Математическое моделирование диагностики остаточных напряжений в многослойных покрытиях цилиндрических каналов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математическое моделирование диагностики остаточных напряжений в многослойных покрытиях цилиндрических каналов

Ломазов В.А., Ломазова В.И.

Annotation

A problem of mathematical modeling of initial stresses in layered media is considered. As a mathematical model for nondestructive testing is used diagnostic problem, consisting in determining of initial stresses by results of measurement of elastic process parameters on the surface of cylinder hole with layered coat. Suggested approach for solving initial stress diagnostic problem is based on linearization by the perturbation method.

Ломазов Вадим Александрович

Доцент кафедры информационных систем и технологий, д.ф.-м.н. Белгородский университет потребительской кооперации, г. Белгород

Ломазова Валентина Ивановна

Ассистент кафедры социальных технологий Белгородский государственный университет, г. Белгород

Остаточные напряжения в массивах с цилиндрическими каналами связаны, как правило, с изготовлением (высверливанием, выборкой, перфорацией) полости канала, нанесением многослойных защитных покрытий, а также с воздействиями агрессивных сред в процессе эксплуатации изделий, таких, например, как корпус коллектора парогенератора (высоконагруженного элемента первого контура АЭС) [1].

В настоящей работе на основе модели диагностики массивных тел исследуется задача определения остаточных напряжений (являющихся функциями пространственных координат) как параметров, от которых зависят упругие модули отдельных слоев слоистой среды. При этом связь между упругими модулями и остаточными напряжениями предполагается известной и (в рамках часто принимаемого упрощающего предположения [2,3]) линейной. Под проблемой упругой диагностики понимается задача определения характеристик материала по считающимся известными (измеренным) на поверхности тела значениям динамических перемещений, соответствующих специальным образом инициированным упругим волновым процессам [4-6].

1.УПРУГИЕ ВОЛНЫ В СРЕДЕ С ОСТАТОЧНЫМИ НАПРЯЖЕНИЯМИ

Начальные статические напряжения в области ={(r,,z)|rh⁽⁰⁾} с каналом, подкрепленным цилиндрическими слоями ^(s)={(r,,z) | h^(s) r h^(s-1)} (s=1,…,S), жестко скрепленными с массивом ^(S)={(r,,z)|r h^(S)}, описывается в цилиндрической системе координат =(₁,₂,₃)=(r,,z) уравнениями равновесия:

(1)

,

с однородными граничными и контактными условиями

математический моделирование напряжение слоистый среда

, (2)

Соотношений (1),(2), не замкнутых определяющими уравнениями, устанавливающими соответствия между начальными напряжениями и деформациями (скоростями деформаций), недостаточно для определения шести (с учетом симметричности _ij^*(s)=_ji^*(s)) независимых компонент тензора начальных напряжений. Дополнительные соотношения будут получены из решения задачи диагностики, в рамках предположения о зависимости упругих модулей (связывающих упругие составляющие полных напряжений и деформаций) от начальных напряжений.

Рассмотрим соотношения, описывающие распространение упругих процессов в слоистых средах при наличии и при отсутствии начальных напряжений. Упругий процесс, протекающий в идеальном (без начальных напряжений) пространстве с цилиндрической полостью, окруженной изотропными цилиндрическими слоями, описывается уравнениями [3]:

 (3)

, ,

, ,

начальными, граничными и контактными условиями

, , (4)

,

Система соотношений (3),(4) позволяет однозначно определить функции u_i^0(s)(,t), т.е. полностью описывает упругий процесс в идеальной слоистой среде.

При инициировании в исследуемой среде упругого процесса поле напряжений представляет собой сумму поля статических неупругих остаточных напряжений _ij^*(s)() и поля динамических упругих напряжений _ij^(s)(,t), которым соответствуют динамические упругие деформации e_ij^(s)(,t) и перемещения u_i^(s)(,t), (s=1,…,S+1). В рамках данного раздела ограничимся рассмотрением динамического упругого процесса. Исследуемое тело считается изготовленным из тех же, что и контрольное тело, материалов, но обладающим остаточными напряжениями. Оно будет характеризоваться анизотропией и пространственной неоднородностью упругих свойств слоев, поскольку их упругие модули C_ijkl^(s) (i,j,k,l=1,2,3) считаются функциями компонент тензоров _mn^*(s) (m,n=1,2,3; s=1,…,S+1), а эти компоненты, вообще говоря, зависят от пространственных координат =(₁,₂,₃). Зависимостью плотности от начальных напряжений будем пренебрегать. Будем полагать, что влияние начальных напряжений на упругие модули слоев является слабым, т.е. величины ||C_ijkl^(s)({_mn}^*(s))-^0(s)_ijkl -^0(s)(_ikjl+_iljk)|| _C¹/^0(s) имеют порядок малости О(), 0<<<1. Слабую зависимость упругих модулей от начальных напряжений с точностью до величин порядка ² можно считать линейной, т.е. , где постоянные коэффициенты C_ijkl^mn(s) (i,j,k,l,m,n=1,2,3; s=1,…,S+1) в дальнейшем считаются известными.

