Обработка результатов многократных измерений

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (СИБСТРИН)

Кафедра строительных материалов, стандартизации и сертификации

Курсовой проект

На тему: «Обработка результатов многократных измерений»

Направление, группа 27.03.01 «Стандартизация и метрология» гр. 201

Руководитель работы Е.А. Бартеньева

Новосибирск 2022



Содержание

1. Основные понятия, определения измерений и погрешностей измерений

2. Прямые многократные измерения, основные характеристики

3. Описание основных законов распределения

4. Представление алгоритма обработки многократных измерений

5. Проведение проверки на наличие грубых погрешностей по двум различным критериям

6. Проведение проверки на наличие систематической погрешности по критерию Фишера

7. Построение гистограммы статистического ряда

8. Идентификация формы распределения результатов измерений с использованием приближенного метода

9. Идентификация формы распределения результатов измерений по критерию Пирсона

10. Запись результатов с оценкой погрешности измерений

Список использованных источников



1. Основные понятия, определения измерений и погрешностей измерений

Метрология является одной из областей науки и её роль за последние десятилетия чрезвычайно возросла. Метрология проникла и завоевала себе позиции во всех областях жизни и деятельности человечества.
В нашей стране действует стандарт на терминологию ГОСТ 16263--70 «Государственная система обеспечения единства измерений. Метрология. Термины и определения» и закон об обеспечении единства измерений, вводящий новые понятия и определения и уточняющий ранее действующие.

Измерение -- нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств.

Величина -- свойство чего-либо, которое может быть выделено среди других свойств и оценено тем или иным способом (в том числе и количественно).

Значение величины, найденное путем его измерения, называется результатом измерения.

По способу получения числового значения измеряемой величины все измерения делят на четыре основных вида: прямые, косвенные, совокупные и совместные:

1. Прямые измерения - это измерение, при котором искомое значение величины находят непосредственно сравнивая физическую величину с ее мерой.

2. Косвенные измерения отличаются от прямых тем, что искомое значение величины устанавливают по результатам прямых измерений таких величин, которые связаны с искомой определенной зависимостью.

3. Совокупными называют измерения, в которых значения измеряемых величин находят по данным повторных измерений одной или нескольких одноименных величин при различных сочетаниях мер или этих величин.

4. Совместные измерения - это одновременные измерения двух или более неоднородных физических величин для определения функциональной зависимости между ними.

Идеальные величины (математические) являются обобщением (моделью) конкретных реальных понятий. Они вычисляются тем или иным способом.

Реальные величины делятся на физические и нефизические. Физическая величина (ФВ) -- величина, свойственная материальным объектам (явлениям или процессам), изучаемым в естественных и технических науках. измерение фишер пирсон

Нефизические величины -- величины, присущие общественным наукам (философии, социологии, экономике и т. п.).

Нефизические величины отличаются тем, что для них единица измерения в принципе не может быть введена. Поэтому они могут быть только оценены. Оценивание нефизических величин не входит в задачи метрологии.

Погрешность измерений - отклонение измеренного значения величины от её истинного (действительного) значения. Погрешность измерения является характеристикой точности измерения. Выяснить с абсолютной точностью истинное значение измеряемой величины, как правило, невозможно, поэтому невозможно и указать величину отклонения измеренного значения от истинного. Это отклонение принято называть ошибкой измерения.

Погрешности измерения могут быть классифицированы по следующим признакам:

1. по характеру проявления -- систематические и случайные;

2. по способу выражения -- абсолютные и относительные;

3. по условиям изменения измеряемой величины -- статические и динамические;

4. по способу обработки ряда измерений -- средние арифметические и средние квадратические;

5. по полноте охвата измерительной задачи -- частные и полные;

6. по отношению к единице физической величины -- погрешности воспроизведения единицы, хранения единицы и передачи размера единицы.

Систематическая погрешность -- составляющая погрешности результата измерения, остающаяся постоянной для данного ряда измерений или же закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же физической величины.

Случайная погрешность - это составная часть погрешности результата измерения, изменяющаяся случайно, незакономерно при проведении повторных измерений одной и той же величины.

