Моделирование динамики импульсного понижающего преобразователя напряжения с нелинейным дросселем

Размещено на http://www.allbest.ru/

моделирование динамики импульсного понижающего преобразователя напряжения с нелинейным дросселем

КУЗЬМИН А.С.

КУДИНОВ Г.В.

ШОЛОНИК А.П.

A mathematical model of a buck converter considering the nonlinearity of an inductor magnetization curve is proposed. The comparison of the nonlinear inductor model dynamics with the linear one is carried out using the bifurcation diagrams.

В настоящее время информационные технологии широко используются при проектировании электронных средств. В частности, одним из ключевых этапов при разработке современных импульсных систем преобразования электроэнергии (ИСПЭ) является компьютерное моделирование их динамики, требующее в первую очередь наличия адекватных математических моделей. индуктор преобразователь линейный

Характерным представителем ИСПЭ является понижающий преобразователь напряжения (ППН) [1]. Известно, что ППН обладает сложной нелинейной динамикой [2-5]. Как правило, исследования динамики ППН проводятся на базе математических моделей, представленных в форме системы дифференциальных уравнений с разрывной правой частью вида

, (1)

где X - вектор переменных состояния, F(X,t) - векторная функция. F(X,t) описывается, как совокупность непрерывных (гладких) функций F_i(X,t), соответствующих различным комбинациям состояния ключевых элементов, входящих в состав схемы замещения ППН. Неотъемлемой составляющей ППН является дроссель с ферромагнитным магнитопроводом, обладающим нелинейной кривой намагничивания и, следовательно, нелинейной зависимостью индуктивности от протекающего тока. Типичным упрощением используемых моделей является линеаризация кривой намагничивания дросселя и получение линейных функций F_i(X,t) [2-7]. Такое упрощение во многих случаях является оправданным, и авторы настоящей работы не ставят под сомнение значимость полученных с использованием указанного упрощения результатов. Однако исследуемые в работах [2-5] динамические режимы (субгармонические, квазипериодические, хаотические) сопровождаются многократным увеличением пиковых значений напряжений и токов в элементах схемы, при которых нелинейность дросселя может оказаться весьма существенной, а влияние ее на динамику - определяющим.

В настоящей работе предложена математическая модель ППН, учитывающая нелинейность кривой намагничивания дросселя, проведены исследования динамики ППН с использованием предложенной модели.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ППН С НЕЛИНЕЙНЫМ ДРОССЕЛЕМ

Схема замещения [1,5] ППН представлена на рисунке 1.

Соответствующая схеме замещения модель ППН, учитывающая нелинейность кривой намагничивания дросселя, имеет вид:

где i(г) - ток, протекающий через дроссель; u(г) - напряжение на конденсаторе; г є [0,1] - относительное время на периоде ШИМ; Т - величина периода ШИМ; w - число витков обмотки дросселя; S - площадь поперечного сечения магнитопровода дросселя; l - длина средней магнитной линии магнитопровода дросселя; - производная индукции магнитного поля в дросселе по напряженности поля.

Рисунок 1 - Схема замещения ППН

Значение импульсной функции K_F0 вычисляется по алгоритму

(3)

где г₀ - момент коммутации, соответствующий переходу ключа К₀ в непроводящее состояние, ключа К₁ - проводящее. В случае использования в регуляторе ШИМ-2 с модуляцией заднего фронта значение определяется как наименьший корень уравнения коммутации

, (4)

где - коэффициент передачи П-звена регулятора; - коэффициент передачи делителя выходного напряжения; U_у - напряжение уставки; U₀ - амплитуда пилообразного напряжения; - вектор-строка, устанавливающая соответствие между вектором и величиной напряжения на входе регулятора (u_ос).

Математическая модель (2-4) отличается от известных моделей [2-7] отсутствием значения индуктивности L в явном виде. Оно выражается произведением , учитывающим нелинейный характер изменения индукции В при изменении напряженности поля дросселя H.

Наличие однозначной зависимости между напряженностью Н(г) и током через дроссель i(г) позволяет представить производную в виде функции . Эта функция может быть получена непосредственно из аналитической зависимости В(Н).

РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Результаты моделирования представлены на рисунке 2 в виде бифуркационной диаграммы. Диаграмма получена для следующих параметров модели: R₁=0,1 Ом; R₂=0,335 Ом; C=2,2·10^-5 Ф; в=0,25; U₀=3,4 В; U_у=3,06 В; f=2,307·10⁴ Гц; б=57; R₃=15 Ом при варьировании напряжения Е от 13 В до 31,5 В.

Рисунок 2 - Бифуркационная диаграмма для модели с нелинейной аппроксимацией В(Н)

Для моделирования дросселя использовались значения габаритных размеров стандартного кольцевого магнитопровода К31х18,5х7. Производная (5) была получена из аппроксимации (6) средней кривой намагничивания материала М2000НМ-1.

. (5)

. (6)

Решение системы (2) находилось интегрированием методом Дормана-Принса пятого порядка [8] на участках постоянства структуры. Момент коммутации г₀ определялся как точка пересечения кусочно-линейной аппроксимации графика функции коммутации и оси абсцисс. Аппроксимация была получена путём разбиения периода ШИМ Т на 100 интервалов с последующим вычислением значений функции коммутации в начале каждого из них.

На рисунке 3 приведена бифуркационная диаграмма для модели с линейной аппроксимацией (7) зависимости (6).

(7)

Соответствующая ей производная , входящая в модель (2), имеет постоянное значение, равное 5,025·10^-3.

Рисунок 3 - Бифуркационная диаграмма для модели с линейной аппроксимацией В(Н)

Диаграмма для модели с линейной аппроксимацией кривой намагничивания дросселя (рисунок 3) показывает, что ППН функционирует фундаментальном режиме (период изменения выходного напряжения равен Т) во всем диапазоне варьирования напряжения Е. В то же время для модели с нелинейной аппроксимацией В(Н) (рисунок 3) фундаментальный режим наблюдается лишь в области Е > 27 В. При меньших значениях напряжения существуют субгармонические режимы с более высокими периодами (2Т, 4Т, 8Т) и области хаотических колебаний.

Результаты проведенного в работе анализа, позволяют сделать вывод о том, что ППН, описываемые моделями с линейной (традиционно используемой) и нелинейной аппроксимациями кривой намагничивания магнитопровода дросселя обладают принципиально различной динамикой при определенных значениях параметров. Предложенная авторами модель позволяет более адекватно описывать динамику при широком диапазоне варьирования параметров ППН по сравнению с традиционными моделями и может служить для определения границ их применимости.

ЛИТЕРАТУРА

1. Severns, R. Modern DC-to-DC Switchmode Converter Circuits [Text] / R. Severns, G. Bloom. - Van Nostrand Reinhold Co, 1985.

2. Di Bernardo, M. Secondary Bifurcations And High Periodic Orbits In Voltage Controlled Buck Converter [Text] / M. Di Bernardo, E. Fossas, G. Olivar, F. Vasca. - International Journal Of Bifurcation And Chaos, 1997. - Vol. 7. - No. 12.

3. Di Bernardo, M. Switchings, bifurcations and chaos in dc-dc converters [Text] / M. Di Bernardo, F. Garofalo, L. Glielmo, F. Vasca // IEEE Trans. Circuits Syst. I 45, 1998. - P. 133 - 141.

4. Tse, C. K. Chaos from a Buck Switching Controller Operating In Discontinuous Mode [Text] / C.K. Tse // International Journal of Circuit Theory and Applications, 1994. - Vol. 22.

5. Колоколов, Ю.В. Динамика импульсного понижающего преобразователя напряжения в режиме прерывистых токов [Текст] / Ю.В. Колоколов, С.Л. Косчинский, А.П. Шолоник // Электричество. - 2003. - №9.

6. Olivar, G. A Second-Order Approximated Map for the Voltage-Controlled Buck Converter [Text] / G. Olivar, E. Fossas, C. Batlle // Proceedings of SAAEI, 2000.

7. Белов, Г.А. Исследования колебаний в импульсном стабилизаторе напряжения вблизи границы устойчивости [Текст] / Г.А. Белов // Электричество. - 1990. - № 9.

8. Хайрер, Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений [Текст] / Э. Хайрер, С. Нёрсетт, Г. Ваннер. - М. : Мир, 1990.

Размещено на Allbest.ru