Статистические методы обработки информации в торговле

Размещено на http://www.allbest.ru

Министерство образования и науки РФ

Федеральное бюджетное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления»

(ФБГОУ ВПО ВСГУТУ)

В.Б. Брюханова

Учебно-методическое пособие

Статистические методы обработки информации в торговле

Улан-Удэ

Издательство ВСГУТУ

2014

Данное учебно-методическое пособие предназначено для выполнения контрольной работы по дисциплине «Статистические методы обработки информации в торговле». В работе приведены учебно-методическое пособие курса, теоретический материал по темам заданий, методические указания и контрольные задания по дисциплине для студентов заочной формы обучения направления 100800 «Товароведение».

Рецензент: д.э.н., проф. И.В. Антохонова

Содержание

Введение

1. Абсолютные и относительные величины

1.1 Абсолютные величины

1.2 Относительные величины

1.3 Методические указания по теме

1.4 Контрольные задания

2. Средние величины и показатели вариации

2.1 Понятие средней величины и ее виды

2.2 Статистическое изучение вариации

2.3 Контрольные задания

3. Выборочное наблюдение

3.1 Понятие выборочного наблюдения

3.2 Способы формирования выборки

3.3 Средняя ошибка выборки

3.4 Предельная ошибка выборки

3.5 Необходимая численность выборки

3.6 Методические указания по теме

3.7 Контрольные задания

4. Ряды динамики

4.1 Понятие о рядах динамики

4.2 Показатели изменения уровней ряда динамики

4.3 Средние показатели ряда динамики

4.4 Методы выявления основной тенденции в рядах динамики

4.5 Оценка адекватности тренда и прогнозирование

4.6 Контрольные задания

5. Статистическое изучение взаимосвязей

5.1 Понятие корреляционной зависимости

5.2 Методы выявления и оценки корреляционной связи

5.3 Контрольные задания

6. Индексы

6.1 Индивидуальные индексы

6.2 Простые общие индексы

6.3 Агрегатные общие индексы

6.4 Общие индексы как средние из индивидуальных

6.5 Индекс структурных сдвигов

6.6 Факторный анализ и частной выручки

6.7 Индексы фиксированного (постоянного) и переменного состава

6.8 Методические указания по теме

6.9 Контрольные задания

Список литературы

Приложения - статистические таблицы

Приложение 1. Значения интеграла Лапласа

Приложение 2. Значения Т-критерия Стьюдента

Приложение 3.Значения F-критерия Фишера

Введение

В науку термин «статистика» ввел немецкий ученый Г. Ахенваль в 1746 г., заменив название курса «Государствоведение», преподававшегося в университетах Германии, на «Статистику», положив тем самым начало развитию статистики как науки и учебной дисциплины. Несмотря на это, статистический учет велся намного раньше: проводились переписи населения в Древнем Китае, осуществлялось сравнение военного потенциала государств, велся учет имущества граждан в Древнем Риме и т.д.

У истоков статистической науки стояли 2 школы: немецкая описательная и английская школа политических арифметиков. Представители описательной школы (Конринг, Ахенваль, Шленцер) своей задачей считали описание достопримечательностей государства: территории, населения, климата, политического устройства, вероисповедания, торговли и т.п. - без анализа закономерностей и связей между явлениями. Представители школы политических арифметиков (Уильям Петти, Граунт, Галлей) своей главной задачей считали выявление на основе большого числа наблюдений различных закономерностей и взаимосвязей в изучаемых явлениях. Каждая школа развивалась своим путем, используя свои методы в исследованиях, но предмет изучения у них был общий - государство, общество и, в частности, массовые явления и процессы, происходящие в нем. Статистика сформировалась как наука в результате синтеза государствоведения и политической арифметики, в настоящее время призвана выявлять, прежде всего, различного рода закономерности в исследуемых явлениях. статистика арифметик величина описательный

Задача теоретического обобщения практики учетно-статистических работ, создания теории статистики была решена позднее, в XIX веке бельгийским ученым А. Кетле, который дал определение предмета статистики, раскрыл суть ее методов. Под влиянием идей Кетле возникло третье направление статистической науки - математико-статистическое, которое получило свое развитие в работах таких ученых, как: англичане Гальтон, Пирсон, Госсет, Фишер, русские - Чебышёв, Марков, Ляпунов, Чупров и др.

В настоящее время данный термин употребляется в 4 значениях:

1) наука, изучающая количественную сторону массовых явлений и процессов в неразрывной связи с их качественным содержанием - учебный предмет в высших и средних специальных учебных заведений;

2) совокупность цифровых сведений, характеризующих состояние массовых явлений и процессов общественной жизни; статистические данные, представляемые в отчетности предприятий, организаций, отраслей экономики, а также публикуемых в сборниках, справочниках, периодической печати и в сети Интернет, которые являются результатом статистической работы;

3) отрасль практической деятельности («статистический учет») по сбору, обработке, анализу и публикации массовых цифровых данных о самых различных явлениях и процессах общественной жизни;

4) некий параметр ряда случайных величин, получаемый по определенному алгоритму из результатов наблюдений, например, статистические критерии (критические статистики), применяющиеся при проверке различных гипотез (предположительных утверждений) относительно природы или значений отдельных показателей исследуемых данных, особенностей их распределения и проч.

