Применение характеристик надежности для исследования свойств текстильных материалов

Размещено на http://www.allbest.ru

Применение характеристик надежности для исследования свойств текстильных материалов

Кирюхин С. М.

Рассмотрены теоретические основы и некоторые экспериментальные результаты применения характеристик надежности при исследовании свойств текстильных материалов. В основу данной работы положена концепция статистического характера показателей качества текстильных материалов и использования статистических моделей распределения их параметров, для расчета характеристик надежности.

Ключевые слов: текстильные материалы; теория надёжности; расчёт характеристики надёжности; статистические модели распределения параметров; законы распределения свойств текстильных материалов.

надежность текстильный экспериментальный

ВВЕДЕНИЕ

Исследования свойств текстильных материалов проводят для решения очень широкого круга задач теоретического и прикладного характера. К ним, прежде всего, относятся: изучение физических явлений, обуславливающих те или иные свойства, прогнозирование поведения текстильных материалов при переработке и эксплуатации изготовленных из них изделий, оценка и контроль их качества.

Практически все свойства текстильных материалов, выражаемые количественно через показатели качества, носят статистический характер. Т.е. они подвержены определенной изменчивости даже внутри одного вида испытуемого материала. Поэтому при обработке результатов исследования текстильных материалов широко применяют методы математической статистики и теории вероятностей. При этом, обычно, ограничиваются подсчетом сводных характеристик выборки: среднего, среднего квадратического отклонения, коэффициента вариации и оценкой по ним с заданной вероятностью соответствующих значений в генеральной совокупности.

Средние значения, как сводные характеристики результатов испытаний текстильных материалов, имеют ряд преимуществ. Но, в тоже время, им свойственен и существенный недостаток. Простой пример. Определяя значение критической крутки пряжи, находят зависимость средней разрывной нагрузки от какой-либо характеристики скрученности нити. Считают, что значение критической крутки будет соответствовать максимальной величине средней разрывной нагрузки. Данное значение крутки для этой нити принимается оптимальным с точки зрения ее переработки и качества изготовленных из нее текстильных изделий. Однако, ни в процессе переработки, ни тем более при эксплуатации текстильных изделий нить никогда не будет испытывать нагрузки, близкие к средней разрывной. Следовательно, найденное таким образом значение критической крутки нити по величине средней разрывной нагрузки может оказаться совсем неоптимальным с учетом условий ее переработки и эксплуатации изготовленных из нее текстильных изделий. Более правильно было бы построить зависимость и найти значение критической крутки для нагрузок много меньших средней разрывной.

И таких примеров можно привести достаточное количество из различных областей исследования и оценки качества текстильных материалов.

Для исследования поведения разнообразных видов продукции и материалов в различных условиях и режимах переработки и эксплуатации применяют специальные методы, в том числе и методы теории надежности, [1].

ТЕОРИЯ НАДЁЖНОСТИ

Теория надежности является общей научной дисциплиной, занимающейся изучением закономерностей возникновения отказов, анализом влияния внешних и внутренних факторов на надежность, установлением количественных характеристик, методов оценки и расчета надежности, разработкой методов испытаний, определением способов обеспечения надежности для проектирования, изготовления и эксплуатации продукции.

Теория надежности, как самостоятельная научная дисциплина, сформировалась сравнительно недавно, в начале 40-х годов прошлого века. Ее появление было вызвано необходимостью оценки и прогнозирования поведения при эксплуатации сложных технических устройств. В настоящее время круг задач, решаемых с использованием методов теории надежности значительно расширился. Сегодня практически нет ни одной отрасли промышленности, где при исследовании и оценке качества продукции не применялись бы методы теории надежности.

В текстильном материаловедении первые публикации о применении методов теории надежности появились в начале 70-х годов прошлого века. Хотя само по себе изучение характеристик надежности текстильных материалов проводилось и раньше.

Ключевым понятием в теории надежности является «отказ» - частичная или полная утрата или видоизменение показателей качества, существенно снижающая или делающая невозможным эффективное использование материала или изделия по назначению.

