

Шатов Михаил Михайлович

Современные методы оценки безопасности оперируют понятием «риск». Под техническим риском понимают допустимую частоту опасных событий (отказов), которая зависит от ущерба, связанного с этими событиями [1,2,5-7].

Требования считать частоту привели к переходу от детерминированных методов расчёта на прочность к вероятностным. Согласно социально-экономическим нормам, допустимая частота отказов, ведущих к существенному ущербу, имеет порядок 10^-4-10^-6. Как показано в [9], на оценку вероятности маловероятных событий существенно влияют принятые в расчёте гипотезы и недоказуемые предположения, порядок погрешностей от которых сопоставим или больше допустимой частоты порядка 10^-4-10^-6. Расчётная вероятность и реальная частота отказов (в области малых значений) отличаются на порядки [4 с. 128], поэтому использование допустимой частоты для разделения «приемлемых» и «неприемлемых» конструкций в этой области частот не обосновано. Вероятностные методы расчёта на прочность конструкций с малой частотой отказов не регламентированы, не установлены критерии «приемлемости». Поэтому создание методики назначения предельной расчётной вероятности отказа (ПРВО), связанной с методами расчёта и принимаемыми недоказуемыми гипотезами, является актуальной задачей.

Идея излагаемой ниже методики основана на сопоставлении детерминированных и вероятностных расчётов и попытке установить связь между нормативным коэффициентом запаса (НКЗ) и ПРВО (рисунок 1). НКЗ обеспечивает некоторый уровень надёжности и является отражением многолетнего опыта создания и эксплуатации различных классов конструкций, поэтому, если ПРВО будет связана с НКЗ, то получающиеся по вероятностным расчётам конструкции будут не хуже, чем созданные с использованием детерминированных оценок.

Рисунок 1 Иллюстрация получения оценки предельной расчётной вероятности отказа

Дальнейшие рассуждения будут основаны на ряде допущений и предположений. Рассматривается один элемент конструкции, который разрушается достижением одного предельного состояния. Не рассматриваются взаимодействие с другими элементами и различные варианты нагрузок (режимы эксплуатации), принимается во внимание только вариация по величинам (амплитудам). Влияние достоверности исходных данных на значение ПРВО также не рассматривается.

В число параметров закона распределения случайной величины входят параметры сдвига (m) и масштаба (). В общем случае выражение для вероятности разрушения имеет вид [8]:

(1)

где - функция плотности распределения нагрузки, с параметрами сдвига и масштаба , а также другими параметрами распределения , где n - общее число параметров закона распределения;

- функция плотности распределения прочности, с параметрами сдвига и масштаба , а также другими параметрами распределения , где k - общее число параметров закона распределения.

Вероятность разрушения (1) не зависит от абсолютных значений параметров , , , , а зависит только от их соотношений [3]:

(2)

Детерминированные методики расчёта на прочность при вычислении коэффициента запаса оперируют понятиями «минимальных свойств материала» и «максимальной нагрузки». Эти понятия нужно связать с параметрами законов распределения этих величин. Одним из способов является задание доверительного интервала. Далее, предлагается ограничить вероятность выхода случайной величины справа и слева доверительного интервала одинаковым значением P_toler. В приводимых рассуждениях минимальные свойства материала и максимальные напряжения имеют смысл квантилей, которые можно представить в виде:

где и некоторые коэффициенты, определяемые из условий:

Учитывая (3), НКЗ можно представить формулой:

(4)(4)

Для получения ПРВО из (4) выразим и подставим в (2). Если принять, что функции распределения нагрузки и прочности двухпараметрические, то ПРВО - функция 5 аргументов: параметров и , НКЗ , а также и - видов функций распределений параметров нагрузки и прочности соответственно.

Для случая, когда закон распределения для нагрузки и для прочности нормальный, и , изолинии ПРВО от коэффициентов вариации представлены на рисунке 2.

Рисунок 2 Зависимость предельной расчётной вероятности отказа от коэффициентов вариации нагрузки (k_l) и прочности (k_s)

Из рисунка 2 можно заключить, что прии рассмотренных коэффициентах вариации свойств материала и нагрузок, требование не превышения вероятностью разрушения значения 10^-5 обеспечивает создание конструкций не опаснее, чем по детерминированным методикам. При некоторых значениях коэффициентов вариации, требование может быть ослаблено, например, до .

По рисунку 3 можно оценить влияние коэффициентов вариации на скорость снижения вероятности разрушения при увеличении НКЗ.

Рисунок 3 Зависимость расчётной вероятности разрушения от нормативного коэффициента запаса

Из рисунка 3 можно видеть, что увеличение НКЗ в одно и то же число раз ведёт к разному увеличению надёжности в зависимости, прежде всего, от коэффициента вариации прочности k_s. С ростом диапазон изменения ПРВО становится шире, причем верхняя граница почти не меняется (около 10^-4-10^-3) , а нижняя, на которую нужно ориентироваться в случае недостатка данных о виде законов распределений, стремится к нулю. При минимальное значение ПРВО 10^-8, а при ПРВО имеет порядок 10^-20, если законы, аппроксимирующие нагрузку и прочность, нормальные.