Как и любая другая наука, статистика имеет свой предмет и метод исследования. Статистика изучает количественную сторону массовых общественных явлений в неразрывной связи с их качественной стороной или содержанием, а также исследует количественное выражение закономерностей общественного развития в конкретных условиях места и времени. Такое изучение основывается на системе категорий и понятий, отражающих наиболее общие и существенные свойства, признаки, связи и отношения предметов и явлений объективного мира.

Рассмотрим основные понятия, используемые в статистике:

1. Статистическая совокупность - множество социально-экономических объектов или явлений общественной жизни, объединенных качественной основой, но отличающихся друг от друга отдельными признаками. Таковы, например, совокупность домохозяйств, семей, предприятий и т.п.

2. Единица совокупности - первичный элемент статистической совокупности, являющийся носителем признаков и основой ведущегося при обследовании счета.

3. Признак единицы совокупности - свойства единицы совокупности, которые различаются способами их измерения и другими особенностями, что дает основание для их классификации 1.

Таблица 1. Основная классификация признаков в статистике

Параметр классификации	Вид признака	Пример признака
По характеру выражения	Описательные (атрибутивные)	Цвет волос человека
	Количественные (числовые)	Рост человека
По способу измерения	Первичные (объемные)	Вес человека
	Вторичные (расчетные)	Производительность труда
По характеру вариации	Альтернативные	Пол человека
	Дискретные	Возраст человека
	Интервальные	Возраст группы людей
По отношению ко времени	Моментные	Количество денег в кармане человека
	Периодные	Заработная плата человека за месяц

4. Статистический показатель - понятие, отображающее количественные характеристики (размеры) или соотношения признаков общественных явлений.

5. Система статистических показателей - совокупность статистических показателей, отражающая взаимосвязи, которые объективно существуют между явлениями.

Совокупность приемов, пользуясь которыми статистика исследует свой предмет, составляет метод статистики. Можно выделить 3 группы статистических методов (этапов статистического исследования): 1) статистическое наблюдение; 2) сводка (группировка) и 3) научный анализ исследуемых явлений.

Научно организованный сбор сведений, заключающийся в регистрации тех или иных фактов, признаков, относящихся к каждой единице изучаемой совокупности, называется статистическим наблюдением (тема для самостоятельного изучения).

Обработка собранных первичных данных, включающая их группировку, обобщение и оформление в таблицах, составляет второй этап статистического исследования, который называется сводкой. Существует 3 основных формы представления обработанных статистических данных: текстовая, табличная и графическая.

На третьем этапе статистического исследования на основе итоговых данных сводки осуществляется научный анализ исследуемых явлений: рассчитываются различные обобщающие показатели в виде средних и относительных величин, выявляются определенные закономерности в распределениях, динамике показателей и т.п. На основе выявленных закономерностей делаются прогнозы на будущее.

Варианты заданий для контрольной работы выбираются по последней цифре в зачетной книжке:

Последняя цифра зачетки	0	1	2	3	4	и т.д.
Номер варианта контрольной работы	10	1	2	3	4	и т.д.

Для получения оценки «ЗАЧТЕНО» за контрольную работу необходимо верно выполнить не менее 50% заданий (то есть задания к 3 темам из 6).

1. Абсолютные и относительные статистические величины

1.1 Абсолютные величины

Результаты статистических наблюдений представляют собой абсолютные величины, отражающие уровень развития какого-либо явления или процесса Абсолютные величины обозначаются X, а их общее количество в статистической совокупности N.

Абсолютные величины всегда имеют свою единицу измерения (размерность), присущую изучаемому явлению. Широко распространены следующие виды единиц измерения:

1) натуральные, подразделяющиеся на простые (например, штуки, тонны, метры) и сложные (составные), представляющие собой комбинацию двух разноименных величин (например, киловатт-час);

2) условно-натуральные (например, общая масса энергоносителей - дрова, торф, каменный уголь, нефтепродукты, природный газ - измеряется в т.у.т. - тонны условного топлива, поскольку каждый его вид имеет разную тепло-творную способность, а за стандарт принято 29,3 МДж/кГ; общее количество школьных тетрадей измеряется в у.ш.т. - условные школьные тетради размером 12 листов; продукция консервного производства измеряется в у.к.б. - условные консервные банки емкостью 0,33 литра; продукция моющих средств приводится к условной жирности 40%.);

3) стоимостные, позволяющие соизмерить в денежной форме товары, которые нельзя соизмерить в натуральной форме (доллары США, рубли и т.д.).