При исследовании текстильных материалов, связанных с их испытанием, за «отказ» можно считать наступление любого интересующего исследователя события. Например, при изучении механических свойств это может быть доведение пробы до разрушения, до заданной нагрузки или деформации, числа циклов нагружения, истирания, определенной величины остаточной деформации и т.п. При исследовании физических свойств текстильных материалов за «отказ» можно принимать видоизменение изучаемого показателя до определенной величины. Например, достижения определенной влажности, гигроскопичности, воздухопроницаемости, паропроницаемости, прочности окраски и любых других исследуемых показателей качества или характеристик волокон, нитей и текстильных изделий.

Первая задача, которую приходится решать при исследовании надежности изучаемого объекта, это выбор модели отказов, за которую чаще всего принимаются теоретические законы распределения случайных величин. Модель явления или процесса, выраженная через теоретический закон распределения результатов эксперимента, дает возможность представить изучаемый объект в целом, найти общие закономерности среди его модификаций, изучить количественные соотношения внутри самого явления или процесса, сделать определенные выводы относительно его физической сущности.

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ - ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

СВОЙСТВ ТЕКСТИЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВ

При исследовании свойств текстильных материалов целесообразно использовать следующие теоретические законы распределения непрерывных случайных величин: нормальное распределение (распределение Гаусса), распределение экстремальных величин I типа (распределение Гумбеля), распределение экстремальных величин III типа (распределение Вейбулла), экспоненциальное распределение, логарифмически нормальное распределение и др. [2]

Нормальное распределение - одна из первых и, вероятно, наиболее распространенных статистических моделей, которые используются для интерпретации результатов различных испытаний.

Адекватность статистической модели закономерности случайного рассеивания для нормального распределения предполагает, что случайно варьирующая величина является результатом большого числа независимых и очень малых по величине воздействий, из которых ни одно не является решающим для появления данного результата.

Теоретическим обоснованием нормального распределения является одна из центральных предельных теорем математической статистики, согласно которой распределение среднего независимых случайных величин, распределенных по любому закону или даже имеющих различные распределения, приближается к нормальному при увеличении числа независимых случайных величин. Плотность вероятностей - дифференциальная функция нормального распределения - имеет вид

, (1)

где - среднее, характеризующее центр распределения; - среднее квадратическое отклонение, определяющее масштаб, и существует при .

Интегральная функция закона нормального распределения:

dx. (2)

Долгое время предполагалось, что нормальное распределение является основным и что оно может быть использовано в качестве статистической модели для описания большинства явлений в природе, в том числе и для интерпретации результатов различных испытаний. В настоящее время такое допущение считается ошибочным. Известно положение, когда на результат появления случайной величины, например характеристику того или иного свойства материала, оказывает преобладающее влияние какой-либо один фактор, не подчиняющийся нормальному закону. В этом случае нет теоретических оснований ожидать появления нормального распределения.

Логарифмически нормальное распределение является статистической моделью, связанной с нормальным законом следующим образом.

Пусть представляет собой последовательность случайных величин, например размер дефекта в материале на последовательных этапах его роста. Когда дефект достигает величины , материал разрушается. Допустим, увеличение дефекта на каждом этапе пропорционально уже достигнутой за все предыдущие этапы величине , т.е.

, 1, 2, …, n (3)

Это выражение можно записать как

, (4)

где х0 - начальная величина дефекта; 1, 2 - независимые положительные случайные величины.

Когда дефект достигает величины хn , материал разрушается. В этом случае модель распределения ресурса материала представляет собой распределение величины хn. Полагая i=n , получаем хn в виде произведения независимых положительных случайных величин. Логарифм хn равен сумме логарифмов сомножителей. И тогда согласно центральной предельной теореме lg хn имеет асимптотически нормальное распределение, а сама величина хn и ресурс материала - логарифмически нормальный закон. Таким образом, адекватность статической модели закономерности случайного рассеивания для логарифмически нормального распределения предполагает, что случайно варьирующая величина является произведением большого числа малых по величине воздействий.

Известны двух- и трехпараметрические логарифмически нормальные распределения. Чаще используют двухпараметрический закон. Плотность вероятностей этого закона имеет вид

(5)

и существует при х>0.

Параметр - среднее по логарифмам х - ведёт себя как параметр масштаба распределения, а - дисперсия по логарифмам х как параметр формы.

