Теоретическая механика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Теоретическая механика

Основные понятия и определения статики

Теоретическая механика - это наука о механическом движении твердых материальных тел и их взаимодействии.

Статика - это раздел теоретической механики, изучающий условия, при которых тело находится в равновесии.

Механическое движение - это изменение положения тела или точек тела в пространстве с изменением времени. Частным случаем механического движения является состояние покоя. Абсолютно неподвижных тел в природе нет (движение относительно Земли и вокруг Солнца).

Материальные тела, размерами которых в рассматриваемой задаче можно пренебречь, называются материальными точками. Тело считается материальной точкой во всех случаях, когда все его точки совершают тождественные движения.

Абсолютно твердым называется тело, расстояния между частицами которого, всегда остаются неизменными. В действительности все тела под влиянием силовых воздействий со стороны других тел изменяют свои размеры и форму, но они очень малы, и при изучении движения и равновесия объектов, ими пренебргают.

статика механика балочный опора

Размещено на http://www.allbest.ru/

Сила - это мера механического взаимодействия материальных тел между собой. Действие силы на тело определяется тремя параметрами (рис. 1.1): численным значением, направлением и точкой приложения, т.е. сила является векторной величиной.

Модуль, или численное значение силы, в Международной системе единиц (СИ), измеряется в ньютонах (Н).

Точкой приложения силы называется та материальная частица тела, к которой сила непосредственно приложена (точка А на рис. 1.1).

Линия действия силы - прямая а - а (см. рис. 1.1), вдоль которой направлен вектор, изображающий эту силу.

Силы (или системы сил), действующие на тело, делят на внешние и внутренние. Силы, действующие на частицы тела со стороны других материальных тел, называют внешними, а со стороны других частиц этого же тела - внутренними силами. Внешние силы бывают активные и реактивные. Активные силы вызывают перемещение тела. Реактивные стремятся противодействовать перемещению тела под действием внешних сил. Внутренние силы возникают под действием внешних сил.

Системой сил называется совокупность нескольких сил, приложенных к телу или точке. Одну силу, эквивалентную данной системе, называют равнодействующей. Силу, равную по величине равнодействующей, направленную по той же линии, но в противоположенном направлении, называют уравновешивающей силой. Если к системе сил добавлена уравновешивающая сила, то полученная новая система находится в равновесии и соответственно эквивалентна нулю.

Аксиомы статики

Статика основана на аксиомах, вытекающих из опыта и принимаемых без доказательств. Аксиомы статики устанавливают основные свойства сил, приложенных к абсолютно твердому телу.

Первая аксиома, или закон инерции, впервые сформулирована Галилеем. Система сил, приложенная к материальной точке, является уравновешенной, если под ее воздействием точка находится в состоянии относительного покоя или движется равномерно и прямолинейно.

Вторая аксиома устанавливает условие равновесия двух сил. Две равные по модулю или численному значению силы () приложенные к абсолютно твердому телу, направленные по одной прямой, но в противоположенные стороны взаимно уравновешиваются (рис. 1.2).

Третья аксиома служит основой для преобразования систем сил. Не нарушая механического состояния абсолютно твердого тела, к нему можно приложить или отбросить от него уравновешенную систему сил (рис. 1.3).

Например, тело находится в состоянии равновесия. Если к нему приложить несколько взаимно уравновешенных сил (), то равновесие тела не нарушится. Аналогичный эффект получится при отбрасывании этих уравновешенных сил.

Системы сил, показанные на рис. 1.2 и 1.3, эквивалентны, так как они дают одинаковый эффект, под действием каждой из них тело находится в равновесии.