Абсолютная погрешность измерения - это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины.

Относительная погрешность измерения- погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или измеренному значению измеряемой величины.

Статическая погрешность - это погрешность, которая возникает в процессе измерения постоянной (не изменяющейся во времени) величины.

Динамическая погрешность - это погрешность, численное значение которой вычисляется как разность между погрешностью, возникающей при измерении. непостоянной (переменной во времени) величины, и статической погрешностью.

Средняя арифметическая погрешность -- обобщенная характеристика рассеяния отдельных результатов измерений, входящих в серию из n равноточных независимых измерений.

Средняя квадратическая погрешность (СКП)- является мерой точности результатов измерений либо функций измеренных величин и является вероятностной характеристикой.

Частные погрешности преобразователей носят случайный характер, т. е. величина их меняется случайным образом вне зависимости от значения измеряемой величины и условий работы.

Полная среднеквадратичная погрешность измерения - это сумма Среднеквадратического отклонения.

Погрешность воспроизведения единицы физической величины - погрешность результата измерений, выполняемых при воспроизведении единицы физической величины.

Погрешность передачи размера единицы физической величины - погрешность результата измерений, выполняемых при передаче размера единицы.

Таким образом, метрология как наука об измерениях имеет дело только с физическими величинами.

2. Прямые многократные измерения, основные характеристики

Многократное измерение - измерение физической величины одного и того же размера, результат которого получается из нескольких следующих друг за другом измерений, т.е. состоящее из ряда однократных измерений.

При рассмотрении многократных измерений вводят понятие наблюдения. Под наблюдением понимают однократное измерение многократного измерения одного и того же размера физической величины.

Задача обработки результатов многократных измерений заключается в нахождении оценки измеряемой величины и доверительного интервала, в котором находится ее истинное значение.

Обработку результатов измерений проводят в соответствии с ГОСТ 8.207-76 «ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Общие положения».

Стандарт рекомендует следующий порядок обработки результатов наблюдений:

1. Исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений (введением поправки);

2. Вычислить среднее арифметическое исправленных (после введения поправок) результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения;

3. Вычислить среднее квадратическое отклонение результатов наблюдения;

4. Исключить грубые ошибки результатов наблюдений, используя специальные критерии.

5. Вычислить оценку среднего квадратического отклонения результатов измерения.

6. Проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению. При числе результатов измерений n>50 для проверки используют критерий Пирсона ч 2 . Если n?50, то используют составной критерий

7.Вычислить доверительные границы случайной составляющей погрешности результата измерения.

8. Вычислить границы суммарной неисключённой систематической погрешности результата измерений.

9.Вычислить доверительные границы погрешности результата измерения.

3. Описание основных законов распределения

Случайные погрешности обусловлены большой совокупностью причин, остающихся при проведении измерений неизвестными. Случайные погрешности неизбежны и неустранимы. Случайная погрешность, как и всякая случайная величина, наиболее полно характеризуется законом распределения. В практике встречаются различные законы распределения случайных погрешностей. Наиболее часто приходится иметь дело с нормальным законом распределения, но встречаются также равномерный закон распределения, треугольный закон (закон Симпсона) и др.

В метрологической практике для описания случайных погрешностей используют ограниченный набор стандартных аппроксимирующих функций распределения (нормальную, равномерную, по треугольнику, по трапеции).

Нормальную функцию распределения имеют следующие случайные величины:

1. Флуктуационные погрешности разного рода.

2. Случайные погрешности средств измерений.

3. Погрешности, складывающиеся из достаточно большого числа (можно считать, что более 5) независимых составляющих при отсутствии доминирующей составляющей.

Равномерные функции распределения имеют:

1. Погрешности результатов наблюдений, округленных в ближайшую сторону отсчетов с неточностью целого (или долевого) деления шкалы.

2. Погрешность приближенных вычислений с округлением до ближайшей значащей цифры.

3. Погрешности регулировки в допустимых пределах ±а.

4. Люфтовые погрешности.

5. Погрешности от изменения температуры в допустимых пределах.