Количество единиц с одинаковым значением признака обозначается f и называется частота. Суммируя число всех единиц с одинаковыми значениями признака, получаем N, то есть (1.1):

, (1.1)

Анализируя абсолютные величины, например, статистические данные о торговле, необходимо сопоставлять эти данные во времени и пространстве, исследовать закономерности их изменения и развития, изучать структуру совокупностей. С помощью абсолютных величин эти задачи невыполнимы, в этом случае необходимо использовать относительные величины.

1.2 Относительные величины

Относительная величина - это результат деления (сравнения) двух абсолютных величин. В числителе дроби стоит величина, которую сравнивают, а в знаменателе - величина, с которой сравнивают (база сравнения). Относительная величина может быть выражена в виде коэффициента (база сравнения принята за единицу), который показывает, во сколько раз сравниваемая абсолютная величина больше базисной. В случае, если основание принимается за 100, относительная величина выражается в процентах (%), если за 1000 - в промилле (‰). Выбор той или иной формы относительной величины зависит от ее абсолютного значения:

· если сравниваемая величина больше базы сравнения в 2 раза и более, то выбирают форму коэффициента;

· если относительная величина близка к единице, то, как правило, ее выражают в процентах;

· если относительная величина значительно меньше единицы (близка к нулю), ее выражают в промилле.

Различают относительные величины динамики, структуры, относительные величины планового задания и выполнения плана, относительные величины координации, сравнения и интенсивности.

Относительная величина динамики, или индекс динамики, характеризует изменение какого-либо явления во времени. Он представляет собой отношение значений одной и той же абсолютной величины в разные периоды времени. Данный показатель определяется по формуле:

, (1.2)

где 1 - отчетный или анализируемый период, 0 - прошлый или базисный период.

Критериальным значением индекса динамики служит единица (или 100%), то есть если >1, то имеет место рост (увеличение) явления во времени; если =1 - стабильность; если <1 - наблюдается спад (уменьшение) явления. Еще одно название индекса динамики - индекс изменения, вычитая из которого единицу (100%), получают темп изменения с критериальным значением 0, который определяется по формуле:

, (1.3)

Если T>0, то имеет место рост явления; Т=0 - стабильность, Т<0 - спад.

Разновидностями индекса динамики являются индексы планового задания и выполнения плана, рассчитываемые для планирования различных величин и контроля их выполнения.

Индекс планового задания - это отношение планового значения признака к базисному. Он определяется по формуле:

, (1.4)

где X'₁ - планируемое значение; X₀ - базисное значение признака.

Для определения процента выполнения плана необходимо рассчитать индекс выполнения плана, то есть (оптимальному, максимально возможному) значению по формуле:

, (1.5)

Индекс структуры (доля) - это отношение какой-либо части объекта (совокупности) ко всему объекту. Он определяется по формуле (1.6):

(1.6)

Индекс координации - это отношение какой-либо части объекта к другой его части, принятой за основу (базу сравнения). Он определяется по формуле (1.7):

. (1.7)

Индекс сравнения - это сравнение (соотношение) разных объектов по одинаковым признакам. Он определяется по формуле (1.8):

, (1.8)

где А, Б - сравниваемые объекты.

Индекс интенсивности - это соотношение разных признаков одного объекта между собой. Он определяется по формуле (1.9):

. (1.9)

где X - один признак объекта; Y - другой признак этого же объекта

Например, показатели выработки продукции в единицу рабочего времени, затрат на единицу продукции, цены единицы продукции и т.д.

1.3 Методические указания по теме

Пример 1. Перевести в тонны условного топлива 23,8 млн. т. нефти с теплотворной способностью 45 Мдж/кГ.

Решение. Учитывая стандартную теплотворную способность 29,3 МДж/кГ, определяем: 23,8*45/29,3 = 36,55 млн. т.у.т.

Пример 2. Рассчитать индекс и темп изменения, если в марте произведено продукции 138 т., а в феврале 108 т.

Решение. 2.1. Индекс изменения (динамики) по формуле (1.2): i_д = 138/108 = 1,278 или 127,8% - рост, так как i_д > 1.

2.2. Темп изменения по формуле 1.3: T = 1,278 - 1 = 0,278 или 27,8% - рост, т.к. t_д > 0.

Пример 3. Рассчитать индексы планового задания, выполнения плана и динамики, если выпуск продукции в отчетном году составил 20 млн. руб. На следующий год планировалось 28 млн.руб., а фактически получено 26 млн.руб.

Решение. 3.1. Индекс планового задания по формуле (1.3): i_пз = 28/20 = 1,4.

3.2. Индекс выполнения плана по формуле (1.4): i_ВП = 26/28 = 0,928.

3.3. Индекс динамики по формуле (1.2) i_д = 26/20 = 1,3 или 130% - рост, т.к. i_д > 1.

Пример 4. В составе ВВП региона 136,5 млрд.руб. произведено товаров на 75,4 млрд. рублей, оказано услуг на 51,6 млрд. руб. и собрано налогов 9,5 млрд. руб. Рассчитать относительные величины структуры и координации, приняв за основу производство товаров.