Из третьей аксиомы вытекает следствие, согласно которому, всякую силу, действующую на абсолютно твердое тело, можно перенести вдоль линии ее действия в любую точку тела, не нарушая при этом его механического состояния.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пусть на тело в точке А действует сила (рис. 1.4). В произвольной точке В на линии действия силы приложим две силы и , равные по модулю и направленные в противоположные стороны. Состояние тела в этом случае не нарушится. Силы и , равные по модулю и противоположно направленные, можно отбросить. Таким образом, силу можно заменить равной силой , перенесенной по линии действия из точки А в точку В (рис. 1.5). Таким образом, сила, приложенная к твердому телу, - скользящий вектор.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Четвертая аксиома определяет правило сложения двух сил. Равнодействующая двух сил, приложенных к одной точке, приложена к этой же точке и равна диагонали параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах. Вектор (рис. 1.6) представляет собой геометрическую сумму векторов и . Таким образом, определение равнодействующей двух сил по правилу параллелограмма называют векторным или геометрическим сложением и выражается векторным равенством

. (1.1)

Такой способ нахождения равнодействующей путем построения параллелограмма, называется правилом параллелограмма, а сам параллелограмм, построенный на данных силах, называют параллелограммом сил.

При графическом определении равнодействующей двух сил вместо правила параллелограмма можно пользоваться правилом треугольника.

Действительно, вместо параллелограмма можно построить треугольник сил: равнодействующая двух сил соединяет начало первой силы с концом второй.

На основании четвертой аксиомы одну силу можно заменить двумя составляющими и .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пятая аксиома устанавливает, что в природе не может быть одностороннего действия силы, т.е. при взаимодействии тел всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.

Так, если тело 1 действует на тело 2 с силой (рис. 1.7), то тело 2 действует на тело 1 точно с такой же по модулю силой , но направленной в противоположную сторону. Хотя силы и равны по модулю и действуют по одной прямой в противоположные стороны, они не уравновешивают друг друга, так как приложены к разным телам.

Связи и их реакции

В механике различают свободные и несвободные твердые тела.

Свободным называют тело, которое не испытывает никаких препятствий для перемещения в пространстве в любом направлении.

Если тело не может иметь каких-либо перемещений из-за связи с другими телами, ограничивающими его движение, то оно называется несвободным.

Тела, ограничивающие свободу перемещения данного тела, называются наложенными на него связями.

Так, для детали, лежащей на столе, связью будет плоскость стола.

Сила, с которой связь действует на тело, препятствуя его перемещению в том или ином направлении, называется реакцией этой связи.

Реакция связи (по пятой аксиоме статики) всегда противоположны тому направлению, по которому связь препятствует движению тела.

Для определения реакций связей используют принцип освобождения от связей. Не изменяя равновесия тела, каждую связь можно отбросить, заменив её реакцией.

Рассмотрим наиболее распространенные виды связей.

1. Связь в виде гладкой (без трения) плоскости или поверхности. В этом случае реакция гладкой поверхности - направлена по нормали к этой поверхности и приложена к телу в точке касания (рис. 1.8, а, б).

2. Связь в виде шероховатой плоскости (рис. 1.8, в). Здесь принято учитывать две составляющие реакции, нормальную перпендикулярную плоскости, и касательную лежащую в плоскости движения. Составляющая называется силой трения, она всегда направлена в сторону, противоположную действительному или возможному движению.

Рис. 1.8

Полная реакция , равная геометрической сумме нормальной и касательной составляющих отклоняется от нормали к опорной поверхности на угол трения с и определяется как

, (1.2)

В реальных конструкциях силы трения малы и ими часто пренебрегают.

3. Гибкая связь (рис. 1.8, г), осуществляемая нитью, тросом, цепью. Считаем, что гибкие связи нерастяжимы и реакции и направлены вдоль них к точке их закрепления.

4. Связь в виде жесткого прямого стержня с шарнирным закреплением концов (рис. 1.8, д). Шарнир представляет собой подвижное соединение двух тел, допускающее только вращение вокруг общей оси (цилиндрический шарнир) или общей точки (шаровой шарнир). Здесь реакции направлены вдоль осей стержня, которые могут быть как растянутыми, так и сжатыми.

5. Связь, осуществляемая ребром двугранного угла или точечной опорой (рис.1.8, е).

Реакция связи направлена перпендикулярно к поверхности, опирающегося тела, если эту поверхность можно считать гладкой.

Определение реакций связей является одной из наиболее важных задач статики.

Плоская система сходящихся сил

Силы называют сходящимися, если их линии действия пересекаются в одной точке (рис. 1.9, а).