Рассмотрим упругий процесс в исследуемой среде u_i^(s)(,t), инициированный тем же набором начальных и граничных условий {f_i^(s),_i^(s),_i^(s),p_i} и описываемый уравнениями (3),(4) после замены: {u_i,_ij}^(s)(,t){u_i,_i}^0(s)(,t), {u_i,C_ijkl}^(s)(){u_i,C_ijkl}^0(s)(). Полагаем, что он отличается от контрольного процесса на величину порядка , т.е. ||u_i^(s)-u_i^0(s)||_C² O(). С точностью О(²), получим относительно u_i^(s)=(u_i^(s)- u_i^0(s))/ уравнения:

(5)

начальные, граничные и контактные условия

, (6)

(7)

Система соотношений (5),(6) содержит, наряду с неизвестными характеристиками упругого процесса u_i^(s)(,t), еще и неизвестные компоненты тензора начальных напряжений _mn^*(s)(). Однако эта система содержит дополнительные (по сравнению с аналогичной системой соотношений (3),(4)) граничные условия (7). Здесь _i(₂,₃, t) - отклонения от контрольных значений перемещений на поверхности цилиндрического канала, которые считаются измеренными в процессе диагностических испытаний.

2.определениЕ остаточных напряжений

В соответствии с методом стационарных базовых процессов ([4,5]) ограничимся рассмотрением условий инициирования упругих процессов {f_i^(s), _i^(s), _i^(s), p_i⁽¹⁾}, возбуждающих в контрольной идеальной среде стационарные колебательные процессы вида u_i^0(s)(,t) = sin(t)g_i^(s)(), что является технически возможным. В случае использования колебательных базовых процессов многие слагаемые в соотношениях (5)-(7) имеют вид sin(t)F() и применение к этим соотношениям оператора _t²+²I (где I-единичный оператор) позволяет избавиться от этих слагаемых, получив относительно v_i^(s)=_i^(s)+²u_i^(s) систему соотношений:

(8)

, (9)

(10)

_,

(11)

(12)

По сравнению с (5)-(7) данные соотношения уже не содержат неизвестных функций _mn^*(s)(), но при этом отсутствуют начальные условия относительно _i^(s)(,0).

Задача (8)-(12) представляет собой задачу Коши для динамических уравнений упругости с данными Коши на непространственном многообразии (данными Коши являются соотношения (10)-(12)). В этом смысле данная задача аналогична негиперболической задаче Коши для волнового уравнения (задаче Куранта), но отличается более сложным видом уравнений и кусочно-непрерывным типом коэффициентов. Задача вида (8)-(12) рассматривалась в [5] при решении задачи диагностики среды, состоящей из слабо неоднородных анизотропных слоев с плоско параллельными границами. При этом была показана условная корректность (корректность по А.Н. Тихонову) данной задачи и предложен подход к построению ее решения.

Считая функции v_i^(s)(,t) известными, нетрудно восстановить u_i^(s)(,t), решая обыкновенные дифференциальные уравнения _i^(s)+²u_i^(s)=v_i^(s) с однородными начальными условиями u_i^(s)=0, _i^(s)=0 при t=0. Подставляя найденные значения в соотношения (5)-(7), получим относительно _mn^*(s)() уравнения:

(13)

граничные и контактные условия:

(14)

где использованы обозначения:

Таким образом, для нахождения шести неизвестных функции _mn^*(s) в дополнение к трем уравнениям равновесия (1) с граничными и контактными условиями (2),(3) в рамках задачи диагностики получено еще три уравнения (13) с граничными и контактными условиями (14). Соотношения (13) представляют собой линейные уравнения с частными производными, однако (в отличие от (1)) они имеют зависящие от пространственных переменных коэффициенты. Тем самым, нахождение шести неизвестных функций _ij^*(s)() из шести уравнений (1),(13) в общем случае связано с математическими трудностями, но может быть значительно упрощено в рамках дополнительных физических предположений относительно искомого поля начальных напряжений.

ЛИТЕРАТУРА

математический моделирование напряжение слоистый среда

1. Чернышев Г.Н. и др. Полезные и опасные остаточные напряжения / Г. Н. Чернышев, А. Л. Попов, В. М. Козинцев // Природа.- 2002.- №10, с.21-34.

2. Мрочек Ж.А. и др. Остаточные напряжения.// Ж.А. Мрочек, С.С.Макаревич, Л.М. Кожуро, М.Ф. Пашкевич, А.Ф. Ильющенко.-Минск.: Технопринт.- 2003, 316 с.

3. Гузь А. Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями.- Киев.:Наук.думка, 1986, Т.1 - 376 с.

4. Ломазов В.А. Задачи диагностики неоднородных термоупругих сред.- Орел: ОрелГТУ, 2003.- 172 с.

5. Ломазов В.А. Об одной постановке задачи диагностики остаточных напряжений в слоистых средах // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2003, Т.9. - №2, с. 181-190.

Размещено на Allbest.ru