К методике расчета горнолыжных канатных дорог

Размещено на http://www.allbest.ru/

К методике расчёта горнолыжных канатных дорог



Введение

Исторически так сложилось в России, что канатные дороги как транспорт не попали в сферу активного исследования и производства как, например, автомобильный и железнодорожный транспорт. Не были учреждены соответствующие институты, не были выпущены ГОСТы и программы - методики расчётов канатных дорог.

Вместе с этим, работы по созданию канатных дорог велись. Существовали такие организации как «Союзпроммеханизация», «Союзлифтмонтаж». Издавались книги [1,2] по тематике расчёта, проектирования и монтажа канатных дорог. Однако, в изданных в России книгах, излагалась теория расчёта канатных дорог без выделения строгой методики расчёта. Давались бессистемные рекомендации по выбору параметров, использования тех или иных формул.

Отсутствие в недавнем прошлом вычислительной техники требовало упрощения расчётных формул. Цепная линия заменялась параболой, сосредоточенные нагрузки на канат равномерно распределялись по его длине и т.д.

В настоящее время даже на простых инженерных калькуляторах есть гиперболические функции, а в математических программах Mathcad, Mathematica, Maple, Mathlab и т.п. не сложно построить и рассчитать не только статическую модель канатной дороги, но и динамическую модель для анализа, например, воздействия переменной ветровой нагрузки или экстренного торможения, или сброса каната с роликовой батареи.

Расчёт провисания каната между опорами

Итак, в настоящей работе:

1. Предлагается чёткая методика расчёта канатной дороги, которая не содержит теоретических выкладок. Вся теория и вывод формул приведены в Приложении или в доступной литературе;

2. Все вычисления сведены к процедуре упорядоченного их выполнения для различных схем канатных дорог и схем нагрузок.

Применение математических программ сопровождается распечаткой листингов, указывается версия соответствующего программного продукта, даются рекомендации по наиболее быстрому освоению работы в математической программе и её установке на ПК.

Кроме того, для выполнения расчётов при отсутствии ПК, в Приложении приведены примеры вычислений «вручную», то есть, только с помощью калькулятора.

Для каждой из задач приведены тестовые примеры, которые могут быть использованы при отладке собственных программ расчета пользователем;

3. Оценивается точность расчётов и проводится сравнительный анализ вычислений по предлагаемой методике и имеющимся в известной литературе рекомендациям;

4. Рассматривается возможность применения для расчётов пакета «Лира»;

5. Приведён ряд инженерных и математических утверждений, позволяющих расчётчику оценивать результаты своих вычислений, а также не терять физический смысл при анализе расчётных схем и процесса вычислений;

6. В Приложении приведён также обзор российской и иностранной литературы по теме расчёта канатных дорог, а также перечень фирм, имеющих собственные методики;

7. Поставлен ряд задач, решение которых желательно найти и внести в методику. При этом указанный перечень может постоянно пополняться в связи с появлением новых конструкций подъёмников и его элементов.

1. Расчёт параметров провисания каната между опорами подъёмника

1.1 Расчёт параметров провисания тяжёлой гибкой нити

Задача 1. Гибкая тяжёлая нить заданной длины подвешена на разновысоких опорах.

Рассмотрим решение этой задачи упрощённым методом и точным методом, считая нить абсолютно гибкой. Упрощённый метод основан на том, что для канатов подъёмниковпредполагается, что величина провисания каната мала по сравнению с расстоянием между опорами и поэтому можно считать, что нить не имеет веса, но на неё давит распределенная по горизонтали равномерная нагрузка, равная погонному весу каната. Точный метод не вводит этого упрощения и решением задачи является уравнение цепной линии.

В обоих методах при рассмотрении нагрузок в канате появляется вывод: проекция силы натяжения в канате на горизонталь есть величина постоянная - Н. Поэтому в низшей точке линии провисания, в которой касательная к ней горизонтальна, натяжение также равно Н.

