Математическая модель и алгоритм расчета лепесткового газодинамического подшипника

Размещено на http://allbest.ru

Орловский государственный технический университет

Кафедра «Динамика и прочность машин»

Математическая модель и алгоритм расчета лепесткового газодинамического подшипника

Савин Леонид Алексеевич, профессор, д.т.н.

Сытин Антон Валерьевич, аспирант

Федоров Дмитрий Игоревич, аспирант

г. Орел

Изучение процессов, происходящих в роторно-опорных узлах, и решение задач проектирования опор скольжения путем проведения полномасштабных натурных экспериментов представляется затруднительным вследствие высокой стоимости и трудоемкости таких исследований.

С учетом современного развития компьютерных технологий целесообразной является разработка математических моделей и создание на их основе программного обеспечения для расчета характеристик подшипников скольжения.

Один из путей повышения производительности машины в целом является увеличение частоты вращения рабочего узла, при этом эффективным путем повышения предельной частоты вращения роторов турбомашин является уменьшение вязкости смазочного материала.

Очевидно, что наибольшие скорости могут быть достигнуты с помощью газовой, преимущественно воздушной смазки.

Рисунок 1 - Лепестковый газодинамический подшипник с упругими элементами

Опоры с газовой смазкой практически не ограничивают частоты вращения валов, работают с весьма малыми потерями и ничтожным нагревом, сохраняют точность положения вала.

Наиболее перспективными в данном классе являются опоры с упруго-податливыми элементами - лепестковые газодинамические подшипники (рисунок 1). Податливость лепестка позволяет обеспечить чрезвычайно малые зазоры между цапфой и лепестком на большой площади и получить несущую способность, достаточную для многих высокооборотных турбомашин различного назначения.

Основными характеристиками лепесткового газодинамического подшипника являются:

* несущая способность (грузоподъемность) W и направление ее действия (угол _W); определяются соотношениями (рисунок 2):

и ,(1)

где реакции смазочного слоя могут быть найдены из соответствующих геометрических соображений (рисунок 1) по формулам (p = p(x, z)):

;(2)

* потери на трение в слое газовой смазки; определяются по формуле Н.П. Петрова:

,(3)

где - длинна подшипника, - радиальный зазор, - вязкость, - внутренний радиус подшипника, - угловая скорость, - относительный эксцентриситет.

* объемный расход смазочного материала:

(4)

Рисунок 2 - К расчету реакций смазочного слоя

Как видно из соотношений (1-4) расчет реакций смазочного слоя, а также определение основных характеристик лепесткового газодинамического подшипника требуют знания поля давлений в слое смазки. Его определение в стационарной постановке с учетом переменных теплофизических свойств смазочного материала, представляет собой смешанную задачу, в основе которой положено совместное решение уравнений:

* рейнольдса:

; (5)

* баланса энергий:

, (6)

а также зависимостей для расчета совместных деформаций лепестка и гофра под действием газодинамического давления:

(7)

где - нормальное контактное усилие (давление), - касательное контактное усилие.

Функции и связаны между собой следующим выражением:

, (8)

где - коэффициент трения.

Решение системы (7) совместно с граничными условиями однозначно определяет перемещения цилиндрической оболочки.

Аналогичным образом каждый отдельный гофр представляется в виде незамкнутой цилиндрической оболочки, рассчитываемой согласно системе (7), условия закрепления и связи гофров друг с другом моделируются граничными условиями.

Ввиду того, что сложность поставленной задачи не допускает возможности ее аналитического решения, определение поля давлений основывается на численном методе, в качестве которого используется метод конечных разностей (МКР). При решении исходной системы уравнений необходимо все фигурирующие в ней параметры привести к безразмерному виду. ротор газодинамический подшипник деформация

Обезразмеривание позволяет в значительной мере избежать влияния ошибок округления при численной реализации алгоритмов, сокращает общее число параметров построенной модели и, наконец, дает возможность наглядного сравнения одних членов дифференциального уравнения с другими. Процедура нахождения поля давлений и расчета реакций смазочного слоя представлена в виде блок-схемы на рисунке 3.

На основе математической модели и алгоритма, представленных выше, авторами было разработано программное обеспечение для расчета лепестковых газодинамических подшипников.

Следует отметить, что модуль расчета данного типа подшипников создавался в рамках разработки программного комплекса «Подшипники скольжения», что сильно сократило трудозатраты на его создание.

Программный комплекс предназначен для решения задач проектирования опор скольжения высокоскоростных роторов и структурно представляет из себя набор расчетных модулей для расчета различных типов подшипников и решения других сопутствующих задач, а также модуль пользовательского интерфейса, служащий для организации взаимодействия с пользователем (рисунок 4).