6. Вариация показаний измерительных приборов.

Треугольные функции распределения (по Симпсону) имеют погрешности измерений длины, угла, интервала времени по двум отсчетам (начало-конец).

Наиболее распространенной функцией распределения случайной погрешности является нормальная функция (функция Гаусса). При обработке результатов наблюдений при априорно неизвестном законе распределения случайных погрешностей проводят проверку нормальности распределения результатов наблюдений. Для этого используют методы проверки статистических гипотез. Поскольку проверка статистических гипотез основывается на опытных данных, то при принятии решения всегда возможны ошибки.Когда отвергается в действительности верная гипотеза, то совершается ошибка первого рода. Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости q:

,

где б - вероятность правильного принятия верной гипотезы.

Когда принимается в действительности неверная гипотеза, то совершается ошибка второго рода. В общем случае вычислить ее вероятность нельзя. Однако при уменьшении вероятности ошибки первого рода вероятность ошибки второго рода увеличивается. Поэтому не имеет смысла выбирать слишком низкий уровень значимости q. Обычно на практике q принимают в пределах (1...5)%. Критерии проверки статистических гипотез приводятся в справочной литературе по теории вероятностей и в нормативных документах по метрологии, в частности, в ГОСТ 8.207 «ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения».

4. Представление алгоритма обработки многократных измерений

Многократные измерения показывают, что результаты отдельных наблюдений отличаются друг от друга. Отличия наблюдаются также в результатах отдельных серий многократных измерений.

Очевидно, что при многократных измерениях не имеется возможности проведения бесконечно большого количества наблюдений, следовательно, не имеется возможности принятия в качестве результата измерения истинного значения измеряемой величины и в качестве характеристик случайных величин принимаются не истинные, а приближенные оценки этих характеристик. Значения измеренной величины и оценок ее характеристик, в отличие от самих характеристик, являются случайными величинами, зависящими от количества проведенных наблюдений.

При многократных измерениях с ограниченным числом наблюдений (n?15) и невозможности оценить и исключить систематические погрешности ограничиваются вычислением среднего арифметического и оценки его среднего квадратического отклонения. Результат записывается в виде Хср, уср, где уср - среднее квадратическое отклонение результата измерения.

При многократных измерениях используется методика обработки результатов наблюдений, состоящая из нескольких этапов. Ниже приведены основные этапы обработки.

1. Определяют и исключают из результатов наблюдений известные систематические погрешности,

Чтобы эмпирически определить систематическую погрешность, требуется выявить все источники погрешностей, определить их отдельные значения. Для их оценки необходимо знать свойства используемых средств измерений, метод измерения, условия проведения измерения. Все найденные составляющие систематической погрешности суммируются.

2. Вычисляют среднее арифметическое значение Хср исправленных результатов группы наблюдений, принимаемое в качестве результата измерения, если известно, что систематическая погрешность всех наблюдений постоянна, то удобнее сначала вычислить среднее арифметическое значение неисправленных наблюдений, а затем вычесть из него значение систематической погрешности:

3. Рассеивание отдельных наблюдений относительно среднего значения оценивается по среднеквадратическому отклонению результатов наблюдений.

4. После проверки на отсутствие грубых погрешностей вычисляют оценки среднего квадратического значения результата измерения уср, оценка среднего квадратического отклонения результата измерения характеризует степень рассеивания результатов отдельных наблюдений относительно среднего арифметического значения.

5. Проверяют гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению (при n > 15) .

6. Находят границы доверительного интервала случайной погрешности результата измерения Д1 и Д2.

5. Проведение проверки на наличие грубых погрешностей по двум различным критериям

Грубая погрешность, или промах, - это погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда. При однократных измерениях обнаружить промах невозможно. При многократных измерениях для обнаружения промахов используют статистические критерии, такие как критерий Романовского, критерий Шарлье, критерий Диксона.

Критерий «трех сигм» применяется для результатов измерений, распределенных по нормальному закону. По этому критерию считается, что результат, возникающий с вероятностью q < 0,003, мало вероятен и его можно считать промахом, если | - Хi| > 3Sx , где Sx - оценка СКО измерений. Величины X и Sx вычисляют без учета экстремальных значений xi .