Рассмотрим вопрос о возможности трактовки расчётной вероятности разрушения в частотном смысле, если виды законов распределения параметров нагрузки и прочности достоверно известны (нормальный закон). Рассмотрим предельный случай, когда информация о нагрузках, геометрических параметрах и свойствах материала достоверно известна, а НКЗ компенсирует только ошибки схематизации. Другими словами, расчётные характеристики нагруженности отличаются в раз от реальных характеристик нагруженности. Под характеристиками нагруженности нужно понимать величины, использующиеся для вычисления коэффициента запаса. Отказ от использования реальных характеристик нагруженности может быть продиктован существенными упрощениями в расчётах (например, вместо расчёта краевых эффектов в тонкостенных оболочках, нагруженных внутренним давлением, можно использовать безмоментные формулы, уменьшив допустимую нагрузку в три раза, если предельным состоянием считается начало пластического течения).

Вероятность отказа определяется через коэффициенты : если , то реальные и используемые в расчёте значения коэффициентов совпадут, но будут отличаться на множитель , так как реальные и расчётные параметры сдвига и масштаба функции распределения нагрузки отличаются в раз. Иллюстрация приведённых рассуждений показана на рисунке 4. Поскольку

, то

( - реальная частота отказов, - расчётная вероятность отказов), причем

только в случае , поэтому, если требуется определить частоту отказов, соответствующий коэффициенту запаса, то учитывать часть коэффициента запаса, компенсирующего ошибки расчётной схемы не нужно.

Рисунок 4 Влияние на соотношение расчётной и реальной вероятности отказа. Обозначения: , - используемый в вероятностном расчёте и реальный закон распределения параметра нагрузки; - реальный закон распределения параметра прочности; , , , - математические ожидания и среднеквадратические отклонения закона распределения, используемого в расчёте и реального закона распределения параметра нагрузки

Проведённый анализ показал, что при оценке маловероятных событий, результат вероятностного расчёта определяют гипотезы и недоказуемые предположения, принятые в этом расчёте (например, о законе распределений). В этих условиях результаты вероятностных расчётов могут использоваться как сравнительные: из нескольких конструкций «лучше» та, у которой расчётная вероятность отказа меньше, при условии, что методы расчёта и гипотезы во всех расчётах одинаковы.

Если отказаться от попыток интерпретировать малые расчётные вероятности отказа в частотном смысле, то важным дополняющим тезисом может служить утверждение, что при сравнительных вероятностных расчётах нужно использовать хотя бы один закон распределения случайной величины (параметр нагруженности или прочности), отличный от нуля на всей числовой оси. В этом случае, корреляция «лучше по результатам детерминированного расчёта» и «лучше по результатам вероятностного расчёта» сохраняется. В противном случае, всегда можно подобрать такой коэффициент запаса, при котором законы распределения нагруженности и прочности не пересекаются - вероятность отказа строго равна нулю. При дальнейшем увеличении коэффициента запаса, вероятность отказа не меняется, а, значит, корреляция между детерминированным и вероятностным расчётом не сохраняется.

Порядок величины предельной расчётной вероятности отказа может быть оценен с использованием дополнительной информации: характерных видов законов распределения параметров нагрузки и прочности, а также коэффициентов вариации этих параметров, которые характерны для данного класса конструкций и изделий в заданных условиях эксплуатации.

отказ опасный надежность прочность

Литература

1. API 580 Risk-Based Inspection. - First edition, may 2002.

2. BS 7910. Guide on methods for assessing the acceptability of flaws in metallic structures.

3. Анализ рисков отказов при функционировании потенциально опасных объектов / Махутов Н.А., Шатов М.М. [и др.] // Проблемы анализа риска, том 9. - 2012. - № 3. - С.8-21.

4. Безопасность России / по ред. Н.А. Махутова. - М.: МГФ «Знание», 2006. - Т.2.

5. ГОСТ Р 51344-99 Безопасность машин. Принципы оценки и определения риска. - М.: Госстандарт, 1999. - с. 15.

6. ГОСТ Р 51901.1-2002 Анализ риска технологических систем. - М.: Госстандарт, 2003.

7. ГОСТ Р 51901-2002 Безопасность механизмов. - М.: Госстандарт, 2002.

8. Ржаницын А. Р. Теория расчета строительных конструкций на надежность. -М.: Стройиздат, 1978.-239 с.

9. Чернявский А.О., Шадчин А.В. Оценка достоверности расчёта малой вероятности разрушения для единичной конструкции // Проблемы машиностроения и надёжности машин. - 2010. - № 4. - С.118-123.ф

Размещено на Allbest.ru