Применение теории массового обслуживания для решения производственных задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

«СибирскИЙ государственнЫЙ Университет

геоСИСТЕМ И ТЕХНОЛОГИЙ»

(СГУГИТ)

Лабораторная работа №4

Применение теории массового обслуживания для решения производственных задач

Новосибирск - 2023

Отчет по лабораторной работе №4

система массового обслуживания машиностроительное предприятие

Цель работы: приобретение навыков организации ремонтно-механического хозяйства на машиностроительных предприятиях.

Задание:

Содержание отчета по лабораторной работе №4

Задача №1.

По данным табл. 4.5 определить оптимальное число каналов для разомкнутой многоканальной СМО и допустимые среднюю длину очереди и среднее число простаивающих каналов с расчетом издержек от простаивающих каналов и поступающих требований.

Табл. 4.5. - Исходные данные к задаче №1



S - число обслуживающих устройств (каналов), S - общая интенсивность обслуживания S устройствами; - интенсивность потока требований

Выполнение работы

1. Определим первоначальное число каналов S₁, проверяя условие ш ? 1 по зависимости (4.4);

Определю параметр ш, согласно исходным данным

Классический (детерминированный) метод расчета подсказывает решение:

При S< 4 условие ш ? 1 не выполняется, то есть очередь будет неограниченно расти.

Таким образомS₁ = 4каналам (Sµ = 8 обслуживаниям в сутки). При этом получаем достаточно высокий коэффициент загрузки оборудования (4.4)

Рассчитаем вероятность того, что ни один канал не будет занят по зависимости (4.1);

Пусть n ? S, n = 4

2. Найдём среднюю длину очереди по зависимости (4.3)

3. Найдём среднее число каналов, не занятых обслуживанием по зависимости (4.2)

канала

4. Определим издержки, которые понесет СМО при первоначально принятом числе каналов (4.5)



По исходным данным при принятом числе каналов будем иметь

рублей (за сутки)

5. Для решения поставленной задачи будем минимизировать значение целевой функции методом простого перебора.

Теперь примем S = 5 (увеличим на единицу число каналов и повторим расчеты по зависимостям(4.1) - (4.3), (4.5))

коэффициент загрузки оборудования:

вероятность того, что ни один канал не будет занят:

средняя длина очереди:

среднее число каналов, не занятых обслуживанием:

канала

издержки, которые понесет СМО

рублей (за сутки)

6. Сравним величины издержек U₄иU₅

U₄ = рублей U₅ = рублей

Издержки уменьшились.

7. Теперь примем S = 6 (увеличим на единицу число каналов и повторим расчеты по зависимостям(4.1) - (4.3), (4.5))

коэффициент загрузки оборудования:

вероятность того, что ни один канал не будет занят:

средняя длина очереди:

среднее число каналов, не занятых обслуживанием:

канала

издержки, которые понесет СМО

рублей (за сутки)

8. Сравним величины издержек U₅иU₆

U₅ = рублей U₆ = рублей

Так как U₅ <U₆, расчеты прекращаем.

9. Дальнейшее увеличение S поведет к возрастанию целевой функции U.

Таким образом, оптимальное число каналов S = 5.

U₄ - U₅ = 1774,5 - 1239,5 = 535 рублей.

Таков был бы убыток предприятия за сутки в случае применения детерминированных методов расчета.

Задача №2

По данным табл. 4.6 определить эффективность работы замкнутой многоканальной СМО по таким критериям, как среднее число станков, ожидающих ремонта , среднее число свободных рабочих , коэффициент простоя станка г и коэффициент простоя слесаря с.

Табл. 4.6. -Исходные данные к задаче №2

Бригада из 3 человек обслуживает 23 станка (S = 3,m = 23). В среднем на одного рабочего приходится станка и одновременно может обслуживаться 3 станка.

В среднем каждый станок требует текущего ремонта или наладки один раз за единицу времени (= 1) . Один слесарь может обслужить за единицу времени 10 станков (= 10) .

Рассматриваемая система может находиться в восьми различных состояниях (чисто станков в ремонте на одного слесаря от 0 до 7).

Выполнение работы

Начнем сначала с замкнутой одноканальной СМО.

Пусть один слесарь-ремонтник (S = 1) обслуживает m = 7 станков. В среднем каждый станок требует текущего ремонта или наладки один раз за единицу времени (= 1) . Один слесарь может обслужить за единицу времени 10 станков (= 10) .

Рассматриваемая система может находиться в восьми различных состояниях (чисто станков в ремонте на одного слесаря от 0 до 7).