Вычисляем среднего арифметического результатов наблюдений по формуле

Получаем ; =10,0198

Определяем среднее квадратическое отклонение результата измерения.

,

Получаем среднее квадратическое отклонение

Определеяем наличие анормальных наблюдений (грубых погрешностей) по формуле | - Хi| > 3Sx

Проверка на наличие грубых погрешностей показало, что значение 10,4 и 10,3 является грубой ошибкой (табл.1)

Таблица 1. Результат по критерию «трех сигм».

№ п/п	Xi	|Xi-x|
1	10,05	0,0302
2	10,03	0,0102
3	10,04	0,0202
4	9,98	0,0398
5	10,02	0,0002
6	9,97	0,0498
7	10,01	0,0098
8	9,98	0,0398
9	9,94	0,0798
10	10,07	0,0502
11	10,01	0,0098
12	9,97	0,0498
13	10,06	0,0402
14	10	0,0198
15	10,02	0,0002
16	9,96	0,0598
17	10,04	0,0202
18	9,97	0,0498
19	10,03	0,0102
20	9,99	0,0298
21	10,06	0,0402
22	9,98	0,0398
23	10,05	0,0302
24	10	0,0198
25	10,06	0,0402
26	10,09	0,0702
27	9,93	0,0898
28	9,98	0,0398
29	10,01	0,0098
30	9,94	0,0798
31	9,95	0,0698
32	10,04	0,0202
33	10,02	0,0002
34	10,09	0,0702
35	10	0,0198
36	9,91	0,1098
37	10,05	0,0302
38	9,97	0,0498
39	10,02	0,0002
40	10,02	0,0002
41	10,01	0,0098
42	9,92	0,0998
43	9,95	0,0698
44	9,98	0,0398
45	9,91	0,1098
46	9,95	0,0698
47	10,2	0,1802
48	10,4	0,3802
49	10,3	0,2802
50	10,06	0,0402

Выполняем проверку по критерию Граббса.

Статистический критерий Граббса исключения грубых погрешностей основан на предположении о том, что группа результатов измерений принадлежит нормальному распределению. Для этого вычисляют критерии Граббса G₁ и G₂ , предполагая, что наибольший X_max или наименьший X_min результат измерений вызван грубыми погрешностями:

;

Вычисляем G₁ и G₂,где X_max=10,4; X_min=9,91, получаем G₁=2,06843 и G₂=1,26034 Сравнивая G1 и G2 с теоретическим значением G_t критерия Граббса при выбранном уровне значимости q. G_t =3.128 Сравниваем G_1,и G_1, с G_t .

G_t > G₁ ; 3.128 > 2,06843 и G_t > G₂ ; 3.128 > 1,26034

Группа результатов измерений принадлежит нормальному распределению.

6. Проведение проверки на наличие систематической погрешности по критерию Фишера

Выясняем о наличие систематической погрешности результатов наблюдений, обусловленной влиянием какого-либо постоянно действующего фактора, или определить, вызывают ли изменения этого фактора систематическое смещение результатов измерений. Для этого проводят многократные измерения, состоящие из достаточного числа серий, каждая из которых соответствует определенным значениям влияющего фактора.

Характеристикой совокупности случайных внутрисерийных погрешностей будет средняя сумма дисперсий результатов наблюдений, вычисленных раздельно для каждой серии, вычисляем по формуле:

;

Вычисляем внутрисерийну дисперсию:

Таблица 2. Внутрисерийная дисперсия

№	(X1-Хj)^2	(X2-Хj)^2	(X3-Хj)^2	(X4-Хj)^2	(X5-Хj)^2
1	0,001156	3,6E-05	0,001936	0,004356	3,6E-05	0,0075
2	0,001764	0,000324	6,4E-05	0,002704	0,004624	0,0095
3	0,000256	0,001296	0,000676	1,6E-05	0,005476	0,0077
4	0,0009	1E-04	1E-04	0,0064	0,0009	0,0084
5	0,000324	0,000324	0,003364	4E-06	0,008464	0,0125
6	3,6E-05	0,000256	0,012996	0,004356	0,000676	0,0183
7	0,001296	3,6E-05	0,013456	1,6E-05	0,023716	0,0385
8	0,0064	0,0081	0,0064	0,0081	0,1156	0,1446
9	0,0144	0,0009	0,0025	0,0016	0,0576	0,077
10	0,002916	0,000676	0,005776	1,6E-05	0,001936	0,0113
						0,3354