Решение. 4.1. Индексы структуры (доли) по формуле (1.5): товары i_СТ = 75,4/136,5 = 0,552 или 55,2%; услуги i_СТ = 51,6/136,5 = 0,378 или 37,8%; налоги i_СТ = 9,5/136,5 = 0,07 или 7%. Контроль: 0,552 + 0,378 + 0,07 = 1.

4.2. Индексы координации по формуле (1.6): услуги i_К = 51,6/75,4 =0,684; налоги i_К = 9,5/75,4 = 0,126.

Пример 5. Запасы воды в озере Байкал составляют 23000 км³, а в Ладожском озере 911 км³. Рассчитать относительные величины сравнения этих озер.

Решение. 5.1. Индекс сравнения озер Байкал с Ладожским по формуле (1.7): i_С = 23000/911 = 25,25.

5.2. Индекс сравнения Ладожского озера с Байкалом по той же формуле: i_C = 911/23000 = 0,0396 или 1/25,25 = 0,0396.

Пример 6. Рассчитать относительную величину интенсивности ВВП в сумме 276611 млн.$ на душу населения в 147 млн. человек.

Решение. Показатель интенсивности по формуле (1.8) i_ИН = 276611/147 = 1881,7 $/чел.

1.4 Контрольные задания

Вариант 1. Определить общее производство моющих средств в условных тоннах по плану и фактически, а также процент выполнения плана по следующим данным:

п/п	Вид продукта	Жирность, %	Физическая масса, т
			по плану	фактически
1	Мыло хозяйственное	60	500	600
2	Мыло туалетное	80	1000	1500
3	Стиральный порошок	10	50000	40000

Вариант 2. По данным о численности жителей трех крупнейших городов России (тыс.чел) определить индексы сравнения и динамики.

Город Год	2004	2005
Москва	10391	10407
Санкт-Петербург	4624	4600
Новосибирск	1413	1406

Вариант 3. По плану на 2005 г. намечалось увеличение товарооборота на 3%. В 2005 г. плановое задание перевыполнили на 600 млн.руб. или на 2,5%. Определить фактический прирост товарооборота (в млн.руб.) в 2005 г. по сравнению с 2004 г.

2. По данным о товарообороте из предыдущей задачи, состоящем из реализации собственной продукции и продажи покупных товаров, определить относительные величины координации и структуры собственной и покупной продукции в 2004 и 2005 г.г., если известно, что доля собственной продукции в 2004 г. составила 65%, а в 2005 г. она увеличилась на 10%.

Вариант 4. Жилищный фонд и численность населения России следующие (на начало года):

Год	2002	2003	2004	2005
Весь жилищный фонд, млн.м2	2853	2885	2917	2949
Численность населения, млн. чел.	145,6	145,0	144,2	143,5

Охарактеризовать изменение обеспеченности населения жилой площадью с помощью относительных величин.

Вариант 5. Определить общий объем фактически выпущенной продукции по следующим данным по трем филиалам предприятия, выпускающих однородную продукцию:

Номер филиала	Планируемый объем выпуска продукции, млн. руб.	Выполнение намеченного плана, %
1	500	104
2	750	92
3	250	116

Вариант 6. В России в 2004 г. численность лиц женского пола (лжп) составила 77144,3 тыс. чел, а лиц мужского пола (лмп) - 67023,9 тыс. чел. Рассчитать относительные величины структуры и координации.

2. По плану объем продукции в отчетном году должен возрасти по сравнению с прошлым годом на 2,5%. План выпуска продукции перевыполнен на 3,0%. Определить фактический выпуск продукции в отчетном году, если известно, что объем продукции в прошлом году составил 25300 млн. руб.

Вариант 7. По промышленному предприятию за отчетный год имеются следующие данные о выпуске продукции:

Наименование продукции	План на I квартал, тыс.т	Фактический выпуск, тыс.т	Отпускная цена за 1 т, у.е.
		январь	февраль	март
Сталь арматурная	335	110	115	108	1700
Прокат листовой	255	75	90	100	2080

Определить процент выполнения квартального плана: 1) по выпуску каждого вида продукции; 2) в целом по выпуску всей продукции.

Вариант 8. Определить процент выполнения плана по продажам условных школьных тетрадей по каждому виду тетрадей и в целом по магазину по следующим данным:

Вид тетради	Цена, руб./шт.	Объем продаж, тыс.шт.
		по плану	фактически
Тетрадь общая 90 листов	20	50	40
Тетрадь общая 60 листов	16	100	130
Тетрадь общая 48 листов	13	200	350
Тетрадь общая 16 листов	9	700	500

Вариант 9. В России на начало 2005 г. численность населения составила 144,2 млн. чел., в течение года: родилось 1,46 млн. чел., умерло - 2,3 млн. чел., мигрировало из других государств 2,09 млн. чел, мигрировало за границу - 1,98 млн. чел. Охарактеризовать изменение численности населения в 2005 году с помощью относительных величин.

