Обработка результатов многократных измерений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВВЕДЕНИЕ

В нашей жизни в связи с развитием науки, техники, разработкой новых технологий, эталонов и средств измерений, измерения охватывают более современные физические величины, расширяются диапазоны измерений.

Постоянно растут требования к точности измерений. В таких условиях, чтобы разобраться с вопросами и проблемами измерений, метрологического обеспечения и обеспечения единства измерений, нужен единый научный и законодательный фундамент, обеспечивающий в практической деятельности высокое качество измерений, независимо от того, где и с какой целью они проводятся. Таким фундаментом является метрология.

Сегодня измерение и метрология пронизывают все сферы жизни. Только родившийся человек, еще не имея имени, сразу становится объектом измерений. В первые минуты жизни к нему применяют средства измерений длины, массы и температуры. В повседневной жизни мы также постоянно сталкиваемся с количественными оценками. Мы оцениваем температуру воздуха на улице, следим за временем, решаем насколько выгодно и рационально практически любое наше действие. С измерениями связана деятельность человека на любом предприятии. Инженеры промышленных предприятий осуществляющие метрологическое обеспечение производства должны иметь полные сведения о возможностях измерительной техники, для решения задач взаимозаменяемости узлов и деталей, контроля производства продукции на всех его жизненных циклах.

Метрология занимает особое место среди технических наук, т.к. метрология впитывает в себя самые последние научные достижения и это выражается в совершенстве ее эталонной базы и способов обработки результатов измерений.

Метрология стала наукой, без знания которой не может обойтись ни один специалист любой отрасли. В настоящее время метрология развивается по нескольким направлениям. Если еще в начале 20-го века под словом метрология понималась наука, главной задачей которой было описание всякого рода мер, применяемых в разных странах, то теперь это понятие приобрело гораздо более широкий научный и практический смысл, расширилось содержание метрологической деятельности и появилось понятие -- метрологическое обеспечение производства.

Измерения -- один из важнейших путей познания природы человеком. Они играют огромную роль в современном обществе. Наука и промышленность не могут существовать без измерений. Практически нет ни одной сферы деятельности человека, где бы интенсивно не использовались результаты измерений, испытаний и контроля.

Диапазон измерительных величин и их количество постоянно растут и поэтому возрастает и сложность измерений. Они перестают быть одноактным действием и превращаются в сложную процедуру подготовки и проведения измерительного эксперимента и обработки полученной информации.

Другой причиной важности измерений является их значимость. Основа любой формы управления, анализа, прогнозирования, контроля или регулирования -- достоверная исходная информация, которая может быть получена лишь путем измерения требуемых физических величин, параметров и показателей. Только высокая и гарантированная точность результатов измерений обеспечивает правильность принимаемых решений.

Методической основой стандартизации являются математические методы, включая предпочтительные числа и ряды предпочтительных чисел, параметрические ряды, а также унификация деталей и узлов, агрегатирование, комплексная и опережающая стандартизация.

Предпочтительные числа и ряды предпочтительных чисел необходимы для выбора оптимального ряда параметров и типоразмеров готовых изделий. Набор установленных значений параметров составляет параметрический ряд, который строится по системе предпочтительных чисел.

Прямые многократные измерения делятся на равно- и неравноточные. Равноточными называются измерения, которые проводятся средствами измерений одинаковой точности по одной и той же методике при неизменных внешних условиях. При равноточных измерениях среднее квадратичное отклонение (СКО) результатов всех рядов измерений равны между собой.

Перед проведением обработки результатов измерений необходимо удостовериться в том, что данные из обрабатываемой выборки статистически подконтрольны, группируются вокруг одного и того же центра и имеют одинаковую дисперсию. Устойчивость изменений часто оценивают интуитивно на основе длительных наблюдений. Однако существуют математические методы решения поставленной задачи -- так называемые методы проверки однородности. Применительно к измерениям рассматривается однородность групп наблюдений, необходимые признаки которой состоят в оценке несмещенности средних арифметических и дисперсий относительно друг друга.

Задача обработки результатов многократных измерений заключается в нахождении оценки измеряемой величины и доверительного интервала, в котором находится ее истинное значение. Обработка должна проводится в соответствии с ГОСТ 8.207--76 ГСИ. «Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Общие положения».

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Совокупность операций по применению технического средства, хранящего единицу физической величины, заключающихся в сравнении измеряемой величины, с её единицей, с целью получения значения этой величины или информации о нём в формате, наиболее удобном для использования называется измерением.