Вычисленяем усредненную межсерийную дисперсию по формуле:

,

Вычисляем межсерийную дисперсию:

Таблица 3. Вычисление усредненной межсерийной дисперсии.

№	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Xj	(Хj-)2
1	10,05	10,01	10,06	9,95	10,01	10,016	1,6E-05
2	10,03	9,97	9,98	10,04	9,92	9,988	0,001024
3	10,04	10,06	10,05	10,02	9,95	10,024	1,6E-05
4	9,98	10	10	10,09	9,98	10,01	1E-04
5	10,02	10,02	10,06	10	9,91	10,002	0,000324
6	9,97	9,96	10,09	9,91	9,95	9,976	0,001936
7	10,01	10,04	9,93	10,05	10,2	10,046	0,000676
8	9,98	9,97	9,98	9,97	10,4	10,06	0,0016
9	9,94	10,03	10,01	10,02	10,3	10,06	0,0016
10	10,07	9,99	9,94	10,02	10,06	10,016	1,6E-05
							0,007308

Таким образом, ; характеризует долю дисперсии всех результатов наблюдений, обусловленную наличием случайных погрешностей измерений, а ; у- долю дисперсии, обусловленную межсерийными различиями результатов наблюдений.

Критерием оценки наличия систематических погрешностей в данном случае является дисперсионный критерий Фишера.

F=10,53332075 ; F_таб=2,06

Сравниваем F и F_таб 10,53332075>2,06

F > Fтабл, найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна.

7. Построение гистограммы статистического ряда

При большом числе наблюдений простая статистическая совокупность перестает быть удобной формой записи статистического материала - она становится слишком громоздкой и мало наглядной. Для придания ему большей компактности и наглядности статистический материал должен быть подвергнут дополнительной обработке - строится так называемый «статистический ряд».

Разбиваем группы на интервалы, а число интервалов определяют, пользуясь формулой Старджесса: , вычисляем I= 6,623590714

А ширину интервала h по формуле: , где вычисленная h=0,073978001, и определяем частоту попадания m_i в интервалы и статистическую вероятность P_i, вычисляем по формуле:

Таблица 4. Упорядоченные значения

№	Xi-Xi+1	Xi0	mi	Pi
1	9,91	9,983978	20	0,4
2	9,983978001	10,057956	20	0,4
3	10,057956	10,131934	7	0,14
4	10,131934	10,205912	1	0,02
5	10,205912	10,27989	1	0,02
6	10,27989	10,353868	-	0
7	10,35386801	10,427846	1	0,02

Представим заданный статистический ряд в виде гистограммы

По виду гистограмма, имеющей колокообразную форму, предполагаем, что закон распределения результатов наблюдений в ряде образцов при измерении - нормальный.

8. Идентификация формы распределения результатов измерений с использованием приближенного метода

В качестве приближенного метода проверки нормальности распределения применяют метод, связанный с оценками центральных моментов третьего м₃ и четвертого м₄ порядков.

В случае нормальности распределения должны выполняться приближенные равенства:

м₃=(X_i-)³=P_i ; м₄=(X_i-)⁴=P_i

Для удобства сравнения подсчитываем безразмерные характеристики Асимметрия (А) и Эксцесс (Е) по формулам: ; .

Оценку центральных моментов м₃ и четвертого м₄ порядков вычисляют:

;

Вычисленные значения: 0,0018;

Асимметрию и эксцесс вычисляют:

;

Вычисленные значения: 2,76690666; 7,01337537

Анализ проводят по значениям средних квадратических ошибок

Для асимметрии: ; 0,006343481

Для эксцесса ; 0,621934733

сравниваем_значения

сравниваем значения
Нормальность закона распределения верны.