Вариант 10. Определить общий объем фактически выпущенной условной консервной продукции по следующим данным:

Вид продукции	Планируемый объем выпуска продукции, тыс.шт.	Выполнение намеченного плана, %
Томатная паста 1 л	500	85
Томатная паста 0,5 л	750	104
Томатная паста 0,2 л	250	130

2. Средние величины и показатели вариации

2.1 Понятие средней величины и ее виды

Для сравнения нескольких совокупностей в целом применяется средняя величина как обобщающий показатель совокупности, характеризующий уровень изучаемого явле-ния или процесса. Виды средних величин различаются прежде всего тем, какое свойство, какой параметр исходной варьирующей массы индивидуальных значений признака должен быть сохранен неизменным.

Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным. При ее вычислении общий объем признака мысленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности. Исходя из определения, формула средней арифметической величины имеет вид:

(2.1)

По формуле вычисляются средние величины первичных признаков, если известны индивидуальные значения признака. Если изучаемая совокупность велика, исходная информация чаще представляет собой ряд распределения или группировку, как, например, таблица 2.

Таблица 2. Распределение студентов группы дневного отделения по возрасту

Возраст студентов, X	17	18	19	20	21
Число студентов, f	3	5	7	4	2

Средний возраст должен представлять собой результат равномерного распределения общего (суммарного) возраста всех студентов. Общий (суммарный) возраст (таблица 2) можно получить как сумму произведений значений признака в каждой группе X_i на число студентов с таким возрастом f_i (частоты). Получим формулу:

, (2.2)

где i - число групп.

Такую форму средней арифметической величины называют взвешенной арифметической средней в отличие от простой средней, рассчитанной по формуле 2.1. В качестве весов здесь выступают количество единиц совокупности в разных группах. Название «вес» выражает тот факт, что разные значения признака имеют неодинаковую «важность» при расчете средней величины.

По формуле по данным таблицы имеем:

= 18,857 (лет).

Как видим, средняя арифметическая величина может быть дробным числом, если даже индивидуальные значения признака могут принимать только целые значения. Если при группировке значения осредняемого признака заданы интервалами, то при расчете средней арифметической величины в качестве значения признака в группах принимают середины этих интервалов, то есть исходят из предположения о равномерном распределении единиц совокупности по интервалу значений признака. Для открытых интервалов в первой и последней группе, если таковые есть, значения признака следует определить экспертным путем исходя из сущности, свойств признака и совокупности. При отсутствии возможности экспертной оценки значения признака в открытых интервалах, для нахождения недостающей границы открытого интервала применяют размах (разность между значениями конца и начала интервала) соседнего интервала (принцип «соседа»). Середины интервалов определяем как полусумму нижней и верхней границы интервалов.

Таблица 3. Распределение группы студентов по весу

Группы студентов по весу, кг	Количество студентов, чел.	Середина интервала Xi'	Xi'fi
До 60	6	55	330
60 - 70	8	65	520
70 - 80	5	75	375
Более 80	2	85	170
Итого	21	66,429	1395

Средний вес студентов, рассчитанный по формуле с заменой точных значений признака в группах серединами интервалов, составил:

кг,

что и записано в итоговую строку в 3-м столбце таблицы Следует обратить внимание, что объемный показатель - это сумма, а итог по столбцам относительных показателей или средних групповых величин - средняя.

Средняя арифметическая величина обладает свойствами, знание которых полезно как при ее использовании, так и при ее расчете.

1) Сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна нулю.

2) Если каждое индивидуальное значение признака умножить или разделить на постоянное число, то и средняя увеличится или уменьшится во столько же раз. Вследствие этого свойства индивидуальные значения признака можно сократить в c раз, произвести расчет средней и результат умножить на c.

3) Если к каждому индивидуальному значению признака прибавить или из каждого значения вычесть постоянное число, то средняя величина возрастет или уменьшится на это же число. Это свойство полезно использовать при расчете средней величины из многозначных и слабоварьирующих значений признака аналогично предыдущему свойству.

4) Если веса средней взвешенной умножить или разделить на постоянное число, средняя величина не изменится. Используя это свойство, при расчетах следует сокращать веса на их общий сомножитель либо выражать многозначные числа весов в более крупных единицах измерениях.

5) Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа.

Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменную сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратической средней величиной. Ее формула следующая:

 (2.3)

Главной сферой применения квадратической средней в силу пятого свойства средней арифметической величины является измерение вариации признака в совокупности.

Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменным произведение индивидуальных величин, то следует применить геометрическую среднюю величину, имеющую следующий вид:

(2.4)

Основное применение средняя геометрическая находит при определении средних относительных изменений, о чем сказано в теме «Ряды динамики». Геометрическая средняя величина дает наиболее точный результат осреднения, если задача также состоит в нахождении такого значения признака, который качественно был бы равноудален как от максимального, так и от минимального значения признака.

