Расчет показателей разработки газовой залежи при упругом режиме разработки

Преобразуем правую часть уравнения (1). Считая пористость m постоянной и учитывая, что для совершенного газа

, (3)

получим:

. (4)

В результате сделанных преобразований получим уравнение относительно только одной неизвестной функции - давления:

. (5)

Полученное дифференциальное уравнение неустановившейся изотермической фильтрации совершенного газа называется уравнение Л.С. Лейбензона и представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных параболического типа. Подчеркнем, что оно справедливо при выполнении закона Дарси. Изменение коэффициента пористости пренебрегают потому, что он входит в уравнение в виде произведения m , в котором плотность газа изменяется в гораздо большей степени, чем пористость.

Уравнение (5) записано в безиндексной форме, справедливой для любой системы координат. В декартовой системе координат уравнение имеет вид фильтрация пластовое давление лейбензон

. (6)

Уравнение (5) можно записать и по-другому, умножив его на давление р и, учитывая, что

, (7)

будем иметь

(8)

или в декартовой системе координат

. (9)

В такой записи под знаком производных по координатах и по времени находится одна и та же функции р² , но коэффициент перед оператором Лапласа переменный, в него входит искомая функция р(x,y,z,t).

Нетрудно показать, что неустановившаяся фильтрация реального газа с уравнением состояния

(10)

и с учетом зависимости коэффициента вязкости от давления и недеформируемости пористой среды (m=const , k=const) описывается следующим нелинейным дифференциальным уравнением параболического типа:

(11)

Отметим, что одним из эффективных путей решения уравнения Лейбензона является линеаризация, т.е. сведение его к линейному уравнению Фурье.

Вывод дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации совершенного газа по двучленному закону.

Будем считать пласт недеформируемым, фильтрацию изотермической и происходящей по двучленному закону. Рассмотрим плоскорадиальный поток к осесимметрично расположенной скважине.

Воспользуемся уравнением неразрывности для плоскорадиального

движения: (12)

Воспользовавшись выражением для массовой скорости р w, получен-

ным из двучленного закона фильтрации (5.22), и формулами и ,

после подстановки в них значений плотности из уравнения состояния получим:

(13)

(14)

Подставив выражения (13), (14) и (4) в уравнение неразрывности

(12) и сократив на р _ат/р_ат , получим:

, (15)

где

Если сделать замену , то дифференциальное уравнение

неустановившейся фильтрации газа по двучленному закону примет следующий вид:

Если заменить нелинейное дифференциальное уравнение (5) или (9) линейным, т.е линеаризовать его, то оно упростится, для линейного уравнения существуют точные аналитические решения. Ясно, что эти точные решения линеаризованного уравнения будут приближенными для нелинейного. Оценить погрешность решения, которая возникает при замене точного уравнения линеаризованным, можно, например, сравнивая приближенное решение с решением на ЭВМ точного уравнения.

Были предложены различные способы линеаризации уравнения (5) или (9). Если рассматривается плоскорадиальный приток к скважине, то, как известно из теории установившейся фильтрации газа, воронка депрессии очень крутая, и в большей части пласта давление мало отличается от контурного. На этом основании Лейбензон предложил заменить переменное давление р в коэффициент перед оператором Лапласа в уравнении (9) на постоянное давление р_к , равное начальному давлению в пласте. Тогда, обозначив , получим вместо уравнения (9) уравнение

, (16)

которое является линейным уравнением пьезопроводности относительно функции р² (- коэффициент пьезопроводности). Такой способ линеаризации, когда переменный коэффициент в уравнении (16) при различных значениях давления принимается константой, называется линеаризацией по Лейбензону. В дальнейшем различными авторами были предложены уточнения к линеаризации по Лейбензону. Так, И.А. Чарный предложил свести уравнение (9) к линейному заменой переменного давления в коэффициенте на значение

где p_max и p_min - максимальное и минимальное давления в газовой залежи на расчетный период.

Используем линеаризованное уравнение (16) для решения конкретной задачи о притоке газа в скважину бесконечно малого радиуса (точечный сток), расположенную в пласте бесконечной протяженности с постоянной толщиной h. В начальный момент времени пласт невозмущен, т.е. давление во всем пласте постоянно и равно p_k . С этого момента начинается отбор газа с постоянным дебитом Q_ат . Нужно найти изменение давления по пласту с течением времени p(r,t).

Для плоскорадиальной фильтрации газа (16) запишется следующим образом :

(17)

Здесь выражение представляет собой оператор Лапласа в полярных координатах относительно квадрата давления для плоскорадиального движения.

Уравнение (17) надо проинтегрировать при начальном условии

p²=p²_k при t=0, 0<r<? (18)

и при граничном условии в удаленных точках

p²=p²_k при r=? , t>0. (19)

Выведем условие для давления на забое скважины. Для этого запишем выражение для массового дебита исходя из закона Дарси в дифференциальной форме для плоскорадиальной фильтрации:

Использовав равенства

и сократив па p_ат , получим :

Из этого соотношения выразим условие на стенке газовой скважины бесконечно малого радиуса:

при r=0. (20)

Таким образом, для решения поставленной задачи уравнение (13) должно быть проинтегрировано при условиях (18), (19) и (20).

Решением поставленной задачи для упругой жидкости является основная формула упругого режима:

(21)

Аналогия между фильтрацией упругой жидкости и газа свидетельствует о том, что, заменив в формуле (21) давление на р², на , на , получим решение поставленной задачи для газа:

(22)

Или

(23)

Это и есть основное решение линеаризованного уравнения Лейбензона.

Для малых значений аргумента можно заменить интегральную функцию логарифмической

(24)

Или

(25)

Подчеркнем, что решения (22)-(25) являются приближенными, т.к. получены в результате интегрирования линеаризованного уравнения Лейбензона.

Формула (23) и (25) определяют при фиксированных значениях времени распределение давления вокруг газовой скважины, работающей с постоянным дебитом с момента t=0. Эти депрессионные кривые имеют такой же характер, как и при установившейся фильтрации - они очень крутые вблизи скважины (рис.1а). Если задать значение r , то можно найти изменение давления в данной точке с течением времени. В частности, можно найти изменение давления на забое (при r=r_c) после работы скважины (рис.1б):

(26)

Рис.1.Кривые восстановления по пласту при неустановившемся притоке газа к скважине в разные моменты времени (а) и динамика распределения давления в фиксированных точках пласта (б).

2.Расчетная часть.