Рисунок 3 - Алгоритм расчета реакций смазочного слоя

Размещено на http://allbest.ru

Рисунок 4 - Общая структура программного комплекса «Подшипники скольжения»

В качестве средств реализации программного комплекса были выбраны интегрированная среда разработки Borland C++ Builder для модуля пользовательского интерфейса и Microsoft Visual Studio для расчетных модулей.

Такое комбинирование сред разработки позволило ускорить создание пользовательского интерфейса за счет использования средств визуального программирования без ущерба для скорости производимых расчетов.

Модуль пользовательского интерфейса предоставляет средства, необходимые для ввода исходных данных и параметров расчета, проведения вычислительных экспериментов, представления результатов расчета в предпочтительной для пользователя форме, редактирования свойств смазочных материалов.

Как уже говорилось выше, основными этапами расчета лепесткового газодинамического подшипника являются решение системы уравнений гидродинамической смазки с целью нахождения поля давлений и гидродинамических реакций смазочного слоя, а также определение деформаций упругих элементов подшипника.

Решение уравнений Рейнольдса и баланса энергий не является новой задачей, методы их решения были рассмотрены в ряде работ [2,3] и использовались при создании программ для ЭВМ [4]. Поэтому в данной работе остановимся подробнее на решении специфической для лепесткового газодинамического подшипника задаче - определении деформации лепестка и гофрированного элемента.

Для решения системы уравнений (7) использовался метод конечных разностей [1]. МКР основан на сеточной дискретизации расчетной области и замене производных, входящих в исходные уравнения, соответствующими разностными аналогами.

Вид сеточной области для незамкнутой цилиндрической оболочки представлен на рисунке 5.

Рисунок 5 - Конечно-разностная дискретизация расчетной области для разомкнутой цилиндрической оболочки

Для задания граничных условий сеточную область по краям дополняем двумя рядами законтурных точек. В каждом узле сеточной области определяем по три неизвестных узловых функции u_i,j, v_i,j, w_i,j, кроме рядов i=-2, i=n+2, j=-2, j=m+2, где заданы только функции w_i,j.

Для построения конечно-разностной модели были использованы следующие конечно-разностные центральные и нецентральные шаблоны (для производных первого и второго порядков):

;

,(9)

где u - неизвестная функция; h - шаг сетки.

Все остальные конечно-разностные аналоги (для производных более высоких порядков, а также смешанных производных) были получены путем комбинирования конечно-разностных шаблонов (9).

В результате замены системы дифференциальных уравнений (7) их конечно-разностными аналогами формируется система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с сильно разреженной несимметричной матрицей. Авторами использовался один из методов крыловского типа - обобщенный метод минимальных невязок (Generalized minimal residual method) [5].

С использованием разработанного программного обеспечения был проведен комплекс расчетов. На рисунке 6 представлены результаты расчета деформаций лепестка без кругового гофрированного элемента и совместного расчета лепестка и гофрированного элемента.

Програмное обеспечение, основанное на предложенном авторами алгоритме расчета, охватывает все этапы совместного решения уравнений газодинамики, теплофизики и теории упругости. Данный подход позволяет учесть все важнейшие явления и эффекты, возникающие в объекте моделирования и получить достоверные результаты.

а) деформации лепестка подшипника без кругового гофрированного элемента при различных граничных условиях;

б) деформации лепестка подшипника совместно с круговым гофрированным элементом

Рисунок 6 - Результаты расчета.

Литература

1. Вержбицкий, В.М. Основы численных методов [Текст] / В.М. Вержбицкий. - М.: Высшая школа, 2005. - 458с.

2. Савин, Л.А. Теоретические основы расчета и динамика подшипников скольжения с парожидкостной смазкой: Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук [Текст] / Л.А. Савин. - Орел, 1998. - 352 с.

3. Соломин, О.В. Колебания и устойчивость роторов на подшипниках скольжения в условиях вскипания смазочного материала: Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук [Текст] / О.В. Соломин. - Орел, 2000. - 375 с.

4. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2000610593. Программа расчета характеристик подшипников скольжения с криогенной смазкой («Подшипник-Криоген») [Текст] / Л.А. Савин, О.В. Соломин, Д.Е. Устинов, С.А. Жидков, С.А. Лазарев, А.Ю. Корнеев, А.О. Пугачев // Зарегистрировано в Роспатенте 7 Июля 2000 г.

5. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear System [Текст] / Y. Saad - PWS Publishing Company, 2000. - 447с.

Annotation

Mathematical model and algorithm for calculating the petal gas-dynamic bearing. Savin L.A., Sytin A.V., Fedorov D.I.

The mathematical bases and method of the calculation petal gas-dynamic bearing are considered in article. On the grounds of designed mathematical model and algorithm of the decision of the complex problem of the calculation of the features radial petal gas-dynamic bearing, is presented way of its decision with use computer.

Размещено на Allbest.ru