Определение оптимального интервала дискретизации при контроле круглости деталей

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФГБОУ ВПО «Российский государственный университет туризма и сервиса», г. Москва

ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет дизайна и технологий», г. Москва

Определение оптимального интервала дискретизации при контроле круглости деталей

Голубев Олег Петрович

кандидат технических наук, доцент кафедры сервиса

Голубев Андрей Петрович

кандидат технических наук

доцент кафедры общетехнических и

естественно-научных дисциплин

Лохманов Владимир Николаевич

кандидат технических наук

доцент кафедры технологии машиностроения

Беляев Виктор Иванович

старший преподаватель кафедры технологии машиностроения

Аннотация

узел механизм круглость деталь

Вопросы контроля показателей геометрической точности формы деталей стоят в ряду определяющих параметров кинематической точности узлов и механизмов в целом. Определено значение оптимального равномерного распределения измерений по углу поворота при контроле круглости деталей.

Ключевые слова: точность, форма, контроль.

Summary

Issues of part form geometric accuracy parameter control are among the main parameters of component and mechanism kinematical accuracy as a whole. The article specified a value of optimal equilibrium rotation angle measurement distribution at part roundness control.

Key words: accuracy, form, control.

В современных условиях при создании новых конструкций машин, аппаратов и приборов на первый план выходит достижение максимального экономического эффекта за счет снижения себестоимости производства и повышения их долговечности.

Основные показатели качества машин и агрегатов зависят от точности изготовления их отдельных деталей, что предполагает постоянный рост затрат на совершенствование конструкторско-технологических процессов создания конечного продукта [1].

Вопросы контроля показателей геометрической точности формы деталей стоят в ряду определяющих параметров кинематической точности узлов и механизмов в целом [2]. Часто при выходном инструментальном и приборном контроле деталей используются методики с завышенными требованиями.

На деталях вращения цилиндрической и конической формы после обработки по условиям технологического процесса образуются поверхности с присущими им отклонениями.

Решение задачи по выбору оптимального угла дискретизации между последовательными измерениями радиуса детали в начальной стадии можно рассчитать при условии проведения двух измерений:

, (1)

где б - угол дискретизации.

Тогда экспериментальное значение погрешности Д* будет определяться как абсолютная разность измеренных радиусов (1) детали [3]:

Очевидно, что оценка погрешности формы в соответствии с выражением (2) тем точнее, чем ближе Д* к значению 2хк. Поэтому угол б следует выбрать из условия:

т.е.

(N = 0; ±1;± 2…)

Для определенности при двух измерениях принимается б = р/к.

При определении оптимального угла дискретизации между последовательными измерениями радиуса детали с тремя измерениями углы между первым и вторым, первым и третьим измерениями, соответственно, можно обозначить через б и в. Тогда математическое выражение задачи можно представить в виде:

. (3)

Графики функций (3) приведены на рисунке 1. Границами области Е, заштрихованной горизонтальными линиями, являются, графики тех функций оi (i = 1,2,3), разность между которыми принимает при данном ц наибольшее по абсолютной величине значение. Очевидно, чем больше площадь этой области, тем точнее может быть измерена погрешность формы детали.

Таким образом, решение поставленной задачи сводится к нахождению оптимальных значений б и в, при которых площадь области Е максимальна или минимальна площадь области Т, заштрихованной вертикальными линиями. Площадь области Е равна сумме площадей «треугольников» ДAMN, ДВNР и ДCPQ (рисунок 1).

Рисунок 1. К определению оптимальных углов между контрольными точками

При вычислении площади этих треугольников сначала по рисунку 1 определяются координаты их вершин:

. (5)

Так как фигуры треугольников симметричны относительно высот, опущенных из вершин А, В и С, их площади могут быть выражены интегралами:

 , (6)

где для простоты вычислений принимается амплитуда хк, равной единице, что не сказывается на конечном результате.

Вычисление интегралов (5), приходит к следующему результату:

. (7)

а) б)

Рисунок 2. Отображение области D1 (а) в область D (б), осуществляемое преобразованием х = х (б, в), у = у (б, в)

Подставляя (7) в (4) получаем:

S = .