Интегральная функция логарифмически нормального распределения

(6)

Наряду с десятичными логарифмами могут использоваться и натуральные.

Между - средним, найденным по значениям х, и - средним, найденным по значениям , существует соотношение

(7)

Для справедливо уравнение

, (8)

где k - антилогарифм величины .

Логарифмически нормальное распределение широко применяется для интерпретации результатов испытаний, оценки показателей качества и прогнозирования надёжности различных материалов, разрушение которых наступает вследствие различного рода установленных явлений, например усталостных трещин.

Экспоненциальное распределение является одной из основных статистических моделей в теории надёжности.

Адекватность статистической модели закономерности случайного рассеяния для экспоненциального распределения предполагает, что случайно варьирующаяся величина является результатом некоторого одиночного события, например внезапного роста напряжения выше допустимого, при условии, что такого рода события происходят независимо одно от другого и с постоянной интенсивностью.

Плотность вероятностей экспоненциального закона имеет вид

(9)

и существует при x>0.

Единственный параметр распределения оценивается как

, (10)

где и - соответственно среднее и среднее квадратическое отклонения.

Интегральная функция экспоненциального распределения

.(11)

Экспоненциальное распределение имеет место в том случае, если объект сложен и возможно большое число отказов различных элементов объекта, при этом явления износа и старения настолько слабо выражены, что ими можно пренебречь.

Экспоненциальное распределение может дать свертку (композицию распределений), отличную от экспоненциального закона. Например, если имеется система из n параллельно соединённых звеньев, ресурс каждого из которых распределён по экспоненциальному закону, и система выходит из строя лишь при отказе всех звеньев, то свертка распределений - плотность вероятностей ресурса всей системы - имеет вид

, (12)

где Г() - гамма-функция; и - параметры, и существует при x>0.

Это распределение модели резервированных звеньев и называется гамма-распределением.

Оно также широко используется при оценке свойств и надёжности различных материалов. При числе параллельных (дублирующих) звеньев гамма-распределение вырождается в нормальное, а при 1 - в экспоненциальное. Кроме того, модель, лежащая в основе гама-распределения, предполагает, что резервированные звенья остаются ненагруженными, а при включении их в работу сразу заменяют при выходе из строя.

Распределение экспериментальных величин 1-го типа является статистической моделью теории слабейшего или наиболее прочного звена.

Рассмотрим вначале модель слабейшего звена. Согласно этой теории материал, например образец ограниченной длины, может быть представлен в виде цепи, состоящей из звеньев. Прочность цепи будет зависеть и определяться прочностью наиболее слабого звена. Действительно, при испытаниях, например определении прочности отрезка нити заданной длины, получаемый результат есть минимальная величина прочности из большого числа этих значений, взятых по сечению испытуемого образца. Таким образом, распределение прочности образца определяется законом распределения наименьшей (крайней, или экстремальной) порядковой статистики выборки объёма n. Так как точное распределение прочности по сечению испытуемого образца неизвестно, то законы распределения экстремальных величин являются асимптотическими, т.е. приближёнными.

Предполагая, что прочность всех звеньев - независимые случайные величины, распределённые по одному и тому же закону Fi(x) c плотностью fi(x) - функции прочности цепи, определяемой наименьшей порядковой статистики выборки объёма n, будут иметь вид

, (13)

. (14)

Учитывая, что для случайной величины плотность вероятности наименьшей порядковой статистики для Y стремится к e-Y при и полагая, что звенья имеют распределение экспоненциального типа, можно получить плотность вероятностей закона распределения экстремальных величин 1-го типа для минимальных значений

, (15)

где А - мода распределения, В - параметр масштаба.

Функция существует при .

Интегральная функция закона 1-го типа для минимальных значений имеет вид

. (16)

Модель наиболее прочного звена предполагает, что в системе имеет n параллельно соединённых звеньев и прочность всей системы определяется наиболее прочным звеном, т.е. тоже экстремальной величиной.