Когда статистическая информация не содержит частот f по отдельным вариантам X_i совокупности, а представлена как их произведение Xf, тогда применяется формула средней гармонической взвешенной, для получения которой обозначим Xf=w, откуда f=w/X, и, подставив эти обозначения в формулу, получим формулу (2.5):

(2.5)

Таким образом, средняя гармоническая взвешенная применяется тогда, когда неизвестны действительные веса f, а известно w=Xf. В тех случаях, когда вес каждого варианта w=1, то есть индивидуальные значения X встречаются по 1 разу, применяется формула средней гармонической простой (2.6):

(2.6)

Все рассмотренные выше виды средних величин принадлежат к общему типу степенных средних, имеющему следующий вид:

= (2.7)

При m = 1 получаем среднюю арифметическую; при m = 2 - среднюю квадратическую; при m = 3 - среднюю кубическую; при m = 0 - среднюю геометрическую; при m = -1 - среднюю гармоническую. Чем выше показатель степени m, тем больше значение средней величины (если индивидуальные значения признака варьируют). В итоге можно построить следующее соотношение, которое называется правилом мажорантности средних:

? ? ? ? , (2.8)

2.2 Статистическое изучение вариации

Признаки, изучаемые статистикой, варьируются (отличаются друг от друга) у различных единиц совокупности в один и тот же период или момент времени. Причиной вариации являются разные условия существования разных единиц совокупности.

Для управления и изучения вариации статистикой разработаны специальные методы исследования вариации, система показателей, с помощью которой вариация измеряется, характеризуются ее свойства.

Этапы статистического изучения вариации:

1. Построение ряда распределения (или вариационного ряда) - упорядоченного распределения единиц совокупности по возрастающим (чаще) или по убывающим (реже) значениям признака и подсчет числа единиц с тем или иным значением признака.

Существует 3 вида ряда распределения:

1) ранжированный ряд - это перечень отдельных единиц совокупности в порядке возрастания изучаемого признака; если численность единиц совокупности достаточно велика ранжированный ряд становится громоздким и в таких случаях ряд распределения строится с помощью группировки единиц совокупности по значениям изучаемого признака (ели признак принимает небольшое число значений, то строится дискретный ряд, а в противном случае - интервальный ряд);

2) дискретный ряд - это таблица, состоящая из двух столбцов (строк) - конкретных значений варьирующего признака X_i и числа единиц совокупности с данным значением признака f_i - частот; число групп в дискретном ряду определяется числом реально существующих значений варьирующего признака;

3) интервальный ряд - это таблица, состоящая из двух столбцов (строк) - интервалов варьирующего признака X_i и числа единиц совокупности, попадающих в данный интервал (частот), или долей этого числа в общей численности совокупностей (частостей).

Построим ряд распределения торгового оборота (ТО), для чего необходимо провести статистическое наблюдение, то есть собрать первичный статистический материал.

Результаты наблюдения ТО по 35 предприятиям представим в виде ранжированного по возрастанию величины ТО ряда распределения (табл. 4).

Таблица 4. Торговый оборот (ТО) по 35 предприятиям, млн.руб.

№ п/п	ТО	№ п/п	ТО	№ п/п	ТО
1	24	13	54	25	65
2	27	14	54	26	69
3	29	15	55	27	71
4	31	16	55	28	77
5	37	17	56	29	79
6	39	18	56	30	84
7	41	19	56	31	86
8	44	20	57	32	91
9	46	21	58	33	96
10	48	22	59	34	106
11	51	23	59	35	111
12	52	24	62	Итого	2085,00

Построим интервальный ряд распределения ТО по предприятиям, для чего необходимо выбрать оптимальное число групп (интервалов признака) и установить длину (размах) интервала. Поскольку при анализе ряда распределения сравнивают частоты в разных интервалах, необходимо, чтобы длина интервалов была постоянной. Оптимальное число групп выбирается так, чтобы в достаточной мере отразилось разнообразие значений признака в совокупности и в то же время закономерность распределении, его форма не искажалась случайными колебаниями частот. Если групп будет слишком мало, не проявится закономерность вариации; если групп будет чрезмерно много, случайные скачки частот исказят форму распределения.

Чаще всего число групп в ряду распределения определяют по формуле Стерджесса (2.9) или (2.10):

, (2.9) или , (2.10)

где k - число групп (округляемое до ближайшего целого числа); N - численность совокупности.

Из формулы Стерджесса видно, что число групп - функция объема данных (N).

Зная число групп, рассчитывают длину (размах) интервала по формуле:

, (2.11)

где X_мax и X_min -- максимальное и минимальное значения в совокупности.

В нашем примере по формуле Стерджесса (2.9) определим число групп:

k = 1 + 3,322 lg35 = 1+ 3,322*1,544 = 6,129 ? 6.

Рассчитаем длину (размах) интервала по формуле (2.11):

h = (111 - 24)/6 = 87/6 = 14,5 (млн.руб.).