После выполнения известных тригонометрических преобразований выражение для общей площади S принимает следующий вид:

S =

=

. (8)

Следующим шагом по решению поставленной задачи является определение значения б и в, при которых функция (8) имеет наименьшее значение. Для упрощения вычислений применяются новые переменные

, . (9)

В результате замены переменных формула (8) принимает вид:

. (10)

Далее необходимо найти область изменения переменных х и у. Неравенства 0 ? б ? в ? , заданные формулой (3), определяют треугольник ABC на плоскости (б,в) (рисунок 2, а). Преобразование (9) осуществляет отображение треугольника ABC на некоторую область D плоскости (х, у). Поскольку данное преобразование является линейным, границы области D, являющиеся отображением границ треугольника ABC также будут отрезками прямых линий. Следовательно, область D будет треугольником, для построения которого достаточно найти координаты его вершин. Отображения А', В' и С' точек А, В и С плоскости (б, в) на плоскость (х, у) в силу формулы (8) имеют координаты А'(0, 0), В'(), С'(р, 0).

Таким образом, задача сводится к нахождению наименьшего значения функции (9) в области D на плоскости (х, у) (рисунок 2, б).

Функция может достигать своего наименьшего значения или в точках, где выполняются необходимые условия экстремума, или на границах области. Необходимые условия экстремума выполняются в тех точках, где первые производные функции равны нулю или не существуют. После выполнения дифференцирования по х и у выражение (10) принимает следующий вид:

. (11)

Отсюда необходимые условия экстремума приводят к уравнениям:

. (12)

При решении системы уравнений (12) из первого уравнения системы следует, что х = р/2 или н = р/2 , и второе уравнение принимает вид

. (13)

Решение уравнения (13) относительно siny по формуле для корней квадратного уравнения представляется в виде:

= .

Отсюда получается:

= -1, =

и, следовательно,

, .

Таким образом, найдены два решения системы (12):

= р/2, = - р/2 (14)

= р/2, y2 = р/6 (15)

Если у = р/2, то второе уравнение системы (12) принимает вид:

sinx + 1 = 0,

из которого находим

х = - р/2.

Третье решение системы (12) можно записать в виде:

x3 = - р/2, y3 = р/2 (16)

Точки, определяемые формулами (14) и (16) лежат вне области D. Следовательно, внутри области D находится только одна точка (,), в которой выполняются необходимые условия экстремума функции S(x, у).

Для проверки выполнения в этой точке достаточные условия экстремума найдены вторые производные, методом дифференцирования выражения (10). В результате получено:

. (17)

Вычисление значения производных (17) в точке (, ) дает следующие значения:

. (18)

Далее составив выражение

. (19)

И подставляя значения производных (18) в (19), получается

Неравенство

(20)

совместно с выражением (20) означает, что в точке (, ) исследуемая функция имеет строгий минимум. Так как этот минимум является единственным экстремумом функции S(x, у) в области D, то функция в точке (, ) будет достигать своего наименьшего значения. Преобразование, обратное выражению (9), имеет вид

, . (21)

При подставлении х = и у = в правую часть (21) получены оптимальные значения углов дискретизации б и в

; , (22)

при которых, площадь S будет принимать наименьшее значение.

Отсюда следует заключение: если производится три дискретных измерения радиуса в поперечном сечении детали, то методическая ошибка контроля круглости будет наименьшей при угле дискретизации, равным . Аналогично можно доказать, что при n измерениях оптимальный интервал дискретизации будет равен

. (23)

Таким образом, доказано, что при контроле круглости деталей оптимальным является равномерное распределение измерений по углу поворота на интервале (0, ).

Литература

1. Гаркунов Д.Н., Мельников Э.Л., Гаврилюк В.С. Триботехника: учеб. пособие. М.: КНОРУС, 2011. 408 с.

2. Крагельский, И.В. Основы расчетов на трение и износ: научное издание / И.В. Крагельский, М.Н. Добычин, В.С. Комбалов. М.: Машиностроение, 1977. 526 с.

3. Анухин. В.И. Допуски и посадки: учеб. пособие. 4-е изд. СПб.: ПИТЕР, 2008. 207 с.

Размещено на Allbest.ru