Система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости, называется плоской.

Существует два способа сложения пересекающихся сил: геометрический (рис. 1.9, б) и аналитический.

Геометрический способ сложения сходящихся сил

На основании следствия из третьей аксиомы, силу можно переносить по линии ее действия, поэтому, сходящиеся силы всегда можно перенести в одну точку - в точку пересечения их линий действия.

От произвольной точки O (рис.1.9, б) откладываем вектор, равный силе ; от конца откладываем вектор, равный силе , и т.д. Сохраняем при этом масштаб и направление сил. Затем, соединяем начало вектора с концом последнего , получаем равнодействующую всех сил системы. Построенная фигура называется силовым многоугольником.

Равнодействующая всегда направлена от начала первого слагаемого к концу последнего. Если конец последнего слагаемого вектора совпадет с началом первой, т.е. = 0, и значит, система сходящихся сил будет находиться в равновесии.

Самозамыкание силового многоугольника системы сходящихся сил является геометрическим условием её равновесия.

Аналитический способ сложения сходящихся сил

Для знакомства с этим способом необходимо ввести понятие проекции силы на ось.

Осью называют прямую линию, которой предписано определенное направление.

Проекция вектора на ось определяется отрезком оси, отсекаемой перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора. Проекция изображается вектором.

Проекция считается положительной при одинаковом направлении с осью, и отрицательной , если направлена в сторону отрицательной полуоси.

Рассмотрим ряд случаев проецирования сил на ось.

1. Вектор силы (рис. 1.10, а) составляет с положительным направление оси острый угол б:

. (1.3)

2. Вектор силы (рис. 1.10, б) составляет с положительным направление оси тупой угол б:

. (1.4)

3. Векторы сил (рис. 1.10, в и г) параллельны оси , они проецируется на эту ось в натуральную величину, т.е. и .

4. Вектор силы (рис. 1.10, д) перпендикулярен оси ,

его проекция на эту ось равна нулю, т.е. .

Рис. 1.10

Рис. 1.11

Итак, проекция силы на ось координат равна произведению модуля силы на косинус острого угла между вектором силы и положительным направлением оси.

При решении задач, в которых фигурирует плоская система сходящихся сил, как правило, необходимо определять проекции сил (рис. 1.11) на две взаимно перпендикулярные оси и . Все сказанное ранее о проекциях на ось справедливо и для проекций сил на ось . Модуль и направление силы можно определить по ее проекциям на две взаимно перпендикулярные оси:

,

тогда модуль силы: . (1.5)

Для заданной (рис. 1.12, а) системы сходящихся сил построен (рис. 1.12, б) силовой многоугольник, его замыкающая сторона есть равнодействующая системы. Проецируя все силы, входящие в многоугольник на ось , получим - проекции сил на эту ось.

Рис. 1.12

Из рисунка (рис. 1. 12, б)

;

т.е. .(1.6)

Теорема: проекция равнодействующей плоской системы сходящихся сил на любую ось равна алгебраической сумме проекций составляющих сил на ту же ось.

Модуль равнодействующей на основе выражения (1.5) можно определить:

где ; (1.7)

Условием равновесия плоской системы сходящихся сил

является равенство нулю модуля равнодействующей т.е. силовой многоугольник должен быть замкнутым (при геометрическом способе сложения) или, аналитически, проекции равнодействующей силы на оси координат должны быть равны нулю (1.7). Отсюда для плоской системы сходящихся сил получим два уравнения равновесия этих сил:

(1.8)

Следовательно, для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из координатных осей равнялась нулю.

Пара сил. Момент силы

Две равные и параллельные силы, направленные в противоположные стороны и не лежащие на одной прямой (рис. 1.13, а), называются парой сил.

Например, зажав карандаш между большим и указательным пальцами, мы можем его вращать, двигая пальцами в противоположные стороны, т.е. прикладывая к карандашу пару сил (рис. 1.13, б).

Плоскость, в которой действует пара сил, называется плоскостью действия пары.

