Про крайові ефекти в товстих півнескінченних плитах

Про крайові ефекти в товстих півнескінченних плитах

Зеленський Анатолій Григорович,

доктор фізико-математичних наук, доцент, професор кафедри будівельної і теоретичної механіки та опору матеріалів

м. Дніпро

Анотація

На основі розробленого варіанта математичної теорії нетонких пластин система диференціальних рівнянь рівноваги високого порядку зведена до однорідних і неоднорідних диференціальних рівнянь другого порядку. Загальний розв'язок рівнянь рівноваги виражається через загальні і частинні розв'язки рівнянь 2-го порядку. Аналітично розв'язані граничні задачі для півнескінченнихтрансверсально-ізотропних товстих плит за дії поперечного навантаження, яке зникає на нескінченності, і різних граничних умов на бічній площині. Проведено аналіз впливу крайових ефектів на напружено-деформований стан плити.

Ключові слова: варіант математичної теорії нетонкихтрансверсально-ізотропних плит, поліноми Лежандра, система диференціальних рівнянь високого порядку, півнескінченна плита, граничні задачі, напружено-деформований стан, крайові ефекти.

Основна частина

Вступ. Класичні теорії пластин і оболонок, теорії Тимошенка-Рейснера [1, 2], їх модифікації, теорії, основані на певних моделях деформування [3], інші теорії, що використовують різні гіпотези, не завжди можуть добротно описувати напружено-деформований стан (НДС) цих елементів для широкого класу задач (для елементів з вирізами, локальними і зосередженими навантаженнями, з анізотропними властивостями, для нетонких елементів і в інших випадках наявності високого градієнта змінення НДС). Головний недолік таких теорій полягає у неможливості уточнення результатів у рамках цих же теорій через те, що їхня точність обмежена прийнятими гіпотезами. Такі теорії зводяться до систем диференціальних рівнянь (ДР) невисоких порядків.

Теорії типу Тимошенка-Рейснера та їх варіанти в основному використовуються в зарубіжних дослідженнях, причому, як правило, без достатнього обґрунтування. Широка бібліографія праць наведена в [4-6].

Отримання аналітичних розв'язків граничних задач на основі тривимірних рівнянь теорії пружності пов'язане з великими математичними труднощами [7] і теж із-за цього обмежене певним класом задач. Тому актуальною проблемою є побудова ефективних варіантів математичної теорії (МТ) і розробка на їх основі аналітичних методів розв'язання отримуваних систем ДР, які давали б реальну можливість одержання високоточних результатів для НДС і крайових ефектів.

Різні варіанти МТ [8-14] основуються на зображенні усіх компонент НДС у вигляді нескінченних математичних рядів (тензорних, степеневих, з використанням поліномів Лежандра і т. п.) за трьома координатами. Тривимірні граничні задачі теорії пружності для пластин і оболонок на основі варіантів МТ зводяться до двовимірних за допомогою проекційних, варіаційних та інших методів. Точність і ефективність варіантів МТ залежить від методології побудови основних співвідношень і рівнянь. Важливе значення має точність задоволення граничних умов на лицевих площинах (поверхнях) і бічній поверхні. Поліноми Лежандра в апроксимації компонент НДС застосовувалися в [4, 6, 8, 10-13] та в інших роботах цих авторів. Розвиток теорій пластин і оболонок наведено в [5].

У роботах автора, зокрема, в [13], розроблено варіант МТ пластин, який оснований на розвиненні усіх компонент НДС і граничних умов на бічній поверхні, як функцій від трьох змінних, у нескінченні математичні ряди за поліномами Лежандрапо поперечній координаті, використанні тривимірних рівнянь теорії пружності, точному задоволенні граничних умов на лицевих площинах, застосуванні варіаційного принципу Рейснера [15] для зведення тривимірної задачі до двовимірної і методики взаємозв'язаних рівнянь [12], яка полягає у врахуванні всіх доданків, що входять в апроксимації компонент переміщень. Із збільшенням кількості членів у рядах для компонент НДС зростає точність розв'язання задач і підвищується порядок систем ДР, що призводить до необхідності розроблення методів їх розв'язання [6].

Постановка задачі. Метод розв'язання. Розглядається товста півнескінченнатрансверсально-ізотропна плита. На плиту діє поперечне навантаження, яке зникає при x^ да:

На основі варіанта МТ [13] далі отримано НДС плити від кососиметричного поперечного навантаження за різних граничних умов на краю х = 0. За плавних навантажень варіант описує з високою точністю внутрішній НДС і крайові ефекти.