В указанных методах с целью упрощения вида уравнений и уравнения линии провисания выбираются различные оси координат.

Схема провисания каната представлена на Рис.1.

Рис. 1. Тяжёлая нить на разновысоких опорах

Упрощённый метод

Для удобства вычислений расположим оси координат, как показано на Рис.2

Рис. 2. Упрощённая модель провисания тяжёлой нити

Дано:

- координаты точек А и В: (хА,уА), (хВ,уВ);

- вес погонного метра каната: q;

- длина каната: l;

Найти:

-уравнение линии провисания каната;

- положение низшей точки каната (вершины линии провисания), в том числе величину максимального провеса;

- усилия натяжения нити в опорах;

- горизонтальную составляющую натяжения в нити.

Приведём формулы решения этой задачи для определения параметров нити:



(1.1)

Очевидно

.

Рассмотрим числовой пример этой задачи:

L=110 м; l=100м; h=21м; q= 3,9 кг/м.

Решая последовательно, получим:

.

Отсюда:



Легко находится и расстояние f по вертикали от нижней точки каната до хорды

Максимальный провес относительно хорды находится посредине пролёта:канат

Метод цепной линии

Если не пренебрегать наклоном каната по отношению к горизонтальной поверхности, то окажется, что нагрузка на канат неравномерно распределена, а зависти от указанного угла наклона. Чем больше угол, тем больше нагрузка. В низшей точке провисания каната его линия параллельна горизонтальной плоскости, угол наклона линии каната к горизонту равен нулю и нагрузка на элемент длины каната минимальная. Около опоры канат имеет гораздо больший угол наклона и нагрузка на элемент длины каната возрастает. Учитывая это обстоятельство, уравнение равновесия каната описывает не параболу, а цепную линию. Поэтому метод «цепной линии» точнее, чем «метод параболы». Конечно, канат - не абсолютно гибкая нить, поэтому метод цепной линии тоже имеет погрешность, но значительно меньшую метода параболы.

Перейдём к решению Задачи 1.

Дано:

- координаты точек А и В;

- вес погонного метра каната: q;

- длина каната: L;

Найти:

-уравнение линии провисания каната;

- положение низшей точки каната (вершины линии провисания), в том числе величину максимального провеса;

- усилия натяжения нити в опорах;

- горизонтальную составляющую натяжения в нити.

Для получения боле компактной формулы линии провисания, система координат помещается в точку О, в которой точка максимального провеса каната имеет координаты х=0; у=c+ fА, где fА - провес каната относительно горизонтальной линии, проходящей через нижнюю опору, т.е. А, а с - параметр линии провисания, т.е. цепной линии. Этот параметр ещё предстоит найти, поэтому неопределённость положения центра координат перед составлением уравнений является одной из трудностей для освоения метода. Схема расположения каната и системы координат показана на Рис.3.

Рис. 3. Система координат для вывода уравнения цепной линии



В этих координатах уравнение линии провисания каната имеет вид

(1.2)

При этом угол наклона бкасательной к кривой провисания в любой точке определяется зависимостью

(1.3)

А натяжение Т в любой точке каната можно определить по формуле

(1.4)

Длина линии провисания определяется формулой

(1.5)

Пусть в этих осях координат положения точек А и В имеют координаты:

А - (хА,уА), В - (хВ,уВ). Поскольку уравнение линии у нас есть, то нам надо определить только параметр с и положение точекА и В.

Составим систему трёх уравнений, для их определения



(1.6)

Эту систему уравнений относительно неизвестных с, хА, хВ можно решать методом Ньютона - Рафсона (см. Приложение 1) либо в одном из математических пакетов, например, в Mathcad.

Приведём решение поставленной задачи в Mathcad при ранее заданных числовых значениях: L=110 м; l=100м; h=21м; q= 3,9 кг/м.

Заменим для унификации обозначения неизвестных переменных

.

В Mathcad будем решать задачу с помощью блока функций Given - Find.