Измерения могут быть классифицированы:

? по характеристике точности на равноточные и неравноточные;

? по числу измерений в ряду измерений на однократные и многократные;

? по отношению к измеряемой величине статические и динамические;

? по метрологическому назначению на технические и метрологические;

? по выражению результата измерений на абсолютные и относительные;

? по общим приёмам получения результатов измерений на прямые, косвенные, совместные и совокупные.

Задача оценки результата измерения состоит в том, чтобы по полученным экспериментальным путём результатов наблюдений, содержащим случайные погрешности, найти оценку истинного значения измеряемой величины - результат измерения. Будем полагать, что систематические погрешности в результатах наблюдений отсутствуют или исключены.

К оценкам, получаемым по статистическим данным, предъявляются требования состоятельности, несмещённости и эффективности. Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа наблюдений она стремиться к истинному значению оцениваемой величины.

Оценка называется несмещённой, если её математическое ожидание равно истинному значению оцениваемой величины. В том же случае, когда можно найти несколько несмещённых оценок, лучшей из них считается та, которая имеет меньшую дисперсию. Чем меньше дисперсия. Чем меньше дисперсия оценки, тем более эффективной считают эту оценку.

Способы нахождения оценок результата зависят от вида функции распределения и от имеющихся соглашений по этому вопросу, регламентируемых в законодательной метрологии. Общие соображения по выбору оценок заключаются в следующем.

Распределения погрешностей результатов наблюдений, как правило, являются симметричными относительно центра распределения, поэтому истинное значение измеряемой величины может быть определено как координата центра рассеивания хц, т.е. центра симметрии распределения случайной погрешности (при условии, что систематическая погрешность исключена). Отсюда следует принятые в метрологии правило оценивания случайной погрешности в виде интервала, симметричного относительно результата измерения (хц±?х). Координата хц может быть найдена несколькими способами. Наиболее общим является определение центра в симметрии из принципа симметрии вероятности, т.е. нахождение такой точки на оси х, слева и справа от которой вероятности появления различных значений случайных погрешностей равны между собой и составляют Р1=Р2=0,5. Такое значение хц называется медианой.

Координата хц может быть определена и как центр тяжести распределения, т.е. как математическое ожидание случайной величины.

При ассиметричной кривой плотности распределения вероятностей оценкой центра распределения может служить абсцисса моды распределения, т.е. координата максимума плотности. Однако есть распределения, у которых не существует моды (например, равномерное), и распределения, у которых не существует математического ожидания.

В практике измерений встречаются различные формы кривой закона распределения, однако чаще всего имеют дело с нормальным и равномерным распределением плотности вероятностей.

Учитывая многовариантность подходов к выбору оценок в целях обеспечения единства измерений, правила обработки результатов наблюдений обычно регламентируются нормативно-техническими документами (стандартами, методическими указаниями, инструкциями).

Для количественной оценки случайных погрешностей и установления границ случайной погрешности результата измерения могут использоваться: предельная погрешность, интервальная оценка, числовые характеристики закона распределения. Выбор конкретной оценки определяется необходимой полнотой сведений о погрешности, назначением измерений и характером использования их результатов. Комплексы оценок показателей точности установлены стандартами.

Предельная погрешность ?m - погрешность, больше которой в данном измерительном эксперименте не может появиться. Теоретически, такая оценка погрешности правомерна только для распределений, границы которых чётко выражены и существует такое значение ±?m, которое ограничивает возможные значения случайных погрешностей с обеих сторон от центра распределения (например, равномерное).

На практике такая оценка есть указание наибольшей погрешности, которая может встретиться при многократных измерениях одной и той же величины.

Недостатком такой оценки является то, что она не содержит информации о характере закона распределения случайных погрешностей. При арифметическом суммировании предельных погрешностей получаемая сумма может значительно превышать действительные погрешности.

Более универсальным и информативным являются квантильные оценки. Площадь, заключённая под всей кривой плотности распределения погрешностей, отражает вероятность всех возможных значений погрешности и по условиям нормирования равна единице. Эту площадь можно разделить вертикальными линиями на части. Абсциссы таких линий называются квантилями. Так, на рис. 1 ?Х1 есть 25%-ная квантиль, так как площадь под кривой f(?x) слева составляет 25% всей площади. Абсцисса ?Х2 соответствует 75%-ной квантили. Между ?Х1 и ?Х2 заключено 50% всех возможных значений погрешности, а остальные лежат вне этого интервала.