Рис. 1.13

Количественная мера воздействия пары сил на тело зависит от модуля сил F пары и кратчайшего расстояния между линиями их действия, называемого плечом пары на рис. 1.13, а.

Пара стремится вращать тело, эта способность определяется моментом пары - равным произведению одной из сил на плечо и обозначается T,

. (1.9)

Знак «плюс» соответствует моменту пары, стремящейся повернуть тело по ходу часовой стрелки, и знак минус, если пара стремится повернуть тело против хода часовой стрелки. Принятое правило знаков для моментов пар условно: можно было бы принять противоположное правило.

В Международной системе единиц (СИ) моменты пар измеряется в ньютон-метрах или единицах кратных и т.д.

Силы, входящие в пару, не уравновешиваются, так как они приложены к двум точкам.

Свойства пар сил

1. Эквивалентность пар сил. Две пары сил считаются эквивалентными в том случае, если после замены одной пары на другую механическое состояние тела не изменяется (т.е. не изменяется движение или не нарушается равновесие).

2. Эффект действия пары сил на твердое тело не зависит от ее положения в плоскости. Т.е. пару сил можно перемещать в плоскости ее действия в любое положение.

3. Сложение пар сил. Пары, как и силы, можно складывать, т.е. заменить действие двух или нескольких пар одной равнодействующей парой.

Рассмотрим плоскую систему пар (рис. 1.14), приложенную к твердому телу (тело заменено материальной точкой).

Рис. 1.14

Моменты этих пар

.

Заменим данные пары эквивалентными так, чтобы у всех было одинаковое плечо (рис. 1.14, б).

Обозначим силы эквивалентных пар соответственно буквами , а моменты эквивалентных пар

,

тогда модули сил эквивалентных пар

Найдем равнодействующие сил , приложенных в точках А и В нового плеча. Модули этих равнодействующих:

,

и направлены они противоположно. Таким образом, они образуют равнодействующую пару, ее момент

;

(1.10)

т.е., момент равнодействующей пары равен алгебраической сумме моментов составляющих пар.

На основании приведенного правила сложения пар сил устанавливается условие равновесия системы пар сил, лежащих в одной плоскости, а именно: для равновесия системы пар необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов пар равнялась нулю.

(1.11)

Момент силы относительно точки

Сила, действующая на тело, может не только смещать его, но и поворачивать вокруг какой-нибудь точки. Пусть сила , приложенная в точке , стремится повернуть тело вокруг точки (рис. 1.15). Поскольку силу можно переносить по линии её действия, то вращательный эффект этой силы не будет зависеть от того, в какой точке эта сила приложена, а будет зависеть от расстояния от точки до линии действия силы. Точка - центр момента, а длина перпендикуляра - плечо силы относительно центра момента.

Момент принято считать положительным, если сила стремится вращать тело по часовой стрелке, а отрицательным - против часовой стрелки.

. (1.12)

Измеряются моменты сил, как и моменты пар, в ньютон-метрах или в соответствующих кратных и дольных единицах.

Плоская система произвольно расположенных сил

Приведение силы к данной точке

Пусть дана сила , приложенная к точке твердого тела, и её требуется перенести в точку (рис. 1.16). Приложим к телу в точке уравновешенную систему сил и , параллельных и равных ей по модулю (т.е. ). Теперь кроме силы , приложенной к точке , образовалась пара сил с моментом . Но момент данной силы относительно точки равен . Таким образом . Эту пару сил называют присоединенной, плечо равно плечу силы относительно точки.

Таким образом, всякую силу, приложенную к телу в данной точке, можно перенести параллельно в любую точку тела, присоединяя при этом пару сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки её приложения.

Приведение к точке плоской системы сил

Линии действия системы сил расположены произвольно на плоскости, для оценки состояния тела такую систему необходимо упростить. Для этого все силы системы переносят в одну произвольно выбранную точку, называемую центром приведения.

