Использование математического моделирования при автоматизации диагностики искривленных пластин

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Использование математического моделирования при автоматизации диагностики искривленных пластин

Ветренко М.С.

Развитие новых технологий производства конструкционных материалов вызвало необходимость в информационном обеспечении научных исследований в области материаловедения. Требования безопасной эксплуатации изделий в энергетике, химической промышленности, на транспорте и в других отраслях накладывают жесткие ограничения на характеристики применяемых материалов. Выбор из большого числа вариантов наиболее подходящих материалов для производства особо ответственных изделий требует предварительного исследования образцов материалов, что связано с неизбежным наличием пространственно распределенных дефектов материала (микротрещин, пор, раковин, неравномерно распределенных мелкодисперсных армирующих элементов и т.д.), вызванных особенностями производственных технологий. Поэтому целесообразно, чтобы информационные системы не только содержали данные о материале, но и поддерживали возможность уточнения его характеристик по результатам диагностических испытаний.

В настоящей работе на основе модели диагностики неоднородных анизотропных пологих оболочек (панелей) исследуется задача определения упругих модулей (являющихся функциями пространственных координат) образцов материала типа искривленных пластин. Учет неоднородности, анизотропии и искривления пластины связан с необходимостью моделирования дефектов образца. Программная реализация алгоритмов решения данной задачи входит в качестве модуля в состав автоматизированной информационной системы «Диагностика композитных материалов» (АИС ДКМ) [1].

Рисунок 1 - Пологая прямоугольная оболочка со сторонами a, b и полутолщиной

Модель диагностики УПРУГОЙ ПОЛОГОЙ ОБОЛОЧКИ

В качестве модели искривленной пластины (в силу несовершенства технологии изготовления) рассмотрим прямоугольную в плане упругую неоднородную анизотропную пологую оболочку (рис.). Пологими (следуя классификации В.З. Власова [2]) считаются оболочки, для которых отношение стрелы подъема к наименьшему в плане размеру составляет менее 20%. Даже когда искривление относительно невелико (например, стрела подъема имеет порядок толщины пластины), его влияние на характер изгиба пластины может быть существенным [3]. Модель Кирхгофа-Лява для описания процесса динамического упругого деформирования неоднородной анизотропной пологой прямоугольной в плане оболочки (в соответствии с [3]) включает в себя:

-динамические соотношения (уравнения движения):

, , (1)

,, ;

-геометрические соотношения (зависимости между деформациями и перемещениями):

,(2)

,, ;

физические соотношения (зависимости между мембранными усилиями, изгибающими моментами и деформациями):

, (3)

,

где компоненты вектора перемещений в серединной поверхности оболочки u=(u1, u2) и прогиб серединной поверхности w, мембранные усилия N11, N22, N12, а также изгибающие моменты M11, M22, M12 полагаются достаточно гладкими функциями пространственных переменных x=(x1,x2) : 0 x1 a, 0 x2 b и времени t.

Физические характеристики J, J*, Aijkl, Bijkl, Cijkl, Dijkl (i,j,k,l = 1,2) и геометрические параметры кривизны пологой оболочки r11, r22, r12 полагаются гладкими функциями x.

Точка над функцией означает частную производную по времени t, индекс после запятой - частную производную по соответствующей пространственной переменной. По повторяющемуся индексу производится суммирование.

Физические характеристики оболочки связаны с соответствующими характеристиками материала. Например, если толщина оболочки постоянна, то:

, , , ,

где - плотность, - полутолщина, Eijkl - модули упругости материала.

Соотношения теории пологих оболочек (1)-(3) дополняют условия инициирования динамических процессов:

начальные условия при t=0

, , (4)

, , , ;

и граничные условия на торцах оболочки

,, (5)

,,

,,

,),

,,

,,.

Будем предполагать, что соотношения (1-5) описывают динамический процесс, инициированный при диагностическом испытании искривленной пластины. В качестве результатов измерений будем рассматривать соотношения:

, (6)

, .

Отметим, что, поскольку соотношения (1-6) содержат произведения искомых характеристик оболочки {J, J*, Aijkl, Bijkl, Cijkl, Dijkl}(x) на неизвестные деформации {ekl,kl}(x,t), то задача определения свойств оболочки на основе модели (1-6) является нелинейной.

Линеаризованная модель

Упростим построенную нелинейную модель диагностического испытания неоднородной анизотропной искривленной пластины. Предположим, что исследуемый образец представляет собой слабо искривленную слабо неоднородную и анизотропную пластину, т.е.:

, ,

где

.

Такое слабое отклонение исследуемого образца от идеального контрольного соответствует наиболее важному случаю, когда несовершенство технологии изготовления привело к дефектам структуры материала. Будем полагать, что при одинаковых условиях динамического деформирования Fs, s, s, pil, qs, Ql (i=1,2; s=1,2,3; l= 1,2,3,4) перемещения u1, u2 , w незначительно отличаются от соответствующих перемещений {u1, u2 , w}0 однородной пластины с характеристиками { J , Aijkl , Cijkl, J*, Bijkl , Dijkl }0, т.е. {u1, u2 , w}-{u1, u2 , w}0C4 {u1, u2 , w}0C4. Перемещения серединной поверхности контрольной пластины {u1, u2 , w}0(x,t) описываются соотношениями (1)-(5), в которых условно полагается rij=0 после замены: {Nij , Mij , eij , ij , ui , w , J , Aijkl , Cijkl, J*, Bijkl , Dijkl} 0{Nij , Mij , eij , ij , ui , w , J , Aijkl , Cijkl, J*, Bijkl , Dijkl }. Необходимо отметить, что данная замена (в силу изотропии предположения об изотропии контрольного материала) существенно упрощает вид соотношений (1-3), поскольку Cijkl=Bijkl=0, а компоненты тензоров {Aijkl , Dijkl}0 представляют собой линейные комбинации только двух постоянных Ламе 0 и 0. Соотношения (1-5) после замены позволяют однозначно определить процесс динамического деформирования контрольной пластины {u1, u2 , w}0(x,t).