Квантильная оценка погрешности представляется интервалом от -?Х(Р) до +?Х(Р), на котором с заданной вероятностью Р встречаются Р•100% всех возможных значений случайной погрешности. Интервал с границами ±?Х(Р) называется доверительным интервалом случайной погрешности, а соответствующая ему вероятность - доверительной вероятностью. Принято границы доверительного интервала указывать симметричными относительно результата измерения.

Так как квантили, ограничивающие доверительный интервал погрешности могут быть выбраны различными, то при оценивании случайной погрешности доверительными границами необходимо одновременно указывать значение принятой доверительной вероятности (например, ±0,3 при Р=0,95).

Доверительные границы случайной погрешности ?Х(Р), соответствующие доверительной вероятности Р, находят по формуле ?Х(Р)=tу, где t - коэффициент, зависящий от Р и от формы закона распределения.

В целях единообразия в оценивании случайных погрешностей интервальными оценками при технических измерениях доверительная вероятность принимается равной 0,95. Лишь для особо точных и ответственных измерений допускается применение более высокой доверительной вероятности.

Недостатком оценивания случайной погрешности доверительным интервалом при произвольно выбираемых доверительных вероятностях является невозможность суммирования нескольких погрешностей, доверительный интервал суммы не равен сумме доверительных интервалов. В то же время необходимость в суммировании случайных погрешностей существует, когда нужно оценить погрешность суммированием её составляющих, подчиняющихся к тому же разным законам распределения.

В теории вероятностей показано, что суммирование статистически независимых случайных величин осуществляется путём суммирования их дисперсий

многократное измерение физическая величина

= или (1)

Таким образом, для того чтобы отдельные составляющие случайной погрешности можно было суммировать расчётным путём, они должны быть определены своим СКО, а не предельными или доверительными границами.

Формула (1) правомерна только для некорелированных случайных величин. В том случае, когда суммируемые составляющие погрешности коррелированы, расчётные соотношения усложняются, так как требуется учёт корреляционных связей. Методы выявления корреляционных связей и их учёт являются предметом изучения в теории вероятностей.

Рассотренные свойства распределений следует понимать, как «идеальные», полученные на основе бесконечно большого числа опытов. В реальных условиях результат измерения получают либо путём обработки ограниченной группы наблюдений, либо на основе однократного измерения. Правила обработки данных для получения оценок результата и погрешности статистических измерений определены стандартами Государственной системы обеспечения единства измерений.

Многократным измерением называется измерение, результатом которого является совокупность возможных значений однократных результатов измерений y1 (x), …,yµ (x), где µ?2. Эту совокупность представим в форме вектора-столбца y(x)=(y1(x), …, yµ(x))T. Множеству возможных векторов соответствует случайный вектор многократных измерений Y(x)=(Y1(x), …,Yµ(x))T, где µ - объем многократных измерений. Таким образом, измеряемая величина x, объем многократных измерений µ для конкретного СИ (совокупности СИ) в рабочих условиях измерения определяют случайный вектор многократных измерений Y(х)= х+те (х)+E(1)

Определение точечных оценок закона распределения результатов измерений. На этом этапе определяются:

* среднее арифметическое значение х измеряемой величины;

* СКО результата измерения Sx;

* СКО среднего арифметического значения Sx. Грубые погрешности и промахи исключаются, после чего проводится повторный расчет оценок среднего арифметического значения и его СКО. В ряде случаев для более надежной идентификации закона распределения результатов измерений могут определяться другие точечные оценки: коэффициент асимметрии, эксцесс и контрэксцесс, энтропийный коэффициент.

Определение закона распределения результатов измерений или случайных погрешностей измерений. В последнем случае от выборки результатов измерений х1, х2, х3,-.., хn переходят к выборке отклонений от среднего арифметического D х1, D х2, D х3,..., D хn, где D xi= xi - х.

Первым шагом при идентификации закона распределения является построение по исправленным результатам измерений xi, где I = 1, 2,..., n, вариационного ряда (упорядоченной выборки), а также уi, где уi = min (xi) и уn = m ах(х i). В вариационном ряду результаты измерений (или их отклонения от среднего арифметического) располагают в порядке возрастания. Далее этот ряд разбивается на оптимальное число m, как правило, одинаковых интервалов группирования длиной h = (y1+ yn) / m.

Оптимальным является такое число интервалов m, при котором возможное максимальное сглаживание случайных флуктуации данных сопровождается с минимальным искажением от сглаживания самой кривой искомого распределения. Для практического применения целесообразно использовать предложенные mmin = 0,55 n0,4 и mmax = 1,25 n0,4, которые получены для наиболее часто встречающихся на практике распределений с эксцессом, находящимся в пределах от 1,8 до 6, т.е. от равномерного до распределения Лапласа.