Компоненти переміщень і напружень зображені у вигляді нескінченних математичних рядів по поперечній координаті за поліномами Лежандра. При розв'язуванні задач беруться частинні суми цих рядів:

де P_k (2zIh) - поліноми Лежандра, N - непарне натуральне число.

Члени з непарними індексами описують кососиметричне деформування пластини відносно серединної площини (згинальне деформування без поперечного обтискання), а з парними - симетричне (поперечне обтискання).

Зображення переміщень у вигляді (2) називатимемо наближенням K0 - N (у тангенціальних переміщеннях ураховуються двовимірні функції (складові переміщень) з індексами k= 0,1,…, N, а в поперечних - з індексами

де функції t_xn (x, y)., t_yxn (x, y) залежать від складових переміщень [13].

Досліджено НДС плити в наближенні K13 (N= 3) за кососиметричного навантаження (1). У частинних сумах математичних рядів для компонент переміщень (2) беруться складові з індексами k= 1,3, а в (3) - відповідні доданки. Система ДР рівноваги у наближення K13 має 12-й порядок відносно складових щ (x, y), v (x, y), Щ (x, y), V3 (x, y), w (x, y), w₃ (x, y).

На основі розробленого варіанта МТ нетонких пластин система ДР рівноваги високого порядку методом специфічних перетворень зведена до однорідних і неоднорідних ДР 2-го порядку. Загальний розв'язок рівнянь рівноваги виражається через загальні і частинні розв'язки рівнянь 2-го порядку.

Загальні розв'язки системи неоднорідних ДР рівноваги 12-го порядку для розглядуваної граничної задачі отримані в наступному вигляді:

w1(x, y) = ((C1b1 + C2b2 (x)) exp (-ft x) + c1rexp (-a x)) cosy +

k = 1,…, N).

Компоненти напружень при врахуванні усіх доданків у частинних сумах (2) у наближенні K0 - Nвизначаються таким чином:

Загальні розв'язки для складових компонент напружень визначаються з відповідних залежностей [13] через складові переміщень (4) і мають вигляд:

У (4) і (5) Cз індексами - сталі інтегрування; щ, т₂, Щ, n₂; a, b, c, dз індексами залежать від a, P, nі механіко-геометричних параметрів плити.

При отриманні (4) і (5) враховувалось прямування функцій до нуля для x^ да. Розглянуті постановка і алгоритм розв'язання наступних граничних задач. Гранична задача 1. Граничні умови мають вигляд:

Гранична задача 2. Граничні умови наступні:

нетонкий пластина плита крайовий

Гранична задача 3. Граничні умови мають такий вигляд:

Гранична задача 4. Граничні умови наступного вигляду:

Гранична задача 5. Граничні умови такі:

Для всіх граничних задач отримані крайові умови, які виражаються через складові переміщень (4) і напружень (5); одержані системи лінійних алгебраїчних рівнянь для визначення 6-ти сталих інтегрування.

Висновки. На основі побудованого варіанта МТ трансверсально - ізотропних пластин довільної сталої товщини одержані у наближенні K13 загальні розв'язки граничних задач для товстих півнескінченних плит за дії кососиметричного поперечного навантаження, зникаючого вдалині від краю. Використано розроблений узагальнений метод зведення систем ДР рівноваги високих порядків до ДР 2-го порядку. Це суттєво спростило розв'язання граничних задач. Наведено алгоритм розв'язання задач за різних умов на бічній площині.

Із процесу отримання і аналізу загальних і конкретних розв'язків для сформульованих граничних задач отримані також наступні висновки:

- показники змінюваності потенціального крайового ефекту характеризуються величинами Дт_х, Дт₂ (Дт - показник змінюваності 1-го пограничного шару, Дт₂ - другого; для податливих на поперечний зсув плит ^Дті<^Дт2⁾;

- показники змінюваності вихрового крайового ефекту характеризуються величинами Дщ, Дп₂ (Дп_х - показник змінюваності 1-го пограничного шару, Дп₂ - другого, Дщ<Дщ); для податливих на поперечний зсув плит Дщ< Дт₁, Дп₂< Дт₂;

- внутрішній НДС визначається членами, які не містять сталих інтегрування разом з доданками зі сталими інтегрування Q, С₂;