Пусть на твердое тело действует система сил (рис. 1.17). Приложим в точке О по две уравновешенные силы, одна из которых будет равна и параллельна заданной: а другая - равна, но направлена в противоположную сторону:

Теперь на тело действуют: система сходящихся сил и система пар сил с моментами ,



Рис. 1.17

, , . Систему сходящихся сил заменяем равнодействующей (рис. 1.17): или (что вытекает из равенства и т.д.):

. (1.13)

В соответствии со вторым свойством пары сил найдем алгебраическую сумму моментов всех сил относительно заданного центра, и называется она главным моментом системы:

. (1.14)

Итак, произвольная плоская система сил эквивалентна одной силе - главному вектору и одной паре, момент которой равен главному моменту системы.

Главный вектор - вектор, представляющий собой геометрическую сумму всех заданных сил системы, перенесенных параллельно самим себе в центр приведения (точка ).

Модуль главного вектора можно определить по его проекциям на оси ординат и на основании теоремы о проекции равнодействующей на ось (1.6), поместив при этом начало координат в центр приведения:

 (1.15)

;

.

Если за центр приведения принять другую точку, то модуль и направление главного вектора остаются неизменными, а главный момент изменяется, т.к. изменяются плечи и соответственно весь момент.

Могут встретиться следующие случаи приведения системы сил:

1. - общий случай; система приводится к главному вектору и к главному моменту.

2. - система сил приводится к паре с моментом, равным алгебраической сумме моментов всех сил относительно центра приведения. В этом случае главный момент не зависит от центра приведения.

3. - система приводится к одной равнодействующей силе, приложенной в точке O; главный вектор в этом случае является равнодействующей, так как он один заменяет совокупность действующих сил.

4. - плоская система сил находится в равновесии.

Равнодействующая плоской системы

Теорема о моменте равнодействующей (теорема

Вариньона).

Пусть плоская система приведена к главному вектору , приложенному в точке , и главному моменту (рис. 1.18).

Добавим к исходной системе момент пары сил , модуль которых выберем равным модулю главного вектора , т.е. . Плечо этой пары определим следующим образом. Одну из сил, составляющих пару (силу ), приложим в центре приведения , тогда точку приложения другой силы определим из условия равенства главного момента и момента пары сил :

.

Отсюда

. (1.16)

Силы и равны и противоположно направлены, взаимно уравновешиваются, следовательно, их можно отбросить согласно второй аксиоме статики.

Таким образом, относительно точки возникает момент силы

.

Поскольку этот момент и главный момент исходной системы уравновешивают друг друга (направлены противоположно), то главный момент рассматриваемой системы сил станет равным нулю . Таким образом, в системе остается сила , приложенная в точке и заменяющая данную систему. Она и является равнодействующей .

Следовательно, когда , , система имеет равнодействующую, равную по модулю и направленную параллельно главному вектору в ту же сторону.

Модуль момента равнодействующей относительно центра приведения (точка ), с учетом (1.16) определится как

, (1.17)

учитывая, что это модуль главного момента системы записываем тогда,

. (1.18)

Теорема Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сил относительно любого центра равен алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно этого же центра.

Из теоремы Вариньона следует, что главный момент плоской системы сил относительно любой точки, лежащей на линии действия её равнодействующей, равен нулю. С помощью теоремы Вариньона решаются многие задачи механики. В частности, легко определяется равнодействующая системы параллельных сил. Рассмотрим применение этого правила на конкретном примере.

Пример 1.1.

Определить равнодействующую системы параллельных сил , , приложенных к телу, как показано на рисунке 1.19.

Решение.

1. Находим модуль

равнодействующей силы по формуле (1.8). Приняв точку за начало координат, направим ось перпендикулярно данным силам, а ось параллельно им, направив её положительный отсчет вверх, тогда проекции каждой из сил на ось равны нулю, а проекции сил на ось равны их модулям с соответствующими знаками.

2. Модуль равнодействующей системы параллельных сил

,

Вектор равнодействующей силы направлен параллельно составляющим силам в сторону отрицательного отсчета, т.е. равнодействующая равна и направлена вниз.

3. Приняв точку за центр моментов на основании теоремы Вариньона (1.18) запишем моменты всех сил относительно точки А, при этом точкой приложения равнодействующей силы будет точка D:

.

Отсюда после подстановки числовых значений сил и плеч

, отсюда м.