Пренебрегая величинами порядка 2, получим из (1-6) относительно отклонений характеристик исследуемого динамического процесса от контрольного процесса {u1, u2 , w}= {u1, u2 , w}-{u1, u2 , w}0 приближенные соотношения:

,, (7)

, ,

, ;

однородные начальные условия:

, , (8)

, , , ;

однородные граничные условия на торцах оболочки:

,, (9)

,,

,,

,,

,,

,,

Информация линеаризованной задачи диагностики будет иметь вид:

, (10)

, ,

где , .

Поскольку величины с верхним индексом 0 можно полагать известными, то модель (7-10) является линейной относительно отклонений характеристик динамического процесса {u1, u2 , w}(x, t) и отклонений характеристик исследуемой пластины {J , Aijkl , Cijkl, J*, Bijkl , Dijkl}(x), а переход от соотношений (1-6) к (7-10) является линеаризацией модели (1-6).

АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ модель

При использовании модели диагностического испытания образца в рамках информационных систем, поддерживающих исследования материалов, целесообразно перейти от декларативных (описательных) моделей вида (1-6) и (7-10) к процедурным (алгоритмическим) моделям. Процедурные модели диагностики искривленных пластин основываются на алгоритмах решения начально-краевых задач для дифференциальных уравнений вида (7). Для построения постановок задач необходимо указать, какие из функций (физических величин), входящих в (7) известны, а какие являются искомыми. Как правило, неизвестными полагаются характеристики динамического процесса {Nij, Mij , eij , ij , ui , w}(x,t) и некоторые из характеристик исследуемого образца {J , Aijkl , Cijkl, J*, Bijkl , Dijkl}(x). Выбор неизвестных в соотношениях (7) обусловлен априорной информацией о возможных видах дефектов. Например, если a priori известно, что возможны только дефекты материала типа микротрещин, то, поскольку микротрещины не влияют на усредненную эффективную плотность материала, можно заранее положить J = J*= 0. Наличие выделенного направления при технологической обработке (например, направление прокатки) позволяет заранее сделать вывод о возможном типе анизотропии. Таким образом, модель (7-10) порождает большое количество возможных математических постановок задач, а, следовательно, и алгоритмов их решения. Рассмотрим общий подход к решению задач, получаемых из модели (7-10), основанный на методе стационарных базовых процессов [4]. Основная идея данного метода заключается в разбиении алгоритма решения на два подалгоритма, что разделяет определение искомых функций пространственных переменных и времени и функций только пространственных переменных. В рамках первого подалгоритма путем применения к соотношениям линеаризованной модели специальным образом построенного дифференциального оператора L (например [4], L =t2+2I, где - единичный оператор) из этих соотношений исключаются неизвестные функции пространственных переменных. Для модели (7-10) это соответствует переходу от соотношений (7) к однородным уравнениям:

, (11)

,

относительно неизвестных vi=Lui, v3=Lw. Решение уравнений (11) может быть построено, например, методом Фурье. После этого восстанавливаются характеристики динамического деформирования {ui, w}(x,t). Первый подалгоритм выполняется одинаково вне зависимости от конкретного набора неизвестных функций из {J , Aijkl , Cijkl, J*, Bijkl, Dijkl}(x). Однако этот подалгоритм возможно выполняется несколько раз, поскольку для определения нескольких неизвестных характеристик образца возможно потребуется несколько диагностических испытаний. Второй подалгоритм заключается в нахождении некоторых неизвестных функций из {J , Aijkl , Cijkl, J*, Bijkl, Dijkl}(x) из соотношений:

, (12)

,

, ,

где верхний индекс n означает номер диагностического испытания. Количество испытаний N зависит от числа искомых характеристик образца. Правые части уравнений (12) вычисляются по найденным в рамках первого подалгоритма характеристикам динамического процесса {u1, u2, w}(x, t). Решение системы (12) строится для специальным образом подобранных коэффициентов { ui, w, ekl , kl}0n (например [4], ui0n(x,t)=gin(x)sin(t), w0n(x,t)=g3n(x)sin(t)), что предполагает использование специальных режимов нагружений при диагностических испытаниях, обеспечивающих однозначность определения искомых характеристик исследуемого образца.

Выбор моделей и алгоритмов диагностики производится материаловедом (специалистом по неразрушающему контролю). Задачей информационных систем, поддерживающих исследования в области материаловедения, является обеспечение возможности такого выбора. Учитывая, что традиционные модели механики материалов и конструкций не ориентированы на использование в информационных системах, необходим переход от традиционных моделей к упрощенным (с точки зрения вычислений) моделям и далее к алгоритмическим моделям. Приведенный анализ практически важного класса моделей неоднородных анизотропных искривленных пластин является примером схемы такого перехода.

Литература

анизотропный конструкционный нелинейный

1. Ветренко, М.С. Разработка информационной системы «Диагностика композитных материалов» [Текст]/ М.С. Ветренко. - Информационные системы.- М.: Изд-во МЭСИ, с.11-16.

2. Власов, В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. [Текст] / В.З. Власов - М.; Л.: Гостехиздат, 1949.-784 с.

3. Андреев, А.Н. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания. [Текст]/ А.Н. Андреев, Ю.В. Немировский. - Новосибирск: Наука, 2001.- 288 с.

4. Ломазов, В.А. Задачи диагностики неоднородных термоупругих сред. [Текст]/ В.А. Ломазов. - Орел: ОрелГТУ, 2003.- 172 с.

Размещено на Allbest.ru