Закон распределения вероятности для среднего арифметического
Особенность нахождения значения среднего арифметического и оценки среднего квадратического отклонения. Построение гистограммы и выдвижение гипотезы о виде закона распределения вероятности. Представление результата в виде доверительного интервала.
| Рубрика | Производство и технологии |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 25.09.2020 |
| Размер файла | 129,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования и науки РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Тульский государственный университет»
Кафедра метрологии, стандартизации и сертификации
Контрольная работа
По дисциплине «Метрология, стандартизация и сертификация»
Выполнил
И.Э. Аверьянова, к.т.н, доц.,
Тула 2020
Дано 100 независимых числовых значений результата измерений. Данные значения расположим в вариационный ряд по возрастанию, начиная с минимального значения и укажем, сколько раз m оно повторяется (Таблица 1)
Таблица 1.
|
U |
37,44 |
37,47 |
37,48 |
37,52 |
37,55 |
37,56 |
37,60 |
37,61 |
37,62 |
|
|
m |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
2 |
|
|
U |
37,91 |
37,92 |
37,95 |
37,96 |
37,97 |
37,99 |
38,00 |
38,03 |
38,06 |
|
|
m |
7 |
2 |
2 |
2 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
|
|
U |
37,63 |
37,65 |
37,66 |
37,67 |
37,68 |
37,69 |
37,70 |
37,71 |
37,72 |
|
|
m |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
3 |
1 |
6 |
|
|
U |
37,73 |
37,74 |
37,75 |
37,76 |
37,77 |
37,78 |
37,79 |
37,80 |
37,81 |
|
|
m |
2 |
2 |
3 |
8 |
1 |
1 |
2 |
3 |
5 |
|
|
U |
37,82 |
37,83 |
37,84 |
37,85 |
37,86 |
37,87 |
37,88 |
37,89 |
37,90 |
|
|
m |
1 |
3 |
3 |
2 |
1 |
2 |
3 |
3 |
2 |
|
U |
38,07 |
38,12 |
38,13 |
38,15 |
38,21 |
|
|
m |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Решение:
1. Используя полученные данные, найдем значение среднего арифметического и оценки среднего квадратического отклонения Su .
Среднее арифметическое
= = 37,802 (1.1)
Среднее квадратическое отклонение
Su = i-)2 = 0,187 (1.2)
2. С помощью правила «трех сигм» проверим наличие грубых промахов:
= + 3д = 37,802 + 3*0,187 =38,363 (1.3)
= - 3д = 37,802 - 3*0,187 = 37,241 (1.4)
Ни один из результатов не выходит за границы интервала, , следовательно, с вероятностью 0,9973 принимается гипотеза об отсутствии грубых промахов.
3. Построение гистограммы и выдвижение гипотезы о виде закона распределения вероятности.
Для этого разбиваем вариационный ряд значений напряжения (таблица 1) на 9 интервалов.
Рассчитываем значение интервалов по формуле (1.5).
,
где k - число интервалов .
Примем k=9, тогда = ~ 0,085.
Выбираем начало первого интервала равным 37,438 < Umin
Конец последнего (9 интервала) в точке 38,212 > Umax
Затем для каждого интервала подсчитывается количество результатов , попавших в данный интервал и определяется высоту каждого столбца гистограммы:
(1.6)
Так в 8 и 9 интервал попало меньше пяти измерений, то объединяем его с седьмым интервалом. Таким образом общее число интервалов становится равным 7.
|
i |
интервалы |
mi |
ti-1 |
t |
Фi-1 |
Ф |
Pi |
pi |
||||
|
Ui-1 |
Ui |
|||||||||||
|
1 |
- ? |
37,523 |
5 |
0,35 |
- ? |
-1,492 |
- ? |
0,0681 |
0,0681 |
0,481 |
0,801 |
|
|
2 |
37,523 |
37,608 |
5 |
0,47 |
-1,492 |
-1,037 |
0,0681 |
0,1492 |
0,0811 |
1,192 |
0,954 |
|
|
3 |
37,608 |
37,693 |
11 |
1,06 |
-1,037 |
-0,583 |
0,1492 |
0.2809 |
0,1317 |
0,357 |
1,549 |
|
|
4 |
37,693 |
37,778 |
23 |
3,18 |
-0,583 |
-0,128 |
0.2809 |
0.4483 |
0,1674 |
2,340 |
1,970 |
|
|
5 |
37,778 |
37,863 |
21 |
2,47 |
-0,128 |
0,326 |
0.4483 |
0,6255 |
0,1772 |
0,610 |
2,084 |
|
|
6 |
37,863 |
37,948 |
21 |
2,59 |
0,326 |
0,781 |
0,6255 |
0.8554 |
0,2299 |
0,172 |
2,704 |
|
|
7 |
37,948 |
38,033 |
6 |
1,06 |
0,781 |
1,235 |
0.8554 |
0,8907 |
0,0353 |
1,728 |
0,415 |
|
|
8 |
38,033 |
38,118 |
4 |
|||||||||
|
9 |
38,118 |
+ ? |
4 |
Затем строится гистограмма (рис.1). При построении гистограммы выбираем масштаб таким образом, чтобы высота относилась к основанию как 5 к 8.