9. Идентификация формы распределения результатов измерений по критерию Пирсона

Так как число измерений равна 50(n?50), будем использовать составной критерий.

При малых объемах выборки 10?n?50 для проверки принадлежности экспериментального распределения с нормальным используется составной критерий d. Данный критерий рекомендован ГОСТ Р 8.736- 2011 «Государственная система обеспечения единства измерений (ГСИ). Измерения прямые многократные. Методы обработки результатов измерений. Основные положения».

Определяем значение критерия d по формуле: S*=0,086243608

; d= 0,004755314



Таблица 5

№	Xi	|Xi-Хср|	|Xi-x|2
1	10,05	0,0302	0,000912
2	10,03	0,0102	0,000104
3	10,04	0,0202	0,000408
4	9,98	0,0398	0,001584
5	10,02	0,0002	4E-08
6	9,97	0,0498	0,00248
7	10,01	0,0098	9,6E-05
8	9,98	0,0398	0,001584
9	9,94	0,0798	0,006368
10	10,07	0,0502	0,00252
11	10,01	0,0098	9,6E-05
12	9,97	0,0498	0,00248
13	10,06	0,0402	0,001616
14	10	0,0198	0,000392
15	10,02	0,0002	4E-08
16	9,96	0,0598	0,003576
17	10,04	0,0202	0,000408
18	9,97	0,0498	0,00248
19	10,03	0,0102	0,000104
20	9,99	0,0298	0,000888
21	10,06	0,0402	0,001616
22	9,98	0,0398	0,001584
23	10,05	0,0302	0,000912
24	10	0,0198	0,000392
25	10,06	0,0402	0,001616
26	10,09	0,0702	0,004928
27	9,93	0,0898	0,008064
28	9,98	0,0398	0,001584
29	10,01	0,0098	9,6E-05
30	9,94	0,0798	0,006368
31	9,95	0,0698	0,004872
32	10,04	0,0202	0,000408
33	10,02	0,0002	4E-08
34	10,09	0,0702	0,004928
35	10	0,0198	0,000392
36	9,91	0,1098	0,012056
37	10,05	0,0302	0,000912
38	9,97	0,0498	0,00248
39	10,02	0,0002	4E-08
40	10,02	0,0002	4E-08
41	10,01	0,0098	9,6E-05
42	9,92	0,0998	0,00996
43	9,95	0,0698	0,004872
44	9,98	0,0398	0,001584
45	9,91	0,1098	0,012056
46	9,95	0,0698	0,004872
47	10,2	0,1802	0,032472
48	10,4	0,3802	0,144552
49	10,3	0,2802	0,078512
50	10,06	0,0402	0,001616
СУММА	500,99	2,7292	0,371898

Затем выбираем уровни значимости критерия q и по таблице находят квантили распределения. d_0.86548?d_0,00475?d_0.7298 Условие не выполняется.

Критерий II

Этот критерий для проверки «концов» распределения. Можно считать, что результаты наблюдений принадлежат нормальному, если не более m разностей |превзошли значение Zp/2 xS

S=0,087119201 m=2 ; d=0.99 ; Z_б/2=2.58*0.087=0.22476

Гипотеза о нормальности отвергается.

10. Запись результатов с оценкой погрешности измерений

Случайную составляющую погрешности многократных измерений определяют в соответствии с выражением:

; t_p=2; ,

0,012320515; 0,024641031

Запись результатов с оценкой погрешности измерения: получается 10,0198±0,0246; получаем 10,198±0,0246



Список использованных источников

1. Эрастов В.Е. Метрология, стандартизация и сертификация /В.Е. Эрастов. - М.:ФОРУМ, 2008 - 11с

2. ГОСТ Р 8.736-2011 "Государственная система обеспечения единства измерений. Измерения прямые многократные. Методы обработки результатов измерений. Основные положения"

3. https://lektsii.org/1-28350.html

4. https://infopedia.su/14x158df.html

5. https://studopedia.ru/19_2041_isklyuchenie-grubih-

Размещено на Allbest.ru

...