Искомое значение m должно находится в пределах от mmjn до mmax, быть нечетным, так как при четном m в островершинном или двухмодальном симметричном распределении в центре гистограммы оказываются два равных по высоте столбца, и середина кривой распределения искусственно уплощается. В случае, если гистограмма распределения явно двухмодальная, число столбцов может быть увеличено в 1,5-2 раза, чтобы на каждый из двух максимумов приходилось примерно по m интервалов. Полученное значение длины интервала группирования h всегда округляют в большую сторону, иначе последняя точка окажется за пределами крайнего интервала.

Далее определяют интервалы группирования экспериментальных данных в виде D1 = (у1, y1 + h); D2 = (y1 + h, y1 + 2 h);....; Dm = (yn - h; уn), и подсчитывают число попаданий nk (частоты) результатов измерений в каждый интервал группирования. Сумма этих чисел должна равняться числу измерений. По полученным значениям рассчитывают вероятности попадания результатов измерений (частости) в каждый из интервалов группирования по формуле pk = nk / n, где k = l, 2,..., m.

Проведенные расчеты позволяют построить гистограмму, полигон и кумулятивную кривую. Для построения гистограммы по оси результатов откладываются интервалы Dk в порядке возрастания номеров и на каждом интервале строится прямоугольник высотой pk. В этом случае площадь под гистограммой равна единице. При увеличении числа интервалов и соответственно уменьшении их длины гистограмма все более приближается к гладкой кривой -- графику плотности распределения вероятности.

Полигон представляет собой ломаную кривую, соединяющую середины верхних оснований каждого столбца гистограммы.

Эти точки при построении полигона соединяют между собой отрезками прямых линий. В результате совместно с осью х образуется замкнутая фигура, площадь которой в соответствии с правилом нормирования должна быть равна единице (или числу наблюдений при использовании частостей).

Кумулятивная кривая -- это график статистической функции распределения. Для ее построения по оси результатов наблюдений х (рисунок 1,6) откладывают интервалы Dk в порядке возрастания номеров и на каждом интервале строят прямоугольник высотой p

По виду построенных зависимостей может быть оценен закон распределения результатов измерений.

Оценка закона распределения по статистическим критериям. При числе наблюдений n > 50 для идентификации закона распределения используется критерий Пирсона (хи-квадрат) или критерий Мизеса--Смирнова (w2). При 50 > n > 15 для проверки нормальности закона распределения применяется составной критерий (d -критерий), приведенный в ГОСТ 8.207-76. При n < 15 принадлежность экспериментального распределения к нормальному не проверяется.

Определение доверительных границ случайной погрешности. Если удалось идентифицировать закон распределения результатов измерений, то с его использованием находят квантильный множитель z p при заданном значении доверительной вероятности Р. В этом случае доверительные границы случайной погрешности А = ± z p S.

Определение границ неисключенной систематической погрешности q результата измерений. Под этими границами понимают найденные нестатистическими методами границы интервала, внутри которого находится неисключенная систематическая погрешность. Она образуется из ряда составляющих: как правило, погрешностей метода и средств измерений, а также субъективной погрешности. Границы неисключенной систематической погрешности принимаются равными пределам допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, если их случайные составляющие пренебрежимо малы. Доверительная вероятность при определении границ 6 принимается равной доверительной вероятности, используемой при нахождении границ случайной погрешности.

Определение доверительных границ погрешности результата измерения Dр. Данная операция осуществляется путем суммирования СКО случайной составляющей S x и границ неисключенной систематической составляющей q в зависимости от соотношения q / Sx. Результат измерения записывается в виде х = х ? ± Dp при доверительной вероятности Р = Р. При отсутствии данных о виде функции распределения составляющих погрешности результаты измерений представляют в виде х, S - п.8 при доверительной вероятности Р = Р д.

Грубые погрешности

Грубая погрешность (промах) - это случайная погрешность результата отдельного наблюдения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда. Источником грубых погрешностей нередко бывают резкие изменения условий измерения и ошибки, допущенные оператором. К ним можно отнести:

- неправильный отсчет по шкале измерительного прибора, происходящий из-за неверного учета цены малых делений шкалы;

- неправильная запись результата наблюдений, значений отдельных мер использованного набора, например, гирь;

- хаотические изменения параметров питающего СИ напряжения, например, его амплитуды или частоты.