Следовательно, , а её линия действия, параллельная составляющим силам, проходит от точки на расстоянии м (рис.1.19).

Уравнения равновесия плоской системы сил

При решении задач статики обычно исходят из того, что рассматриваемое в задаче тело находится в покое и, значит, согласно первой аксиоме на него действует уравновешенная система внешних сил. Если произвольная плоская система сил уравновешена, то необходимыми и достаточными условиями равновесия являются: главный вектор и алгебраическая сумма моментов всех сил относительно любой точки .

Спроектировав вектор на оси координат, получим , и так как . Зная, что , и аналитические условия равновесия произвольной плоской системы сил:

, (1.19)

т. е. алгебраическая сумма проекций всех сил системы на ось равна нулю; алгебраическая сумма проекций всех сил системы на ось равна нулю; алгебраическая сумма моментов всех сил системы относительно любой точки равна нулю.

Часто эти уравнения называют основными уравнениями равновесия. В зависимости от расположения сил иногда целесообразно составлять условия равновесия в виде двух уравнений моментов и одного уравнения проекций:

; ; . (1.20)

В этом случае ось Ох не должна быть перпендикулярна АВ.

Можно записать уравнения равновесия в виде трех уравнений моментов относительно трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой:

; ; . (1.21)

Для системы параллельных сил при условии, что оси - одна параллельна силам, а другая - перпендикулярна к ним, получим два уравнения равновесия:

; ; (1.22)

или ; . (1.23)

Виды опор балочных систем

В дальнейшем мы нередко будем встречаться с элементами различных конструкций, называемых брусьями. Брусом принято считать твердое тело, у которого длина значительно больше поперечных размеров; множество (геометрическое место) центров тяжести всех поперечных сечений называется осью бруса. Брус с прямолинейной осью, положенный на опоры и изгибаемый приложенными к нему нагрузками, называется балкой.

Чтобы балка могла воспринимать внешние нагрузки, она должна быть прикреплена к основанию с помощью устройств, называемых опорами. Схематизируя реальные опорные устройства, их можно свести к трем основным типам.

Шарнирно-неподвижная опора (рис. 1.20). Препятствует любому поступательному перемещению балки, но дает возможность поворачиваться вокруг оси шарнира.

Реакция приложена в центре шарнира; направление и значения опорной реакции неизвестны, поэтому заменяем реакцию взаимно перпендикулярными составляющими.

Шарнирно-подвижная опора (рис. 1.21). Такая опора допускает поворот вокруг оси шарнира и линейное перемещение



параллельно опорной плоскости. Реакция прикладывается в центре шарнира и направлена по нормали к опорной поверхности. Здесь неизвестно числовое значение опорной реакции.

Жесткая заделка (защемление) (рис. 1.22). Такая опора препятствует любому поступательному движению балки и повороту ее в плоскости действия сил. Неизвестными в этом случае являются не только направление реакции, но и точка её приложения. Поэтому жесткую заделку заменяют силой реакции и парой сил с моментом .

Пример 1.2

Балкас шарнирными опорами в точках и нагружена, как показано (рис. 1.23, а) моментом , сосредоточенной силой и на участке - равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью . Необходимо определить реакции опор.

Решение:

1. Заменим равномерно распределенную нагрузку её равнодействующей , приложенной по середине отрезка в точке ; освободим балку от связей, заменив их реакциями и , получим (рис. 1.23, б) действующую на балку уравновешенную систему сил.

2. Расположив оси и , как показано на рис. 1.23, б составим уравнения равновесия вида (1.20):

3. Решая уравнения, получаем: из первого уравнения

из второго уравнения

Из третьего уравнения следует, что горизонтальная составляющая шарнирно неподвижной опоры Следовательно, полная реакция этой опоры перпендикулярна балке и равна Это обстоятельство в данном случае объясняется тем, что нагрузки не стремятся сдвинуть балку в горизонтальном направлении.

4. Для проверки правильности определения реакций, составим не использованное при решении уравнение:

и увидим, что т.е. задача решена правильно.

Размещено на Allbest.ru

...