Рисунок 1. Гистограмма
Из вида гистограммы на рис 1 можно сделать предположение о том, что вероятность результата измерения подчиняется нормальному закону.
Проверим правдивость этой гипотезы.
4. Проверка нормальности закона распределения по критерию Пирсона.
Если выдвинута гипотеза о нормальности распределения, то для расчета вероятностей используется функция Лапласа по формуле (1.7)
(1.7)
где значения U1 и U2 соответствуют началу и концу интервала соответственно. При этом учитываем, что конец предыдущего интервала является началом следующего интервала. Для каждого из этих значений рассчитаем относительный доверительный интервал t по формуле (1.8)
(1.8)
Затем из таблиц функции Лапласа найдем соответственные значения Ф(t1) и Ф (t2). Данные заносим в таблицу 2.
Находим доверительную вероятность Pi для каждого интервала по формуле (1.9)
(1.9)
Затем рассчитаем значение и найдем суммарное значение
=6,88.
Данные расчета занесем в таблицу 2.
Определим табличное (критическое) значение , задавшись доверительной вероятностно 0,92 и вычислив по формуле r = k - 3 число степеней свободы:
r = k - 3= 7-3 = 4
= 7,7794. .
Таким образом, с вероятностью 0,92 гипотеза о нормальности распределения вероятности результата измерения напряжения принимается.
5. В тех же координатах, что и гистограмма, строим теоретическую кривую плотности вероятности. Для этого рассчитываем значения плотности вероятности для середины каждого интервала
(1.10)
Результат расчета заносим в таблицу 2. Эти значения откладываем как ординаты из середин соответствующих интервалов; полученные точки соединяем плавной кривой, симметричной относительно математического ожидания (среднего арифметического значения) (рис.1).
6. Представление результата в виде доверительного интервала.
Для этого определим стандартное отклонение среднего арифметического по формуле (1.11):
(1.11)
S u = 0,187 / v 100 = 0,0187.
Закон распределения вероятности для среднего арифметического считаем нормальным (что следует из нормальности распределения самой измеряемой величины), тогда доверительный интервал определяем по выражению
при доверительной вероятности 0,92. Этому значению соответствует аргумент функции Лаплапса t = 1,75.
37,802 - 1,75*0,0187 ? U ? 37,802 + 1,75*0,0187
или с вероятностью Р=0,92.
37,7692 В ? U ? 37,8348 В.
Учитывая то обстоятельство, что среднее квадратическое отклонение может быть оценено экспериментально с точностью до двух значащих цифр, округлим границы доверительного интервала до тысячных долей вольта. В итоге получим: арифметический вероятность доверительный интервал
37,769 В ?U? 37,835 В
Так как закон распределения вероятности для среднего арифметического считается неизвестным, то относительный доверительный интервал рассчитываем в соответствии с неравенством Чебышева:
(1.12)
0,92=1-1/t2,
Относительная ширина доверительного интервала t выбирается по-разному в зависимости от числа измерений n. Если измерений мало, т.е. n ? 25...30, то параметр t выбирается по таблицам распределения Стьюдента.
t = 2,1318
37,802 - 2,1318*0,0187 ? U ? 37,802 + 2,1318*0,0187
или с вероятностью Р=0,92.
37,7621 В ? U ? 37,8419 В
Список литературы
1. Метрология, стандартизация и сертификация: учебное пособие/В.М.Бастраков.- Йошкар-Ола: Марийский государственный технический университет, 2007.-300с.
2. Димов Ю.В. Метрология, стандартизация и сертификация: Учебник для Вузов-2-е изд.-СПб.:Питер, 2004.-432 с.; ил.
3. Крылова Г.Д. Основы стандартизации, сертификации, метрологии: Учебник для Вузов.-М.: Аудит, ЮНИТИ, 2001.-711
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Оценка истинного значения измеряемой величины. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения. Оценка точности измерений. Оценка вероятности (биномиального распределения) по относительной частоте.
реферат [277,7 K], добавлен 13.10.2013Определение количества интервалов по формуле Старджесса. Определение среднего арифметического значения и среднеквадратического отклонения. Теоретическая вероятность попадания результата измерения в каждый интервал. Основные свойства функции Лапласа.