1. Шаг. Вводим начальные приближения переменных и исходные данные

.

2. Шаг. Вводим функцией Given систему уравнений

3. Шаг. Вводим функцию Find и получаем решение системы уравнений

После набора знака равенства после r появляется вектор-столбец решений.

Рис. 4. Листинг решения Задачи 1 в Mathcad

Выше приведён листинг решения рассматриваемой задачи с построением графика линии провисания в координатах с началом в низшей точке закрепления каната, а также определением всех требуемых величин: усилий на опорах, координат нижней точки каната, величины максимального провеса каната.

Как видим из приведённого листинга нагрузки в точках А и В определяются

В системе координат с нулём в точке низшей опоры график лини провисания имеет, очевидно, формулу

При этом ордината нижней точки равна , а величина провеса нижней точки каната от оси ОХ в этой системе координат равна .

Расстояние от низшей точки каната до хорды очевидно, будет

f=18,104 м

Сравним полученные значения искомых параметров линии провисания и усилий в канате, посчитанные разными методами:

Сравнение результатов расчёта



Таблица 1.1

Параметр	Макс. Провес f	ордината макс. провеса	ТА	ТВ
Метод параболы	17,095	34,65	317,15	399,05
Метод цепной линии	18,104	35,867	320,178	402,078

В данном случае можно считать, что погрешность по усилиям не велика - менее 1% , но по геометрическим параметрам близка к 6%.

Задача 2. Гибкая тяжёлая нить подвешена на разновысоких опора и натянута силой на одной из опор.

Рассмотрим решение этой задачи опять упрощённым методом и точным методом, считая нить абсолютно гибкой.

Аналогично решению предыдущей задачи с целью упрощения вида уравнений и уравнения линии провисания выбираются различные оси координат.

Схема провисания каната представлена на Рис.5.

Рис. 5. Тяжелая нить на разновысоких опорах

Упрощённый метод

Для удобства вычислений расположим оси координат, как показано на Рис.6.

Рис. 6. Упрощённая модель провисания тяжёлой нити

Дано:

- координаты точек А и В: (хА,уА), (хВ,уВ);

- вес погонного метра каната: q;

- усилие натяжения каната в точке В: ТВ;

Найти:

-уравнение линии провисания каната;

- положение низшей точки каната (вершины линии провисания), в том числе величину максимального провеса;

- усилия натяжения нити в опорах;

- горизонтальную составляющую натяжения в нити.

Приведём формулы решения этой задачи для определения параметров нити: канат подъемник провисание нить



(1.7)

Рассмотрим числовой пример этой задачи:

ТВ=400 Н; l=100 м;h=21 м; q=3,9 кг/м.

Решая последовательно, получим:

.

Метод цепной линии

Рассмотрим решение задачи 2 методом цепной линии, т.е. более точным методом.

Систему координат введём аналогично той, которая введена при решении задачи 1:



Рис. 7. Система координат для вывода уравнения цепной линии

Решим задачу средствами Mathcad - см. Рис.8

Рис.8. Листинг решения Задачи 2 в Mathcad



В данном случае справедливы следующие формулы:

При этом введены переменные

,

Сравним полученные данные двух методов решения задачи:

Таблица 1.2 Сравнение результатов расчета

Параметр	Макс. провес f	L	ТА	H
Метод параболы	14,175	107,20	318,1	351,39
Метод цепной линии	18,293	110,157	318,1	282,431

В данном случае погрешность по усилиям велика: около 25% , и по геометрическим параметрам она близка к 23%, что существенно.



Список использованных литературных источников

1. Дукельский А.И. Подвесные канатные дороги и кабельные краны. Изд-во «Машиностроение», Ленинград,1966 г., 484 стр.

2. Мацелинский Р.Н. Статический расчет гибких висячих конструкций. М-Л, Стройиздат, 1950 г., 192 стр.

Размещено на Allbest.ru

...