Плотность вероятностей закона распределения экстремальных величин 1-го типа для максимальных значений

. (17)

Интегральная функция закона 1-го типа для максимальных значений

. (18)

Оценка параметров распределений 1-го типа может быть проведена по - среднему и - среднему квадратическому отклонению:

для минимальных значений

; (19)

для максимальных значений

; (20)

, (21)

где К1 и К2 - коэффициенты, зависящие от числа испытаний в выборке.

Распределение экстремальных величин 3-го типа - статистическая модель, широко используемая в теории надёжности, в том числе для материалов и изделий, подверженных усталостному разрушению.

Теоретическое обоснование закона 3-го типа аналогично обоснованию закона 1-го типа (теория слабейшего звена), но имеет некоторые ограничения. Например, оно характерно для тех случаев, когда распределение величин последовательности имеют границы, т.е. лежат в определённом интервале.

Плотность вероятностей закона 3-го типа имеет вид

, (22)

где а и b - параметры масштаба и формы, существует при x>0.

Известен трёхпараметрический закон 3-го типа

, (23)

где y - параметр положения.

Для решения практических задач чаще используют двухпараметрическое распределение 3-го типа, принимая y=0.

Интегральная функция 3-го типа

. (24)

Между параметрами a, b, - средним и - средним квадратическим отклонением существуют соотношения

; (25)

, (26)

где - гамма функция.

При b=1закон 3-го типа вырождается в экспоненциальное распределение.

Законы экстремальных величин тесно связаны один с другим. Нап-ример, можно показать, что после замены и подстановки в формулу и получим , т.е. имеет функцию распределения закона 1-го типа. Следовательно, логарифм случайной величины, имеющей распределение экстремальных величин 1-го типа для минимальных значений, подчиняется распределению экстремальных величин 3-го типа.

Законы экстремальных величин получили в настоящее время широкое применение, в том числе и для интерпретации результатов испытания механических свойств различных материалов.

Использование различных моделей отказов при интерпретации результатов испытания позволяет более глубоко исследовать свойства текстильных материалов, правильнее выбирать методы оценки их качества. Например, вероятностно-статистические модели нормального закона и закона распределении экстремальных величин I типа наиболее соответствуют механизму разрушения текстильных материалов при полуцикловых испытаниях, а закона III типа, экспоненциального и логарифмически нормального - при многоцикловых испытаниях. Остаются пока мало изученными для текстильных материалов законы распределения одноцикловых характеристик, а также полуцикловые и многоцикловые характеристик, получаемые при неразрушении испытываемого образца.

При выборе закона распределения - статистической модели интерпретации получаемых результатов испытаний, необходимо учитывать следующие обстоятельства. Априорный выбор статистических моделей показателей качества текстильных материалов должен быть основан на исследовании физических процессов, происходящих в материале при испытании, и их соответствии вероятностно-статистической модели теоретического закона. Возможно, что физический процесс, характеризующий изучаемый проказатель или явление, не противоречит вероятностно-статистической модели нескольких теоретических законов распределения. Тогда последние можно рассматривать как конкурирующие, и окончательный выбор следует сделать по результатам статистической проверки гипотез. Особенность последней заключается в том, что при этом дается оценка несоответствия экспериментального распределения теоретическому закону. Строго говоря, доказать, что данное эмпирическое распределение точно соответствует априорно выбранному теоретическому закону, не представляется возможным. Поэтому не исключен случай, когда при статистической оценке отвергается гипотеза несоответствия экспериментального распределения нескольким теоретическим законам. В такой ситуации окончательный выбор теоретического закона может быть сделан из соображений удобства обработки полученных результатов или конкретных целей исследования.

И еще одно замечание. Поскольку для оценки одного и того же показателя могут быть использованы различные методы и аппаратура, обуславливающие различный механизм разрушения материала при испытании и дающие различный разброс получаемых результатов, то это также должно учитываться при выборе гипотетического закона распределения. Представляется целесообразным так выбирать методы и параметры испытания текстильных материалов, чтобы они обеспечивали определенную вероятно - статистическую модель исследуемого показателя и соответствующий закон распределения получаемых результатов.

РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ

Закон распределения результатов испытания, представленный в виде дифференциальной или интегральной функции, является наиболее исчерпывающей характеристикой надежности изучаемого показателя и содержит в себе всю информацию, необходимую для расчета показателей надежности.