В соответствии с полученными формулами и, положив S = 1, будем иметь по зависимости (4.6)

и по зависимости (4.7) 2 ? n ? 7,где P₁ - вероятность того, что слесарь ремонтирует один станок, а остальные работают;

P_n- вероятность того, что слесарь ремонтирует один станок, а (n-1) ожидают ремонта. Результаты подсчетов для всех семи состояний рассматриваемой СМО сведем в табл. 4.2.

(1 + 0,7 + 0,42 + 0,21 + 0,084 + 0,0252 + 0,00504 + 0,000504) = 2,444744

(так как полная вероятность равна 1), откуда

0,409041.

Табл. 4.2. - Результаты расчета параметров состояний замкнутой одноканальной системы массового обслуживания

Номер состояния СМО	Число станков, ожидающих ремонта (n - 1)	Pn/P0	Pn	(n - 1)Pn
0	0	1,000000	0,409041	0,0000
1	0	0,700000	0,286329	0,0000
2	1	0,420000	0,171797	0,171797
3	2	0,210000	0,085899	0,171798
4	3	0,084000	0,034359	0,103077
5	4	0,025200	0,010308	0,041232
6	5	0,005040	0,002062	0,010310
7	6	0,000504	0,000206	0,001236
ИТОГО	2,444744	-	0,499450

Среднее число станков, стоящих в очереди, равно

= 0,499450

Таким образом, слесарь свободен около половины рабочего дня

(P₀ = 0,409041) и примерно 0,5 ( = 0,499450) станка из семи в среднем будет простаивать в очереди, а коэффициент простоя станков равен:

г = / m = 0,499450/7= 0,07135.

Перейдем теперь к замкнутой многоканальной системе

При n> 12 значениями P_n с точностью до пятого знака можно пренебречь. Для замкнутой многоканальной СМО среднее число станков, ожидающих обслуживания, равно

1. Найдём коэффициент использования системы ш по зависимости (4.8),



2. Определим вероятность нахождения системы в состояниях0 ? n ? Sпо зависимости (4.6)

Определим вероятность Р₀того, что все слесари свободны (то есть все станки работают и не требуют ремонта) по формуле:

Значит, слесари свободны от обслуживания 9,5% рабочего времени.



3. Определим вероятность нахождения системы в состояниях S<n ? mпо зависимости (4.7)

При n>8 значениями P_n с точностью до шестого знака можно пренебречь.

4. Результаты расчетов для всех состояний занесём в таблицу по форме табл.4.3

5. Заполним остальные графы таблицы по методике, представленной в примерах 2 и 3

Табл. 4.3. - Результаты расчета параметров состояний замкнутой многоканальной системы массового обслуживания

Номер состояия СМО	Число ремонтируемых станков	Число станков в ожидании (n - 3)	Число свободных рабочих	Pn/P0	Pn	(n - 3)Pn
0	0	0	3	1	0,09533	-
1	1	0	2	0,76659	0,07308	-
2	2	0	1	0,28105	0,02679	-
3	3	0	0	0,06557	0,00625	0
4	3	1	0	0,01452	0,001384	0,001384
5	3	2	0	0,00306	0,000292	0,000584
6	3	3	0	0,00061	0,000058	0,000174
7	3	4	0	0,00012	0,000011	0,000044
8	3	5	0	0,00002	0,000002	0,000010
ИТОГО	2,13154		0,002196

6. Рассчитаем среднее число станков (требований), ожидающих ремонта по зависимости (4.9)

Для замкнутой многоканальной СМО среднее число станков, ожидающих обслуживания, равно

= 0,002196

7. Рассчитаем среднее число свободных рабочих (каналов) по зависимости (4.11)

 = 3P₀ + 2P₁ +P₂ = 3? 0,09533 + 2? 0,07308 +0,02679 =

=0,45894

8. Определим коэффициент простоя требования по зависимости (4.10)

Коэффициент простоя станков, ожидающих обслуживания

г = / m = 0,002196/23= 0,000095

9. Определим коэффициент простоя рабочего по зависимости (4.12)

= 0,01995

10. Сделаем вывод об эффективности работы СМО

Сравним результаты, полученные в первоми во втором случае, которые представлены в табл. 4.4.