Грубые погрешности, как правило, возникают при однократных измерениях и обычно устраняются путем повторных измерений. Их причинами могут быть внезапные и кратковременные изменения условий измерения или оставшиеся незамеченными неисправности в аппаратуре.

При однократных измерениях обнаружить промах не представляется возможным. Для уменьшения вероятности появления промахов измерения проводят два-три раза и за результат принимают среднее арифметическое полученных отсчетов. При многократных измерениях для обнаружения промахов используют статистические критерии, предварительно определив, какому виду распределения соответствует результат измерений.

Критерий «трех сигм» применяется для результатов измерений, распределенных по нормальному закону. По этому критерию считается, что результат, возникающий с вероятностью q 0,003, маловероятен и его можно считать промахом, если |xi - x| < 3у, где у - оценка СКО измерений. Данный критерий надежен при числе измерений n ? 20…50.

Это правило обычно считается слишком жестким, поэтому рекомендуется назначать границу центрирования в зависимости от объема выборки: при 6 n 100 она равна 4у; при 100 n 1000-4,5у; при 1000 n 10000-5у.

Данное правило также применимо для нормального закона.

В общем случае границы центрирования tгр у выборки зависят не только от объема n, но и от вида распределения. Назначая ту или иную границу, необходимо оценить уровень значимости q, то есть вероятность исключения какой либо части отсчетов, принадлежащих обрабатываемой выборке.

Критерий Романовского применяется, если число измерений n < 20. При этом вычисляется отношение:

(x - xi)/ у =(24)

n - сравнивается с критерием Т, выбранным по таблице. Если Т, то результат xi считается промахом и отбрасывается.

Критерий Шарлье используется, если число наблюдений в ряду велико (n > 20). Тогда по теории Бернулли число результатов, превышающих по абсолютному значению среднее арифметическое значение на величину Кш у, будет n[ 1- Ф(Кш)], где Ф(Кш)- значение нормальной функции Лапласа для Х = Кш.

Если сомнительным в ряду результатов наблюдений является один результат, то n[ 1- Ф(Кш)] =1. Отсюда Ф(Кш) = (n-1)/1.

Пользуясь критерием Шарлье, отбрасывают результат, для значения которого в ряду из n наблюдений выполняется неравенство:

x - xi> Кш Sx.(25)

Вариационный критерий Диксона - удобный и достаточно мощный (с малыми вероятностями ошибок). При его применении полученные результаты наблюдений записывают в вариационный возрастающий ряд:

x1,x2, …,xn (x1<x2< …<xn)(26)

Критерий Диксона определяется как Кд = (xn - xn-1)/(xn-x1).

Критическая область для этого критерия Р (Кд >zq) = q.

Обработка результатов измерений

Перед проведением обработки результатов измерений необходимо удостоверится в том, что данные из обрабатываемой выборки статистически подконтрольны, группируются вокруг одного и того же центра и имеют одинаковую дисперсию.

Задача обработки результатов многократных измерений заключается в нахождении оценки измеряемой величины и доверительного интервала, в котором находится её истинное значение. Обработка должна проводиться в соответствии с ГОСТ 8.207-76 «ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Общие положения».

Последовательность обработки результатов прямых многократных измерений состоит из ряда этапов.

а) Определение точечных оценок закона распределения результатов измерений. На этом этапе определяются:

- среднее арифметическое значение х измеряемой величины по формуле:

х =1/n xi.(27)

- СКО результата измерения Sx по формуле:

= Sx =Д(х) =(1/n-1) (xi -x)2(28)

- СКО среднего арифметического значения Sx по формуле:

Sx= Sx/n = (1/n(n-1)) (xi -x)2(29)

В соответствии с критериями, грубые погрешности и промахи исключаются, после чего проводится повторный расчет оценок среднего арифметического значения и его СКО.

б) Определение закона распределения результатов измерений или случайных погрешностей измерений. Первым шагом при идентификации является построение по исправленным результатам измерений xi, где i = 1,2,…,n, вариационного ряда, а так же yi, где yi = min(xi) и yn = man(xi). В вариационном ряду результаты измерений располагаются в порядке возрастания. Дальше этот ряд разбивается на оптимальное число m, как правило, одинаковых интервалов группирования длиной h =(y1+ y2)/m.

Полученное значение длины интервала группирования h всегда округляется в большую сторону, иначе последняя точка окажется за пределами крайнего интервала.