Теперь построим интервальный ряд с 6 группами с интервалом 14,5 млн.руб. (см. первые 3 столбца таблицы 5).

Таблица 5. Интервальный ряд распределения ТО по предприятиям, млн.руб.

i	Группы по величине ТО Xi	Число fi	Середина интервала Хi'	Хi'fi	Накопл. частота fi'
1	24,0 - 38,5	5	31,0	155,0	5
2	38,5 - 53,0	7	45,5	318,5	12
3	53,0 - 67,5	13	60,0	780,0	25
4	67,5 - 82,0	4	74,5	298,0	29
5	82,0 - 96,5	4	89,0	356,0	33
6	96,5 - 111,0	2	103,5	207,0	35
	Итого	35		2114,5

Для расчета показателей вариации составляется вспомогательная таблица 6.

Таблица 6. Интервальный ряд распределения ТО по предприятиям, млн.руб.

i	Группы по величине ТО, Хi	| Хi' -| fi	(Хi' -)2 fi	(Хi' -)3 fi	(Хi' -)4 fi
1	24,0 - 38,5	147,0	4321,8	-127060,92	3735564
2	38,5 - 53,0	104,3	1554,07	-23155,643	345019,08
3	53,0 - 67,5	5,2	2,08	-0,832	3,328
4	67,5 - 82,0	56,4	795,24	11212,884	158101,66
5	82,0 - 96,5	117,6	3457,44	101648,74	2988451,2
6	96,5 - 111,0	86,2	3715,22	160125,98	6901429,82
	Итого	516,7	13845,85	122770,207	14128569,088

Анализ ряда распределения и его свойств с помощью графического изображения: интервальный ряд изображается столбиковой диаграммой, в которой основания столбиков, расположенные по оси абсцисс, - это интервалы значений варьирующего признака, а высоты столбиков - частоты, соответствующие масштабу по оси ординат. Диаграмма такого типа называется гистограммой.

Если имеется дискретный ряд распределения или используются середины интервалов (как в примере- в таблице 5 в 4-м столбце рассчитаны середины интервалов как полусумма значений начала и конца интервала), то графическое изображение такого ряда называется полигоном, которое получается соединением прямыми точек с координатами X_i и f_i.

2. Расчет характеристик ряда распределения, которые описывают количественно его структуру, строение. Медиана - величина варьирующего признака, делящая совокупность на две равные части - со значением признака меньше медианы и со значением признака больше медианы. В примере (см. табл. 4) медиана - это 18-й из 35 с величиной ТО 56 млн.руб. Из этого примера видно принципиальное различие между медианой и средней величиной: медиана не зависит от значений на краях ранжированного ряда. Даже если бы ТО 35-го предприятия был в 10 раз больше, величина медианы не изменилась бы. Поэтому медиану часто используют как более надежный показатель типичного значения признака, нежели средняя арифметическая, если ряд значений неоднороден, включает резкие отклонения от средней. В интервальном ряду распределения для нахождения медианы применяется формула:

, (2.12)

где Ме - медиана; X₀ - нижняя граница интервала, в котором находится медиана; h - величина (размах) интервала; - накопленная частота в интервале, предшествующем медианному; f_Me - частота в медианном интервале.

В табл. 5 медианным является среднее из 35 значений, т.е. 18-е от начала значение ТО. Как видно из столбца накопленных частот (6-й столбец), оно находится в третьем интервале. Тогда по формуле:

(млн. руб.).

Аналогично медиане вычисляются значения признака, делящие совокупность на 4 равные по численности части - квартили, которые обозначаются заглавной латинской буквой Q с подписным значком номера квартиля. Ясно, что Q₂ совпадает с Ме. Для первого и третьего квартилей приводим формулы и расчет по данным табл. 5:

(млн. руб.)

(млн. руб.)

Так как Q₂ = Ме = 59,30 млн. руб., видно, что различие между первым квартилем и медианой (-15,87) больше, чем между медианой и третьим квартилем (12,89). Этот факт свидетельствует о наличии некоторой несимметричности в средней области распределения.

Значения признака, делящие ряд на 5 равных частей, называются квинтилями, на 10 частей - децилями, на 100 частей - перцентилями. Эти характеристики применяются при необходимости подробного изучения структуры ряда распределения.

Величину признака, которая встречается в изучаемом ряду распределения чаще всего, принято называть модой. В дискретном ряду мода определяется без вычисления как значение признака с наибольшей частотой. Обычно встречаются ряды с одним модальным значением признака. Если в ряду распределения встречаются 2 или несколько равных (и даже несколько различных, но больших чем соседние) значений признака, то он считается соответственно бимодальным или мультимодальным. Это свидетельствует о неоднородности совокупности, возможно, представляющей собой агрегат нескольких совокупностей с разными модами. В интервальном ряду распределения интервал с наибольшей частотой является модальным. Внутри этого интервала находят условное значение признака, вблизи которого плотность распределения (число единиц совокупности, приходящихся на единицу измерения варьирующего признака) достигает максимума. Это условное значение и считается точечной модой. Логично предположить, что такая точечная мода располагается ближе к той из границ интервала, за которой частота в соседнем интервале больше частоты в интервале за другой границей модального интервала. Отсюда получаем обычно применяемую формулу:

, (2.13)

где Мо- мода; Х₀ - нижнее значение модального интервала; f_Mo - частота в модальном интервале; f_Mo-1 - частота в предыдущем интервале; f_Mo+1- частота в следующем интервале за модальным; h - величина интервала.