контрольная работа [56,2 K], добавлен 16.12.2012Нахождение среднего арифметического значения выходного напряжения в каждой точке входного сигнала. Построение экспериментальной статической характеристики преобразователя. Расчет погрешности гистерезиса и класса точности измерительного преобразователя.
курсовая работа [861,5 K], добавлен 06.03.2012Однократное и многократное измерение физической величины. Определение среднего арифметического и среднеквадратического отклонения результатов серии измерений, их функциональные преобразования. Обработка экспериментальных данных при изучении зависимостей.
курсовая работа [159,6 K], добавлен 03.12.2010Проведение расчета среднего арифметического значения выходного напряжения и погрешности гистерезиса. Проверка полученных результатов на соответствие нормальному распределению. Получение аналитической функции статистической характеристики преобразователя.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 28.12.2011Характеристика современных телевизоров. Стандарты телевизионного вещания. Доверительные границы случайной погрешности результата измерения. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Результат измерения, оценка его среднего квадратического отклонения.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 14.11.2013Динамика процесса управления в статической схеме, основные понятия теории вероятности, функция распределения, плотность вероятности, законы распределения. Числовые характеристики случайных величин. Случайные процессы и их статистические характеристики.
реферат [130,2 K], добавлен 21.09.2009Разработка алгоритма статистического моделирования. Вычисление характеристик выборки. Формирование статистического ряда и графическое представление данных. Подбор подходящего закона распределения вероятностей. Определение характеристик надежности системы.
курсовая работа [322,5 K], добавлен 19.08.2014Обработка результатов прямых и косвенных измерений с использованием ГОСТ 8.207-76. Оценка среднего квадратического отклонения, определение абсолютной погрешности и анормальных результатов измерений. Электромагнитный логометр, его достоинства и недостатки.
курсовая работа [938,3 K], добавлен 28.01.2015Установление соответствия брака для формообразующих операций сравнением заданного чертежного размера детали с ожидаемым значением технологического размера. Определение вероятности брака с помощью законов нормального распределения и равной вероятности.
лабораторная работа [99,9 K], добавлен 07.06.2012Расчет допустимого значения диагностического параметра. Определение периодичности профилактики. Расчет надежности (безотказности) заданного механизма, агрегата, системы. Расчет эмпирических характеристик распределения и его теоретических параметров.
курсовая работа [264,0 K], добавлен 11.11.2013Обработка результатов равноточных многократных измерений и определение суммарной погрешности измерения в виде доверительного интервала. Расчет определяющего размера и допустимой погрешности технического требования. Задачи сертификации систем качества.
контрольная работа [1,6 M], добавлен 05.07.2014Характеристика технологического процесса, установка очистки газа от сераорганических соединений. Сбор экспериментальных данных, определение точечных оценок закона распределения результатов наблюдений. Построение гистограммы, применение контроля качества.
курсовая работа [102,6 K], добавлен 24.11.2009Сбор и обработка информации по надёжности. Определение закона распределения наработки до отказа. Анализ кривых и определение процента гильз, подлежащих обработке под ремонтный размер. Теоретический закон распределения и определение его параметров.
курсовая работа [313,5 K], добавлен 28.03.2012Персонал, привлекаемый к участию в эксперименте по оценке прецизионности. Графический анализ данных совместимости. Представление результатов и используемые обозначения. Расчет общего среднего значения и дисперсий. Статистическое тестирование выбросов.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 03.12.2014Построение эмпирической вероятности безотказной работы. Определение параметров распределения итерационным методом. Рассмотрение количественных характеристик каждого фактора в отдельности. Определение средней наработки до первого отказа устройства.
отчет по практике [500,8 K], добавлен 13.12.2017Процедура контроля партии заготовок, обработанных на станке-полуавтомате: измерение шкальным инструментом отклонения от номинального размера детали. Составление таблицы выборочного распределения и гистограммы, определение условия обеспечения качества.
курсовая работа [244,6 K], добавлен 25.03.2011Назначение и принципы работы патрона разжимного кулачкового и вилки-фланца карданного вала среднего моста. Определение и расчет погрешности базирования заготовки. Определение схемы направления сил зажима и сил резания. Выбор привода и силового механизма.
курсовая работа [246,3 K], добавлен 10.02.2016Определение порогового значения результата измерения метрологической характеристики и условия вероятности ошибок при поверке средств измерений. Изучение формы и порядка нанесения поверительных клейм. Пригодность вольтметров для дальнейшего применения.
контрольная работа [75,0 K], добавлен 12.02.2011Порядок и методика выполнения прямых измерений с многократными независимыми наблюдениями. Обработка наблюдений и оценка их погрешностей. Формулировка и проверка гипотезы тождественности теоретического и эмпирического закона распределения выборки.
курсовая работа [762,7 K], добавлен 09.03.2012