- вплив потенціального крайового ефекту визначається доданками зі сталими C₅, C, а вплив вихрового - доданками зі сталими C₉, C₁₁;

- поперечні переміщення не залежать від вихрового крайового ефекту, а тангенціальні переміщення і всі компоненти напружень залежать від потенціального і вихрового крайових ефектів;

- виділені три області впливу потенціального і вихрового крайових ефектів для податливих на поперечний зсув плит: перша область - біля краю плити, у ній потрібно враховувати 1-й і 2-й пограничні шари; друга область, знаходиться за межами першої області, у ній другий пограничний шар практично не впливає на НДС і потрібно враховувати тільки перший пограничний шар; третя область знаходиться за межами першої і другої, в ній обидва пограничні шари не впливають на НДС, тобто, це область, у якій крайові ефекти не діють;

- залежності для компонент НДС показують, що величина областей впливу КЕ на компоненти різна.

- границі областей впливу крайових ефектів на НДС залежать не тільки від граничних умов на бічній площині і показників змінюваності пограничних шарів, які обумовлені механіко-геометричними параметрами. а і від градієнта змінення поперечного навантаження біля краю плити в напрямку краю.

Наведені вище висновки відображають у повній мірі ті параметри, від яких залежить вплив крайових ефектів на НДС. Отримані аналітичні розв'язки дають можливість знаходження кількісних результатів. Методологія розв'язання рівнянь дає змогу визначення компонент НДС у більш високих наближеннях.

Список використаних джерел

[1] Timoshenko S.P. (1921). On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars. Philosophical Magazine and J. of science. Vol. 41. Ser. 6. N. 245. P. 744-746.

[2] Reissner E. (1944). On the theory of bending of elastic plates. J. of Math and Phys. Vol. 33. P. 184-191.

[3] Амбарцумян С.А. (1987). Теория анизотропных пластин. М.: Наука. 360 с.

[4] Гуляев В.И., Баженов В.А., Лизунов П.П. (1978). Неклассическая теория оболочек и ее приложение к решению инженерных задач. Львов: Изд-во Львовского ун-та. 192 с.

[5] Немиш Ю.Н., Хома И.Ю. (1993). Напряженно-деформированное состояние нетонкихоболочек и пластин. Обобщенная теория (Обзор). Прикл. механика. Т. 29, №11. С. 3-32.

[6] Zelensky A.G. (2022). General solutions of systems of inhomogeneous equations of high orders of the variant of mathematical theory of non-thin plates. Monographic series «European Science». SWordl Germany. Heritage of European Science Engineering, Informatics, Physics and Mathematics, Medicine. Karlsruhe. Book 9. Part 1. Kapitel 4. P. 78-94, 137-140. ISBN 978-3-949059-50-6. DOI: 10.30890/2709-2313.2022-09-01014.

[7] Немиш Ю.Н. (2000). Развитие аналитических методов в трехмерных задачах статики анизотропных тел. Прикл. механіка. Т. 36, №2. С. 3-38.

[8] Векуа И.Н. (1955). Об одном методе расчета призматических оболочек. Труды Тбилисского матем. ин-та. Т. 21. С. 191 -293.

[9] Кильчевский Н.А. (1963). Основы аналитической механики оболочек. К.: Изд-во АН УССР. 354 с.

[10] Прусаков А.П. (1975). О построении теории изгиба пластин средней толщины энергоасимптотическим методом. Прикл. механика. Т. 11, №10. С. 44-51.

[11] Хома И.Ю. (1986). Обобщенная теория анизотропных оболочек. К.: Наук. думка. 170 с.

[12] Прусаков А.П. (1993). О построении уравнений изгиба двенадцатого порядка для трансверсально-изотропной пластины. Прикл. механика. Т. 29, №12. С. 51 -58.

[13] Зеленський А.Г. (2009). Моделі аналітичної теорії трансверсально-ізотропних плит. Вісник Дніпропетр. ун-ту. Дн-вськ. Т. 17, №5. Серія механіка. В. 13, Т. 2. С. 54-62.

[14] Григоренко А.Я., БергулевА. С., ЯремченкоС. Н. (2011). О напряженно - деформированном состоянии ортотропных толстостенных прямоугольных пластин. Доповіді НАН України. №9. С. 49-55.

[15] Reissner E. (1950). On a va^ranal theorem in elasticiti, J. Math and Phys. Vol. 29. N. 2. P. 90-95.

Размещено на Allbest.ru