Показатели СМО	Вид СМО
	одноканальная	многоканальная
Число станков на одного слесаря	7	7,67
Среднее число станков, ожидающих ремонта	0,499450	0,002196
Коэффициент простоя станка г	0,07135	0,000095
Коэффициент простоя слесаря с	0,409041	0,01995

Во втором случае мы увеличили загрузку слесарей (7,67 станка против 7 станков на одного слесаря). Можно было бы ожидать, что очереди при этом возрастут, однако этого не произошло. Мы получили более чем 750 раз низкий коэффициент простоя станка. Это объясняется тем, что мы объединили три системы массового обслуживания (по 7-8 станков и по одному слесарю), заставив обслуживать бригаду из трех рабочих все 23 станка сразу. В одной изолированной системе рабочий бы простаивал, теперь же он может при возникновении потребности обслуживать станок, ранее за ним не закрепленный.

Вывод: данная система является эффективной.

Контрольные вопросы

1. Какой поток событий называется стационарным?

Поток заявок называется стационарным (регулярным), если его вероятностный режим не изменяется во времени, т. е. если интенсивность потока заявок постоянна (события (заявки) следуют друг за другом через строго определенные промежутки времени):

2. Какой поток событий называется однородным?

Если события (заявки, требования), о которых идет речь, являются однородными с точки зрения их сущности и формы проявления, то и поток называется однородным.

3. Какой поток событий называется ординарным?

Поток требований называют ординарным, если вероятность появления двух и более заявок в один и тот же момент времени настолько мала, что практически можно считать невозможным совмещение двух или более событий в один и тот же момент времени.

4. Какой поток событий называется простейшим?

Поток требований называется простейшим, если он одновременно ординарный, стационарный и без последействия.

5. Дайте определение понятия «система массового обслуживания».

«Cистема массового обслуживания» - своеобразного класса система, которая объединяетнекотороеколичествопараллельнодействующихтехническихустройств (иногда людей-исполнителей), называемых каналами обслуживания (возможен случай, когда канал один). Они могут самостоятельно (независимо) выполнять все операции, лежащие в основе функционирования СМО, и увеличивать тем самым пропускную способность системы, определяемую числом обслуживаний, завершенных в единицу времени.

6. Опишите основные признаки одноканальной и многоканальной, разомкнутой и замкнутой СМО.

Если узел обслуживания состоит всего из одного обслуживающего устройства (исполнителя), то такая система называется одноканальной.

При большем же числе устройств (исполнителей) система называется многоканальной.

Признаком замкнутой системы является то положение, что обслуженные требования не покидают систему, а возвращаются в источник требований. При этом интенсивность входящего потока зависит от количества требований, находящихся в системе.

Различают еще системы массового обслуживания с потерями (с отказами) и без потерь (с очередью). Первая группа систем характеризуется тем, что требование не может ждать начала обслуживания или система обслуживания отказывает требованию, если все обслуживающие устройства (исполнители) заняты.

Системы без потерь (с очередью) называются системами с неограниченным ожиданием. Имеются также системы с ограниченным ожиданием, в которых требования могут ожидать обслуживания только ограниченное время, по истечении которого они покидают систему.

6. Что такое коэффициент использования СМО?

Коэффициент использования СМО - это величина , которая играет важную роль. Она выражает степень насыщенности системы или загрузкой системы. При > 1 установившегося режима работы не получится, и очередь будет расти неограниченно, так как интенсивность обслуживания µ меньше интенсивности поступления требований л. Поэтому при решении задач массового обслуживания принимаем, что ? 1.

Кроме того, по величине можно определить среднее число свободных (простаивающих) каналов обслуживания.

7. В чем причина возникновения очередей требований?

При > 1 установившегося режима работы не получится, и очередь будет расти неограниченно, так как интенсивность обслуживания µ меньше интенсивности поступления требований л. Поэтому при решении задач массового обслуживания принимаем, что ? 1.

9. Назовите пути упрощения расчета замкнутых СМО с большим числом требований.

Расчеты по определению оптимального числа каналов для источников на 300-400 требований громоздки и трудно поддаются ручному счету (определение величин m! и (m - n)! идр.).

Из этого положения может быть два выхода:

- решать задачу по формулам разомкнутых СМО, заранее допуская погрешность;

- расчет вести на ЭВМ, составив программу по полученным формулам для замкнутой СМО с несколькими обслуживающими устройствами.

10. Перечислите основные параметры, характеризующие замкнутую и разомкнутую СМО.

Признаком замкнутой системы является то положение, что обслуженные требования не покидают систему, а возвращаются в источник требований. При этом интенсивность входящего потока зависит от количества требований, находящихся в системе.

Основные параметры замкнутой системы: удельная интенсивность потока требований, приходящаяся на одно требование, потенциально имеющееся в источнике; общая интенсивность обслуживания; среднее число станков, ожидающих обслуживания; коэффициент простоя станков и коэффициент простоя слесаря.

Размещено на Allbest.ru

...