Далее определяют интервалы группирования экспериментальных данных в виде 1= (y1, y1+h); 2= (y1+h, y1+2h);…; m= (yn-h, yn), и подсчитывают число попаданий nk (частоты) результатов измерений в каждый интервал группирования. Сумма этих чисел должна равняться числу измерений. По полученным значениям рассчитывают вероятности попадания результатов измерений (частости) в каждый из интервалов группирования по формуле: Pi = ni/n, где n =1,2,…m.

Проведенные расчеты позволяют построить гистограмму. Для построения гистограммы по оси результатов наблюдений х откладывают интервалы к в порядке возрастания номеров и на каждом интервале строится прямоугольник высотой Pi. Иногда высоту прямоугольника откладывают равной эмпирической плотности вероятности Р*К = РК/К = nK/(n К), которая является оценкой средней плотности в интервале К. В этом случае площадь под гистограммой равна 1.

По виду построенных зависимостей может быть оценен закон распределения результатов измерения.

в) Оценка закона распределения по статистическим критериям. При числе наблюдений n >50 для идентификации закона распределения используется критерий Пирсона (хи-квадрат) или критерий Мизиса - Смирнова (2). При 15< n < 50 для проверки нормальности закона распределения применяется составной критерий (d- критерий), приведенный в ГОСТ 8.207-76. При n<15 принадлежность экспериментального распределения к нормальному не проверяется.

г) Определение доверительных границ случайной погрешности. Если удалось идентифицировать закон распределения результатов измерений, то с его использованием находят квантильный множитель zp при заданном значении доверительной вероятности Р. В этом случае доверительные границы случайной погрешности: = zpSx.

д) Определение границ неисключенной систематической погрешности результата измерений. Под этими границами понимают найденные нестатистическими методами границы интервала, внутри которого находится неисключенная систематическая погрешность. Границы неисключенной систематической погрешности принимаются равными пределам допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, если их случайные составляющие пренебрежимо малы. Доверительная вероятность при определении границ принимается равной доверительной вероятности, используемой при нахождении границ случайной погрешности.

е) Определение доверительных границ погрешности результата измерения Р. Данная операция определяется путем суммирования СКО Случайной составляющей Sx и границ неисключенной систематической составляющей в зависимости от соотношения / Sx.

ж) Запись результата измерения. Результат измерения записывается в виде: X=X p, при доверительной вероятности Р =Рд. При отсутствии данных о виде функции распределения составляющих погрешности результаты измерений представляют в виде х, Sx, n, при доверительной вероятности Р =Рд.

РАСЧЕТ

Первоначальный набор измеренных величин имеет вид:

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Xi	51,160	50,165	50,170	50,175	50,150	50,185	50,180	50,190	50,155
i	10	11	12	13	14	15	16	17	18
Xi	50,116	50,817	50,817	50,918	50,515	50,519	50,918	50,990	50,515

Найдем среднее арифметическое по формуле:

, Xср = 50,480

Далее для каждого измерения найдем случайные отклонения результатов и квадраты случайных отклонений. Итог занесем в таблицу:

i	Xi	Случайные отклонения результатов измерений Xi-Xср	Квадраты случайных отклонений результатов (Xi-Xср)2
1	51,160	0,680	0,462
2	50,165	-0,315	0,099
3	50,170	-0,310	0,096
4	50,175	-0,305	0,093
5	50,150	-0,330	0,109
6	50,185	-0,295	0,087
7	50,180	-0,300	0,090
8	50,190	-0,290	0,084
9	50,155	-0,325	0,106
10	50,116	-0,364	0,132
11	50,817	0,337	0,114
12	50,817	0,337	0,114
13	50,918	0,438	0,192
14	50,515	0,035	0,001
15	50,519	0,039	0,002
16	50,918	0,438	0,192
17	50,990	0,510	0,260
18	50,515	0,035	0,001
Суммы	908,655	0,015	2,234

Произведем оценку среднеквадратического отклонения. Для чего рассчитаем SR по формуле:

Таким образом получаем:

SR = 0,362

Проведем проверку нормальности распределения результатов измерений. Для чего построим вариационный ряд, найдем значения статистической функции распределения Fn(Xk) и значения Zk, соответствующие значениям функции.