По данным табл. 5 рассчитаем точечную моду по формуле (2.13):

(млн. руб.).

К изучению структуры ряда распределения средняя арифметическая величина также имеет отношение, хотя основное значение этого обобщающего показателя другое. В интервальном ряду распределения в примере средняя арифметическая рассчитывается как взвешенная по частоте середина интервалов X :

== 2128,85/35 = 60,82 (млн. руб.).

Различие между средней арифметической величиной (60,82), медианой (59,30) и модой (58,96) в нашем примере невелико. Чем ближе распределение по форме к нормальному закону, тем ближе значения медианы, моды и средней величины между собой.

3. Расчет показателей размера и интенсивности вариации. Размах вариации - абсолютная разность между максимальным и минимальным значениями признака из имеющихся в изучаемой совокупности значений (2.14):

. (2.14)

Среднее линейное отклонение (2.15): .

В нашем примере по данным таблицы 5 среднее линейное отклонение вычисляется как взвешенное по частоте отклонение по модулю середин интервалов от средней арифметической величины по формуле (2.16):

(млн. руб.). (2.16)

Среднее квадратическое отклонение, обозначаемое малой греческой буквой сигма () или s и вычисляемое по формуле (2.17) - для ранжированного ряда и по формуле (2.18) - для интервального ряда:

; (2.17)

. (2.18)

В нашем примере по формуле (2.18) составило:

(млн. руб.).

Среднее квадратическое отклонение по величине в реальных совокупностях всегда больше среднего модуля отклонений. Разница между ними тем больше, чем больше в изучаемой совокупности резких, выделяющихся отклонений, что служит индикатором «засоренности» совокупности неоднородными с основной массой элементами. Для нормального закона распределения отношение .

Квадрат среднего квадратического отклонения представляет собой дисперсию отклонений, на использовании которой основаны практически все методы математической статистики. Ее формула имеет вид (2.19) - для несгруппированных данных (простая дисперсия) и (2.20) - для сгруппированных (взвешенная дисперсия):

; (2.19)

. (2.20)

Еще одним показателем силы вариации, характеризующим ее не по всей совокупности, а лишь в ее центральной части, служит среднее квартильное расстояние (отклонение), т.е. средняя величина разности между квартилями, определяемая по формуле (2.21):

.(2.21)

В нашем примере по формуле (2.21): (млн. руб.).

Сила вариации в центральной части совокупности, как правило, меньше, чем в целом по всей совокупности. Соотношение между средним линейным отклонением и средним квартильным расстоянием служит для изучения структуры вариации: большое значение такого соотношения свидетельствует о наличии слабоварьирующего «ядра» и сильно рассеянного вокруг него окружения в изучаемой совокупности. Для нашего примера соотношение Л/q = 1,021, что говорит о совсем незначительном различии силы вариации в центральной части совокупности и на ее периферии.

Для оценки интенсивности вариации и для сравнения ее в разных совокупностях и тем более для разных признаков необходимы относительные показатели вариации, которые вычисляются как отношение абсолютных показателей силы вариации, рассмотренных ранее, к средней арифметической величине признака, то есть показатели (2.22) - (2.25):

относительный размах вариации: ; (2.22)

линейный коэффициент вариации: ; (2.23)

квадратический коэффициент вариации: ; (2.24)

относительное квартильное расстояние: . (2.25)

В нашем примере эти показатели составляют:

= 87/60,82 =1,43, или 143%; = 14,678/60,82 = 0,241, или 24,1%; = 19,756/60,82 = 0,32, или 32%; d = 14,38/60,82 = 0,236, или 23,6%.

Оценка степени интенсивности вариации возможна только для каждого отдельного признака и совокупности определенного состава. Она состоит в сравнении наблюдаемой вариации с некоторой обычной ее интенсивностью, принимаемой за норматив. Так, для совокупности предприятий вариация величины ТО может быть определена как слабая, если < 25%, умеренная при 25% < < 50% и сильная при > 50%.

Различная сила, интенсивность вариации обусловлены объективными причинами, поэтому нельзя говорить о каком-либо универсальном критерии вариации (например, 33%), так как для разных явлений и признаков этот критерий различен. Например, цена продажи американского доллара в коммерческих банках 26 июля 2007 г. варьировала от 25,45 до 26,00 при средней цене 25,595 руб., тогда по формуле...