При исследовании свойств текстильных материалов наиболее часто используют следующие характеристики надежности:

Вероятность отказа - вероятность того, что в заданном интервале воздействия различных факторов на испытуемый образец, последний разрушается или достигает определенного значения .

Вероятность безотказной работы показывает вероятность отсутствия отказа в заданном интервале воздействия. Функция называется функцией безотказной работы или функцией надежности.

Интенсивность отказов - вероятность отказа пробы или образца в следующий бесконечно малый интервал воздействий при условии, что отказ до этого момента не наступил. В общем виде интенсивность отказов определяют как: , где - значение дифференциальной функции и - значение функции надежности для .

Для нормального закона

, (27)

где - среднее квадратическое отклонение; - и - функции нормированного центрированного нормального распределения.

Обычно пользуются формулой

(28)

Значения функции f1 берутся по специальным таблицам.

Интенсивность отказов логарифмически нормального закона определяется также с использованием функции f1

, (29)

где и - среднее квадратическое отклонение и среднее логарифмов случайной величины х.

Для распределения экстремальных величин закона 1-го типа минимальных значений

(30)

и максимальных значений

, (31)

где А и В -параметры закона 1-го типа.

В случае распределения экстремальных величин 3-го типа

, (32)

где a и b- параметры закона 3-го типа.

Расчет показателей надежности не вызывает каких-либо затруднений при наличии табулированных функций соответствующих теоретических законов.

Применение показателей надежности при исследовании текстильных материалов позволяет получать принципиально новые результаты, т.к. дает возможность исследовать поведение материалов в широком диапазоне различных воздействий, а также обеспечивает более точную сравнительную оценку их качества.

Например, имеем для разрывной нагрузки волокон шерсти =10,9 сН и =2,6 сН и для капронового волокна =14,2 сН и =3,6 сН. Сравнивая эти характеристики прочности, получаем, что капроновое волокно в 1,3 раза имеет лучший показатель, чем шерстяное. Примем в качестве статистической модели отказов по прочности волокон закон распределения экстремальных величин 1-го типа и рассчитываем по формулам 16 и 30 характеристики надежности по прочности для различных значений нагрузок. Полученные результаты приведены в таблице.

Характеристики надежности волокон

Нагрузки, сН	Показатели надежности по прочности для волокон
	шерсти	капрона
	F	P	л	F	P	л
6	0,02	0,98	0,01	№0	№1	0,003
8	0,11	0,89	0,20	0,04	0,96	0,05
10	0,44	0,48	0,48	0,13	0,87	0,23
12	0,72	0,62	0,62	0,33	0,67	0,40
14	0,87	0,69	0,69	0,54	0,46	0,54

Можно видеть, что сравнительная оценка по показателям надёжности прочности волокон шерсти и капрона существенно меняется в зависимости от выбранного диапазона нагрузок. Так при нагрузках много меньших разрывных, что в большей мере соответствует реальным условиям переработки этих волокон и эксплуатации изготовленных из них изделий, показатели надёжности по прочности у капронового волокна на порядок лучше, чем у шерсти. И такое положение подтверждено многолетней практикой переработки этих волокон и эксплуатации изготовленных из них изделий. Например, при чесании смесей шерсти и синтетических волокон угара шерсти на порядок выше, чем синтетических волокон. Эксплуатационные показатели, например, стойкость к истиранию шерстяных тканей увеличивается в несколько раз при введении в смеску синтетических волокон. Т. е. использование показателей надёжности позволяет существенно улучшить интерпретацию лабораторных испытаний текстильных материалов в части прогнозирования поведения их при переработке и эксплуатации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Применение характеристик надежности при исследовании свойств текстильных материалов имеет пока ограниченное использование. Вместе с тем это направление работ в текстильном материаловедении является весьма перспективным, т.к. позволяет более глубоко изучать физическую обусловленность показателей качества текстильных материалов, более точно прогнозировать их поведение при переработке и эксплуатации, более правильно и объективно проводить их сравнительную оценку.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д. Математические методы в теории надежности. М.: Наука, 1965.

Соловьёв А. Д. Оценка и прогнозирование качества текстильных материалов. М.: Высшая школа, 1984.

Размещено на Allbest.ru

...