Значения функции Fn(Xk) определяются по формуле:

Вариационный ряд k	Вариационный ряд Xk	Статистическая функция распределения Fn(Xk)	Zk
1	50,116	0,053	-1,68
2	50,150	0,105	-1,22
3	50,155	0,158	-0,85
4	50,165	0,211	-0,72
5	50,170	0,263	-0,55
6	50,175	0,316	-0,45
7	50,180	0,368	-0,2
8	50,185	0,421	-0,08
9	50,190	0,474	0,01
11	50,515	0,579	0,18
12	50,519	0,632	0,33
14	50,817	0,737	0,43
16	50,918	0,842	0,53
17	50,990	0,895	0,69
18	51,160	0,947	0,85

Далее в координатах X-Z точками отметим значение Zk, соответствующие Xk

Тот факт, что все отмеченные точки находятся вдоль одной прямой, свидетельствует о том, что случайные отклонения измеряемой величины следуют нормальному закону распределения.

Проверим, не содержится ли промах (грубая погрешность) в максимальном и минимальном значениях наблюдений. Поскольку число наблюдений равно двадцати, воспользуемся критерием Граббса. Для этого найдем:



G1 = 1,876 G2 = 1,004;

И сравним их с табличным значением. Для числа измерений 20 и уровне значимости выше 5%, это значение будет равно:

Gт = 2,709;

Очевидно, что оба вычисленных ранее значения меньше табличного. Это значит, что грубых промахов не содержится ни в максимальном, ни в минимальных значениях.

Для нахождения доверительной погрешности необходимо найти среднеквадратическое отклонение результата измерений. Находится оно по формуле:

S(xcp) = 0,007181;

Для числа степеней свободы n-1 = 19 и доверительной вероятности P = 0,95 найдем по таблице коэффициент Стьюдента tx = 2,0935.

Доверительную погрешность результата измерений определим по формуле:

Итоговая таблица

i	Xi	Случайные отклонения результатов измерений Xi-Xср	Квадраты случайных отклонений результатов (Xi-Xср)2	Вариационный ряд k	Вариационный ряд Xk	Статичтическая функция распределения Fn(Xk)	Zk	Zk рассчитанное по формуле стр 10
1	51,160	0,680	0,462	1	50,116	0,053	-1,68	-1,004
2	50,165	-0,315	0,099	2	50,150	0,105	-1,22	-0,910
3	50,170	-0,310	0,096	3	50,155	0,158	-0,85	-0,897
4	50,175	-0,305	0,093	4	50,165	0,211	-0,72	-0,869
5	50,150	-0,330	0,109	5	50,170	0,263	-0,55	-0,855
6	50,185	-0,295	0,087	6	50,175	0,316	-0,45	-0,841
7	50,180	-0,300	0,090	7	50,180	0,368	-0,2	-0,828
8	50,190	-0,290	0,084	8	50,185	0,421	-0,08	-0,814
9	50,155	-0,325	0,106	9	50,190	0,474	0,01	-0,800
10	50,116	-0,364	0,132	11	50,515	0,579	0,18	0,097
11	50,817	0,337	0,114	12	50,519	0,632	0,33	0,108
12	50,817	0,337	0,114	14	50,817	0,737	0,43	0,930
13	50,918	0,438	0,192	16	50,918	0,842	0,53	1,208
14	50,515	0,035	0,001	17	50,990	0,895	0,69	1,407
15	50,519	0,039	0,002	18	51,160	0,947	0,85	1,876
16	50,918	0,438	0,192
17	50,990	0,510	0,260
18	50,515	0,035	0,001
Суммы	908,655	0,015	2,234

; 0,002;

Окончательные результат измерений (значение измеряемой величины) можно представить в виде:

Х = 50,480 ± 0,002; (Р = 95%)

Хср = 50,480; S(Xcp) = 0,007181;

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В основе любого измерительного процесса, независимо от объекта измерения, измеряемой физической величины, принципа измерения, способа обработки информации, лежат одни и те же закономерности. Точное описание измерительных процедур опирается на определение цели и особенностей измерений. Это выражается в алгоритмизации измерений, когда содержательное описание процедур и результатов заменяется формализованным.

Любое современное производство должно быть оснащено измерительными средствами, позволяющими осуществлять точный и объективный контроль технологического процесса. От этого зависят уровень качества продукции и производительность. В автоматизированном производстве своевременное получение необходимой достоверной измерительной информации является одним из важнейших условий качественного управления оборудованием. С другой стороны, развитие и совершенствование технологических процессов в области получения новых материалов и элементов создают возможности для совершенствования и создания принципиально новых средств измерительной техники.

Применение рядов предпочтительных чисел представляет собой параметрическую стандартизацию, которая позволяет получить значительный эффект на всех стадиях жизненного цикла изделий (проектирование, изготовление, эксплуатация и др.) Стандартами параметров охватывается большой диапазон характеристик изделий: материалы, заготовки, размерный режущий инструмент, оснастка, контрольные калибры, узлы по присоединительным размерам, выходные параметры электродвигателей и многое другое, что используется в той или иной отрасли промышленности.

Многократные измерения проводятся для уменьшения влияния случайных погрешностей. Результат каждого измерения при этом дает оценку измеряемой величины. Неравноточные результаты измерений возникают, если заданная величина измерялась средствами измерений: различной точности; одинаковой точности, но при разном числе измерений; одинаковой точности при одинаковом числе измерений, но в различных условиях.

Использование критерия ничтожных погрешностей при анализе частных погрешностей косвенных измерений позволяет выделить те величины, которыми существенно влияют на погрешность результата. Повышение точности измерения этих величин позволит уменьшить суммарную погрешность.

Для того чтобы рассчитать значения искомых величин, достаточно иметь m уравнений, т.е. столько, сколько имеется неизвестных. В этом случае результаты измерений и доверительные границы их погрешностей можно найти методами обработки результатов косвенных измерений. Практически для уменьшения погрешности результата делается значительно больше измерений, чем необходимо для определения m неизвестных.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бурдун Г.Д., Марков Б.Н. Основы метрологии [Текст]/ Г.Д. Бурдун, Б.Н. Марков, М.: Изд-во стандартов, 2012.

2. Глаголевский В. Г. «Измерения и обработка результатов наблюдений» [Текст]/ В. Г. Глаголевский, Л.: ЛИАП, 2012.

3. Горбоконенко, В. Д. Метрология в вопросах и ответах [Текст]/ В.Д. Горбоконенко, В.Е. Шикина, Ульяновск: УлГТУ, 2010.

4. Кравченко Н.С. Методы обработки результатов измерений и оценки погрешностей в учебном лабораторном практикуме: учебное пособие [Текст]/ Н.С. Кравченко, Томск: Изд-во ТПУ, 2011.

5. Кузнецов В.А., Ялунина Г.В. «Основы метрологии» [Текст]/ В.А. Кузнецов, Г.В. Ялунина, М.: изд-во стандартов, 2013.

6. Кузнецов Н.Д., Чистяков В.С. Сборник задач и вопросов по теплотехническим измерениям и приборам: Учеб. Пособие [Текст]/ Н.Д. Кузнецов, В.С. Чистяков, М.: Энергия, 2012.

7. Кунце Х.И. Методы физических измерений [Текст]/ Х.И. Кунце, М.: Мир, 2013.

8. Метрология [Электронный ресурс] - Режим доступа: metrolog.aci.uz/book_4.7.htm

9. Многократные прямые измерения [Электронный ресурс] - Режим доступа:http://edu.dvgups.ru

10. Назаров Н.Г. Метрология. Основные понятия и математические модели: Учеб. пособие для вузов [Текст]/ Н.Г. Назаров, М.: Высш. шк., 2012.

11. Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей измерений [Текст]/ П.В. Новицкий, И.А. Зограф, Ленинград: Энергоатомиздат, 2011.

12. Обработка результатов прямых многократных измерений [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://allbest.ru/k.html

13. Пустыльник Е.И. Статистические методы анализа и обработки наблюдений [Текст]/ Е.И. Пустыльник, М.: Изд. Наука, 2013.

14. Радкевич Я.М. Метрология, стандартизация и взаимозаменяемость [Текст]/ Я.М. Радкевич, М.: изд-во МГГУ, 2014.

15. Сергеев А.Г., Крохин В.В. «Метрология. Карманная энциклопедия студента» [Текст]/ А.Г. Сергеев, В.В. Крохин, М: изд-во Логос, 2011.

16. Сергеев А.Г., Крохин В.В. Метрология: Учеб. пособие для вузов [Текст]/ А.Г. Сергеев, В.В. Крохин, М.: Логос, 2011.

17. Тартаковский Д.Ф., Ястребов А.С. Метрология, стандартизация и технические средства измерения [Текст]/ Д.Ф. Тартаковский, А.С. Ястребов, М.: изд-во Высшая школа, 2011.

18. Шелепаев А.Г. Обработка результатов наблюдений при прямых измерениях [Текст]/ А.Г. Шелепаев, Новосибирск: НГАС, 2013.

19. Шелепаев А.Г. Основы метрологии: Конспект лекций. [Текст]/ А.Г. Шелепаев, Новосибирск: НГАС, 2013.

20. Шишкин И.Ф. Основы метрологии, стандартизации и контроля качества [Текст]/ И.Ф. Шишкин, М.: Изд. Стандартов, 2013.

Размещено на Allbest.ru

...